Continuidad de funciones

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Editado a las 2023-02-18 23:14:42,

Rolando Del Rio Martinez

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Continuidad de funciones

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Resumen

Continuidad de funciones

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos"

Funciones continuas

Funciones polinómicas: son continuas en todo el conjunto de los números reales.

Funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios: son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.

Funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas: son continuas en todo su dominio de definición.

Funciones trigonométricas seno y coseno: son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

Tipos de discontinuidades.

Discontinuidades evitables Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

Discontinuidad inevitable También conocida como discontinuidad esencial, se da cuando no existe el límite por no coincidir los límites laterales, o existiendo no es un valor finito.Estas discontinuidades se clasifican en:

Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), existen y son finitos, pero distintos.

De salto infinito: en este caso, al menos uno de los límites laterales es infinito. Este tipo de discontinuidades dan lugar a asíntotas verticales, por lo que también se llaman asintóticas.

Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.

Propiedades

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.

El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.

El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.

Por otro lado, sea f(x) continua en a y g(x) continua en f(a), entonces la función compuesta (g∘f)(x) es continua en a:

Continuidad

Continuidad en un punto Decimos que una función es continua en x=a cuando:

Continuidad en un intervalo abierto Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua en todos los puntos pertenecientes a dicho intervalo.

Continuidad en un intervalo cerrado Decimos que una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuando: f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). Esto cubre todos los puntos del intervalo salvo los extremos. Esto contempla la continuidad por la derecha de a y la continuidad por la izquierda de b respectivamente

Importancia

En la naturaleza y en nuestra vida diaria aparecen numerosos fenómenos que tienen un comportamiento continuo. Por ejemplo, el crecimiento de una planta es continuo, el desplazamiento de un vehículo o el volumen del agua que fluye de un recipient y en muchos procesos físicos