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Introduzione alla logica (Chen Bo)
Avere completato lo studio autonomo: logica del primo ordine e logica informale, la logica è la scienza del ragionamento e dell'argomentazione (la disciplina che studia il ragionamento), Questa mappa è uno dei miei arsenali di strumenti per il mio utilizzo
Modificato alle 2023-07-29 13:58:42
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Introduzione alla Logica (Chen Bo) Logica prevalentemente formale
Capitolo 1 La logica è la scienza del ragionamento e dell'argomentazione
Sezione 1 Etimologia e significato di “logica”
1. L’etimologia greca antica di “logica”
I loghi inglesi possono essere fatti risalire alla parola greca "logos"
Polisemia, significato principale
Leggi generali, principi e regole
Discorso, proposizioni, descrizioni, spiegazioni e argomenti
Razionalità, ragionamento, capacità di ragionare, teoria astratta in opposizione all'esperienza e ragionamento metodico in opposizione all'intuizione
Scala, relazione, proporzione e rapporto, ecc.
2. Storia e situazione attuale della logica
Rappresentanti della logica formale nell'antica Grecia (mainstream)
La logica lessicale di Aristotele
sillogismo
Logica proposizionale stoica
Dividere le proposizioni in proposizioni atomiche e proposizioni composte attorno all'"implicazione", fornire quattro regole metalogiche e usarle per dimostrare molti teoremi
C’è stata una rottura, non è entrata nel mainstream
Dialettica famosa nel periodo pre-Qin della Cina
La logica Mohista ha il risultato più alto
antica logica indiana
Perché si riferisce chiaramente alla conoscenza del ragionamento, alla logica buddista
status quo
logica di base
Logica classica e logica non classica (logica formale e logica informale)
Logica metalogica e induttiva
Applicare la logica
logica generale
Intersezione con varie discipline
3. Oggetti della logica: ragionamento e dimostrazione
Cos'è la logica?
È la scienza del ragionamento e dell'argomentazione (lo studio del ragionamento)
missione principale
Fornisce criteri per identificare ragionamenti e argomentazioni validi e ragionamenti e argomentazioni non validi
Insegna alle persone a ragionare e ad argomentare correttamente
Insegnare alle persone a identificare, smascherare e confutare ragionamenti e argomentazioni errate
ragionamento
Il processo di pensiero o la forma di pensiero che porta a una nuova proposizione (conclusione) da una o alcune proposizioni conosciute (premesse)
ragionamento deduttivo
Generalmente consiglio l'individuo
Inevitabilità: vero o falso assoluto
efficiente
non valido
ragionamento induttivo
Generalmente consigliato individualmente
Probabilità: possibilità forte o debole
Induzione forte
induzione debole
Discussione
Il processo o la forma linguistica con cui si utilizzano determinate ragioni per supportare o confutare un punto di vista
Sezione 2 Analisi proposizionale e tipologie logiche
1. Frasi, proposizioni, enunciati, giudizi e valori di verità
In senso lato tutte le affermazioni sono vere o false, mentre in senso stretto solo le proposizioni sono vere o false. Una proposizione affermata (vera o falsa) è un giudizio.
Le proposizioni si riferiscono a frasi che esprimono giudizi Quelle che non esprimono giudizi non sono proposizioni (come frasi interrogative, frasi imperative e frasi esclamative). Grande dizionario p348
2. Proposizioni composte e logica proposizionale
Le proposizioni composte sono composte da connettivi e proposizioni semplici (proposizioni atomiche)
connettivi vari
Coppia (congiunzione)
Disgiunzione (disgiunzione)
compatibile
incompatibile
o... o
Ipotesi (condizione)
se poi
Solo talento, a meno che
se e solo se (se allora e solo se)
negativo
I simboli rappresentano proposizioni
Elementi costanti
∧, ∨, →, ←→, ┓
variabili
p, q, r, s, t, ecc.
3. Proposizioni categoriche e logica lessicale
Una proposizione categorica asserisce che l'oggetto S possiede una certa proprietà P, chiamata anche proposizione di proprietà.
Possedere termini di soggetto, predicato, congiunto e quantità
Se tutto S è P
4. Singole parole, predicati e logica quantitativa (logica dei predicati)
Possedere singole parole, predicati, quantificatori, connettivi, ecc.
Singole parole (indicate da lettere minuscole)
Elementi costanti
Il nome proprio specifico abc rappresenta
variabili
Rappresentazione xyz individuale incerta
Predicato (indicato con lettere maiuscole)
Rappresenta le proprietà degli individui nel dominio del discorso e la relazione tra gli individui
Ad esempio, F(x) è un simbolo di predicato a un elemento, R(x,y) è un simbolo di predicato binario e così via.
quantificatore
Nome completo∀
∀xF(x)
Si legge che per ogni x, x è F
Esistenza∃
∃xR(x,y)
Leggi come esiste x tale che x abbia una relazione R con y
Ad esempio, R significa >, x>y
5. Logica della mutazione, logica dell'espansione e metalogica
Appartiene alla logica moderna ed è diversa dalla logica tradizionale.
Sezione 3 Moduli di motivazione e loro validità
1. La struttura formale del ragionamento
Il modello o quadro che conserva il contenuto specifico di una proposizione
Ad esempio: se domani piove, Xiao Ming non verrà a scuola. Pioverà il giorno dopo, quindi Xiao Ming non verrà a scuola.
Se p, allora q p, quindi q
2. La validità della motivazione (è rilevante? Irrilevante? Rilevante? Conclusione raggiunta?)
Un ragionamento efficace può portare a conclusioni vere partendo da premesse vere, ma non può portare a conclusioni false.
Nessun caso speciale porta a una conclusione falsa
Un ragionamento non valido può anche portare a conclusioni vere partendo da premesse vere
Ci sono altri casi speciali che portano a false conclusioni (comuni nella logica lessicale (sillogismo))
Affinché un ragionamento o un argomento possa raggiungere una conclusione vera ed essere convincente, deve essere soddisfacente
premessa vera
La forma motivazionale è valida
Al contrario, quali sono i modi per confutare o indebolire una conclusione?
Confutare direttamente la conclusione
Confutare la premessa (argomentazione)
modulo di motivazione della replica
3. Ragionamento e argomentazione nel pensiero quotidiano
A cosa serve?
scambio di idee
Come individuare gli errori logici
Cosa fare se lo scopri
Prova "vuoi dire".
Sezione 4 Leggi fondamentali della logica
La logica è la coltivazione e l'addestramento dello spirito razionale
Costituiscono le premesse e i presupposti più basilari del pensiero razionale e sono i prerequisiti minimi affinché il dialogo e la conversazione razionali possano continuare.
Cosa accadrà se non rispetti?
Potrebbero esserci errori logici ed emozioni percettive.
Potresti litigare o non essere in grado di continuare la conversazione.
1. Legge di identità
A è A
Nello stesso processo di pensiero, tutti i pensieri (compresi concetti e proposizioni) devono rimanere identici a se stessi
La stessa forma di espressione (discorso, ecc.) o di pensiero non può essere confusa con significati multipli se non diversamente specificato.
Errori che possono sorgere se viene violato
Concetti confusi (non intenzionali)
Rubare il concetto (violazione intenzionale)
Trasferisci argomento ()
cambiare argomento di nascosto
2. La legge della contraddizione (legge di non contraddizione)
Non (A e non A)
Due proposizioni contraddittorie non possono essere allo stesso tempo vere o false
Derivare la logica lessicale: due proposizioni opposte tra loro non possono essere entrambe vere, ma possono essere entrambe false.
Un diagramma di Venn può rappresentare visivamente
3. La legge del terzo escluso
A o non A
Due proposizioni contraddittorie devono essere una vera e una falsa
Derivare la logica lessicale: due proposizioni particolari reciprocamente opposte non possono essere entrambe false, ma possono essere entrambe vere.
4. La legge della ragione sufficiente (Brainitz)
A,A deducono logicamente B┣B
Se vuoi dimostrare che B è vero, devi prima dimostrare che A è vero e dimostrare che B può essere logicamente dedotto da A.
Qui "┣" significa "lancio"
Nei libri di matematica, "=>" significa anche "introduzione": A==>B rappresenta una condizione sufficiente. Quando si stabilisce A, si stabilisce anche B.
Requisiti specifici
1. Il punto di vista da argomentare deve essere motivato.
2. Le ragioni addotte devono essere vere
3. Gli argomenti da dedurre devono dedursi dalla motivazione esposta.
Se non soddisfi i requisiti, commetterai gli errori di "nessun motivo", "falso motivo" e "non deducibile".
La discussione dovrebbe basarsi su un pensiero attento e dettagliato, testare il processo di pensiero e infine decidere se accettare (credere) l'idea o il punto di vista
Controesempio: alcune idee e opinioni possono essere molto piacevoli e ragionevoli in termini generali, ma non possono resistere ad analisi e test rigorosi e precisi.
riepilogo
Quali sono le differenze e le connessioni tra ragionamento e argomentazione?
La differenza è che il ragionamento può partire da premesse false, mentre l’argomentazione deve partire da premesse vere o premesse comunemente accettate da tutti.
Cos'è la logica? Scopo?
La logica è la scienza del ragionamento e dell’argomentazione
Questo libro fa riferimento alla logica formale
Scopo
Riconoscere se ragionamenti e argomentazioni sono validi o non validi
Insegna alle persone come ragionare e dimostrare correttamente
Identificare, esporre e confutare ragionamenti e argomentazioni errati
L'analisi delle proposizioni da diverse angolazioni porta a differenze nelle teorie logiche
proposizione logica
logica lessicale
logica predicativa
Può essere utilizzato per entrambi i casi precedenti, con una gamma più ampia
Capitolo 2 Logica proposizionale (logica connettiva, che esprime la relazione tra proposizioni)
Sezione 1 Connettivi quotidiani e proposizioni composte
1. Proposizioni semplici e proposizioni composte
Le proposizioni semplici sono divise in termini diversi e non possono essere ulteriormente suddivise in proposizioni. Sono anche chiamate proposizioni atomiche.
Una proposizione composta è una proposizione che contiene altre proposizioni. Si forma collegando altre proposizioni con determinati connettivi.
Ad esempio: oggi non piove
Classificazione delle proposizioni composte
2. Proposta congiunta
E: una proposizione che asserisce l'esistenza simultanea di più cose.
∧ (congiunzione)
e, e, e, e poi ecc.
La proposizione di ramo di un distico è chiamata "collegamento". A volte il soggetto o il predicato di un distico può essere omesso.
Esempi di soggetti provinciali
Esempi di termini predicativi
Tre moduli validi
Formula sintetica
decomposizione
negativo
3. Proposizione disgiuntiva
Oppure: concludi che esiste almeno una delle tante cose.
∨ (disgiunzione)
Oppure, oppure, o, in caso contrario, aspetta e basta.
"Ramo disgiuntivo" "Ramo disgiuntivo"
Se una proposizione disgiuntiva esaurisce tutte le componenti disgiuntive, allora questa proposizione disgiuntiva deve essere vera
Tipi ed espressioni valide
Compatibile (può essere vero allo stesso tempo)
negativo affermativo
positivo affermativo
Incompatibile (non può essere vero allo stesso tempo)
negativo affermativo
affermativo negativo
4. Proposta ipotetica
Proposizione condizionale: afferma una certa relazione condizionale tra l'antecedente e il conseguente
→(implica)
Un'istruzione di salto (antecedente e conseguente) ha una condizione e un risultato.
Condizioni sufficienti (false se la prima parte è vera e la seconda parte è falsa)
Se poi
antecedente affermativo
Postcondizione negativa
Condizioni necessarie (false se la prima è falsa e la seconda è vera)
Solo, solo
antecedente negativo
Solo p, solo q Non pag Quindi non-q
postpartum affermativo
Condizione necessaria e sufficiente
se e solo se
p e q sono sia veri che falsi
5. Proposizione negativa
Non
┓
Sezione 2 Connettori del Valore di Verità Modulo del Valore di Verità
1. Dai connettivi quotidiani ai connettivi valore-di-verità
I connettivi proposizionali sono anche chiamati costanti proposizionali (hanno solo un significato fisso e non cambieranno)
Un connettivo proposizionale che collega più proposizioni è un connettivo a più elementi.
Problemi con i connettivi quotidiani in logica
impreciso
Contiene molti contenuti illogici
Come giustapposizione, successione, progressione, transizione, contrasto, ecc.
Regole e convenzioni per l'omissione delle parentesi
(1) Le parentesi più esterne della formula possono sempre essere omesse
(2) Come l'aritmetica, quando non ci sono parentesi, prima moltiplica e dividi e poi aggiungi e sottrai: la priorità va da alta a bassa ┓, ∧, ∨, →, ←→
(3) Si conviene che (A∧B)∧C si può scrivere come A∧B∧C, e lo stesso vale per ∨, ma A→(B→C) si scrive A→B→C.
2. Assegnazione e assegnazione della forma del valore della verità
┓p, (p∧q), (p∨q), (p→q), (p←→q) sono rispettivamente negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione e uguaglianza.
Sia p vero/falso, questo si chiama assegnare un valore di verità, e il significato del connettivo verità si chiama interpretazione (funzione di verità)
Un insieme di assegnazioni di verità e un'interpretazione (una funzione di verità) costituiscono un'assegnazione di verità.
Se p→q, sia p vero e q falso, allora p→q sarà falso
Una formula contenente n variabili proposizionali ha 2ⁿ possibili combinazioni di valori di verità.
Formula = forma della verità = funzione della verità
p e q sono equivalenti a x (variabile indipendente) e y (variabile dipendente) nella funzione
3. Negazione
4. Congiunzione
Sia p che q sono veri
5. Disgiunzione
Compatibile: p e q sono veri se almeno uno di essi è vero
Incompatibile: se una qualsiasi delle alternative è vera, le altre alternative devono essere false.
6. Implicazioni
La premessa è vera e la conclusione è falsa solo se è falsa (non può essere generalizzata utilizzando if-then)
Quindi una proposizione vera può essere implicata da qualsiasi proposizione (conseguente vero)
Un fatto può essere implicato da qualsiasi proposizione, cioè è accaduto qualunque cosa accada.
L'implicazione sostanziale è in conflitto con il connettivo quotidiano "se allora". Quando compaiono due simboli di implicazione, diventa scomodo e controintuitivo.
Quando si accusa l’implicazione sostanziale, ciò porta logicamente anche ad accusare la comprensione dei rimanenti ┓∨∧ connettivi di verità
O p o q
p o q
Non p → q
┓p∨q
┓┓p→q
p→q
Due espressioni possono essere considerate equivalenti se le loro tavole di verità sono coerenti.
7. Equivalenza
L'antecedente e il conseguente sono sia veri che falsi, altrimenti l'equazione è falsa
8. Simbolizzazione di proposizioni composte nel linguaggio naturale
Innanzitutto determinare a quale proposizione appartiene la lingua naturale
Analizza il significato e a quale proposizione equivale
Ad esempio, "Desideri (p)" nell'Esempio 2 significa che vuoi ottenere un certo risultato, che è una condizione necessaria della proposizione dell'ipotesi q→p
Solo p è equivalente a q
se q allora p
Il linguaggio è innaturale, goffo e strano (motivi per scartare significato e contenuto)
Solo p è q
se non p allora non q
se p allora q
Solo q è p
Se p allora q equivale a "p solo se q"
Se p allora q è equivalente a "non p a meno che q", o "non p a meno che q"
p→q equivale a ┓q→┓p
se p allora q altrimenti r
(p→q)∧(┓p→r)
q a meno che p
¬p→q
¬q→p
p, altrimenti q
Come sopra
p a meno che q
¬q→p
sottoargomento
Sezione 3 Tautologie e loro metodi di determinazione
forma di verità
Tautologia (valido, soddisfacibile)
Il vero valore è sempre vero
Forma contraddittoria (forma non valida, forma soddisfacibile)
vacanza permanente
Anche forma vera (forma non valida)
Alcuni sono veri e altri sono falsi
1. Tautologia
Lo scopo della logica proposizionale è trovare l'insieme di tutte le tautologie
Procedura di determinazione
1 Ogni fase del programma è specificata da una serie di regole fornite in anticipo.
2Il programma può terminare in passaggi finiti
3. Può dare l'unico risultato certo per l'oggetto giudicato.
Dubbi comuni sulla tautologia
Legge di Peirce
A∨B→((A→B)→B)
La legge del medio escluso B∨┓B viene omessa, cioè la legge del medio escluso può essere sostituita solo dal simbolo di implicazione
Parte anteriore rinforzata
(A→B)→(A∧C→B)
È controverso. Se le proprietà di C possono raggiungere non-B, il risultato B potrebbe non essere ottenuto.
A∧┓B→B è addirittura vero, il che non è vero quando A è vero e B è falso.
La legge di identità e contraddizione nella logica proposizionale e la legge del terzo escluso: A→A.
2. Metodo delle tabelle di verità
Una formula contenente n variabili proposizionali ha 2ⁿ possibili combinazioni di valori di verità.
Utilizza un elenco per elencare le combinazioni di valori di verità di tutte le variabili della proposizione, elencare i valori di verità di tutte le sottoformule da semplici a complesse e infine ottenere tutte le situazioni di valori di verità della formula
Vantaggi: meccanico, semplice da usare, intuitivo e chiaro a colpo d'occhio, il più affidabile
Svantaggi: per le formule con molte variabili di proposizione, il carico di lavoro è troppo grande e richiede molto tempo.
3. Metodo di assegnazione per riduzione ad assurdo
Se l'assegnazione è falsa, se c'è una contraddizione, non è una contraddizione.
Vantaggi: Semplificazione della tavola di verità
Svantaggi: potrebbero essere necessari più incarichi, il che non è intuitivo ed è facile commettere errori.
4. Metodo del diagramma ad albero
Metodo di assegnazione reductio adassurdum
Regole concordate: cinque connettivi valore di verità, per un totale di 9 regole
Un ramo rappresenta una combinazione di valori di verità
La biforcazione rappresenta diverse situazioni
Per determinare la formula A, lascia che A sia falso, quindi ┓A è vero e quindi inizia a disegnare il diagramma ad albero di ┓A
A è una tautologia se e solo se ┓Ogni ramo (combinazione di valori di verità) del diagramma ad albero di ┓A è chiuso (contrassegnato ×)
Finché esiste un ramo senza x, A non è una tautologia
Quando incontri sottoformule biforcate e non biforcate, disegna prima quelle non biforcate, altrimenti verrà ripetuta e il carico di lavoro sarà pesante.
Sezione 4 Implicazioni tautologiche ed equivalenze tautologiche
1. La struttura formale del ragionamento: implicazione tautologica
Cercare
connettivi di verità per il livello più esterno
Domande frequenti sulle implicazioni
Condizioni predefinite
argomento circolare
Se Dio è onnipotente
2. Tautologia dell'equivalenza e regole di sostituzione
Queste regole servono come strumenti
Può essere utilizzato per qualsiasi parola connettiva, purché la formula sostituita sia equivalente alla formula sostitutiva
Sezione 5 Ragionamento naturale della logica proposizionale
1. PN (Sistema di regole di deduzione della logica proposizionale)
Teorema: è una formula derivata utilizzando le regole di deduzione Pᴺ senza premesse o ipotesi.
Può essere utilizzato direttamente per l'inferenza senza dimostrazione
Le regole della deduzione per analogia non richiedono prove
Quando Γ├A (Γ è un certo insieme di formule o ipotesi) e Γ = ∮ (l'insieme vuoto), allora A è una formula dimostrabile di Pᴺ, denominata teorema
Regole di detrazione Pᴺ
congiunzione
1～Regola di eliminazione∧⁻
A può essere derivato da A∧B; B può essere derivato da A∧B
A∧B├A;A∧B├B (semplificazione)
2～Introduzione delle regole ∧⁺
Da A e B possiamo dedurre A∧B
A,B├A∧B (unisci)
Estratto
3 Regole di eliminazione∨⁻
A∨B,A→C,B→C├C (formula semplice ragionamento difficile)
4Introduzione delle regole ∨⁺
A├A∨B;B├A∨B (legge aggiuntiva)
coinvolgimento
5→⁻
A→B, A├B (confermato)
(Deve essere utilizzato per dedurre l'assioma senza premesse) 6→⁺
Se Γ, A├B, allora Γ├A→B (introducendo un'ipotesi, che a sua volta può essere considerata falsa per contraddizione e deve essere vera)
Dimostrazione per assurdo: un insieme di formule Γ è falso se e solo se le premesse sono vere e la conclusione è falsa
Se in cucina non manca nulla e gli ingredienti ci sono, puoi cucinare
Equivalente a: In cucina non manca nulla. Se ci sono gli ingredienti, si può cucinare.
Espressioni di implicazione comunemente usate del teorema Pᴺ
¬A→(A→B), B può avere qualsiasi formula
Utilizzato per la dimostrazione per contraddizione, introducendo la formula contraddittoria per ottenere la formula originale
Allo stesso modo A→(¬A→B)
equivalente
7←→⁻
A←→B├A→B;A←→B├B→A
8←→⁺
A→B, B←A├A←→B
negativo
9 ┓⁻
Se Γ, ┓A├B, ┓B allora Γ├A (dimostrazione per assurdo)
10┓⁺
Se Γ, A├B, ┓B allora Γ├┓A (reductio adassurdum)
regole di auto-presentazione
11∈
Se Ai∈Γ, allora Γ├Ai (assumere un insieme di premesse equivale ad assumere ciascuna premessa)
Qualsiasi ipotesi può essere dedotta da un insieme di ipotesi
Teorema Pᴺ e suo metodo di dimostrazione o deduzione
Convenzione di scrittura (lo scopo è stabilire una catena di ragionamento continua o impeccabile)
① Elenca tutte le premesse indicate in righe separate all'inizio e indica la premessa a destra di ciascuna formula di premessa
② Se vuoi introdurre delle ipotesi, allo stesso modo di ①, è meglio elencare tutte le ipotesi all'inizio e contrassegnarle una per una.
③Ogni volta che viene elencata un'ipotesi, spostala di uno spazio a destra della formula sopra.
Dimostrare che questa è un’ipotesi basata sull’ipotesi precedente
④Ogni volta che viene elencata una formula, indicare la formula e le regole di detrazione su cui si basa a destra della formula.
⑤Le formule ottenute da ∨⁻∨⁺∧⁻∧⁺→⁻ ←→⁻←→⁺∈ sotto un'ipotesi sono tutte allineate con questa ipotesi, indicando che queste formule dipendono tutte da questa ipotesi e da ipotesi precedenti.
⑥Se si ottiene una formula basata su →⁺┓⁻┓⁻, lasciala essere portata e allineata con le ipotesi di cui sopra, indicando che si basa sulle ipotesi di cui sopra e prima, e che le ipotesi e le formule in questo edificio vengono revocate e non possono essere usato.
⑦Traccia una linea verticale dopo il numero del passo della detrazione per indicare l'inizio e la fine della detrazione; se è un'ipotesi, aggiungi un cerchietto in alto
Meta-teorema, il processo di dimostrazione è molto complicato
Una catena di ragionamenti con lacune
Leibniz dimostrò che 2 2 = 4
Aggiunta della legge associativa dell'addizione senza alcuna premessa
Non scrivere secondo le regole, salta troppo velocemente per essere intelligente
È meglio camminare lentamente e in modo costante
Rigorosamente preciso ma anche un po' tecnico (come ottenere la destra da sinistra, o come ottenere la sinistra da destra)
Assumi possibili condizioni per tutti i rami, come la soluzione violenta del Sudoku
Se il lato destro è disgiuntivo, assumerli separatamente, e se il lato destro è congiuntivo, si otterranno entrambi.
Utilizzo di teoremi dimostrati e regole derivate (per semplificare il processo di dimostrazione)
Il teorema Pᴺ è una tautologia. Allo stesso modo, la permutazione equivalente PR è una tautologia e può essere citata direttamente.
Capitolo 3 Termine Logica (dividere la proposizione per esprimere la natura di ciascun componente all'interno della proposizione)
1. Proposta schietta
Struttura basilare
(Termine quantitativo) Termine soggetto (Co-termine) Termine predicativo
Il contenuto extra lo incorpora nella struttura, ignorando le sue relazioni (logica proposizionale).
Il distico positivo può essere omesso, ma il distico negativo non può essere omesso.
Classificare le proposizioni in base alle quantità
proposta del nome completo
proposta speciale
C'è una proposta, c'è almeno un individuo
Pertanto, se S è P, non si può dedurre che S non sia P.
Dal principio debole
Almeno uno, al massimo tutti
proposizione singolare
Si riferisce a un nome proprio o a una descrizione che significa "questo, quello"
Classificazione
Il nome completo è proposizione affermativa SAP (A)
Tutte le S sono P
Nome completo SEP negativo (E)
Tutte le S non sono P
Affermazione del nome speciale SIP (I)
Alcuni S sono P
Appositamente chiamato SOP negativo (O)
Alcuni S non sono P
singolare
Singolare affermativo SaP(a)
a è P
Negazione singolare SeP(e)
a non è P
Trattato come un caso speciale di proposizione universale, è facile commettere l’errore di confondere concetti.
rapporto soggetto-predicato
I termini soggetto e predicato considerano solo la denotazione (l'oggetto, la raccolta o la categoria a cui fa riferimento il termine) e non studiano la connotazione (il contenuto e il significato espressi dal termine).
Esempio: persone
Connotazione: animali capaci di attività mentali
Denotazione: tutte le persone che siano mai esistite
L'essenza è la relazione tra due insiemi non vuoti. Per affrontare la relazione, devi prima trovare l'estensione.
Il motivo per non considerare la connotazione: ognuno ha comprensioni diverse, opinioni diverse, problematiche
relazione denotativa
stessa relazione
S è uguale a P
rapporto di inclusione
S contiene P
incluso in
S è incluso in P (c'è S in P)
attraverso
Alcuni S sono P, altri S non sono P
Completamente differente
Il rapporto tra soggetto e predicato relativo al terzo concetto (i tre insieme costituiscono l'insieme completo) può essere suddiviso in
rapporto contraddittorio
rapporto di opposizione
giusta relazione
rapporto di opposizione
A ed E
Non può essere uguale a vero, può essere uguale a falso
rapporto contraddittorio
A e O
E ed io
Vero e falso non possono essere la stessa cosa, uno deve essere vero e l'altro falso
SAP←→┓SOP
Lo stesso vale per quanto segue
Relazione differenziale (relazione subordinata)
A ed io
E e O
Il vero universale implica il vero specifico, il falso specifico implica il falso universale
Rapporto di opposizione inferiore
Io e O
Può essere sia vero che falso
duttilità
definizione
Se la proposizione categoriale data asserisce (coinvolge) tutte le proprietà estensionali del soggetto o del predicato
Si conclude che tutte le estensioni vengono distribuite, altrimenti non vengono distribuite.
4 tipi di situazione di diffusione della proposta
UN
La settimana principale significa non settimana
Ad esempio: tutte le persone sono animali, quindi tutti gli animali sono persone
Non si rivolge a tutti gli animali, ma solo a quella parte di tutti gli animali che sono esseri umani.
E
Signore Zhou significa Zhou
IO
Se il Signore non è Zhou, significa che non è Zhou.
Alcune estensioni di S e P non sono menzionate.
O
Se il Signore non è Zhou, allora Zhou si chiama Zhou
Alcune persone non sono studenti dell’Università di Pechino e alcuni studenti dell’Università di Pechino non sono esseri umani.
Non ha fatto causa se gli studenti dell'Università di Pechino fossero altro che persone. Ha fatto causa solo a tutti gli studenti dell'Università di Pechino e ad alcune persone.
generalizzare
Il nome completo è Zhuzhou, il nome speciale è Zhubuzhou, si chiama definitivamente Buzhou e si chiama negativamente Zhou.
Personalmente penso all'importanza
Nel linguaggio quotidiano si menzionano o meno le ragioni per confutare l'altra parte.
2. Ragionamento diretto
definizione
Inferenza che parte da una proposizione categoriale (premessa) e deriva un'altra proposizione categoriale come conclusione
Avviso
Distinguere tra P e ┓p
rispettivamente termini e proposizioni
metodo
Sostituzione ("in altre parole")
Definizione: cambiare una proposizione categorica da affermazione a negazione (qualitativa), o da negazione ad affermazione, e cambiare il predicato nel suo concetto contraddittorio (complemento) per ottenere una proposizione categoriale equivalente.
Caratteristiche
Il termine soggetto rimane invariato e il termine quantità (nome completo, termine speciale, termine singolare) rimane invariato.
I co-termini (sì, no, entrambi, nessuno dei due) e i termini predicativi diventano concetti contraddittori
P cambia in P, cioè l'insieme di P diventa l'insieme complementare
La nuova proposizione categoriale ottenuta ha lo stesso valore di verità della proposizione categoriale originaria.
Non può essere semplicemente rappresentato dall'AEIO.
SAP←→SEP
Tutte le persone sono animali ←→ Tutte le persone non sono non-animali
SETTEMBRE←→SAP
Tutte le persone non sono animali ←→ Tutte le persone non sono animali
SIP←→SOP
Alcuni S sono P←→Alcuni S non sono non-P
SOP←→SIP
Alcuni S non sono P←→Alcuni S non sono P
metodo di trasposizione
Definizione: una nuova proposizione categoriale (conclusione) si ottiene scambiando i termini del soggetto e del predicato di una proposizione categoriale, mantenendo invariata la qualità e modificando i termini quantitativi.
Se gli elementi della premessa non sono distribuiti, non deve essere distribuita la conclusione.
Caratteristiche: la premessa e la conclusione non sono necessariamente equivalenti, ma la premessa non deve essere inferiore alla conclusione. Cioè, se la premessa non è diffusa, la conclusione non può essere diffusa.
SAP→PIS
Tutto S è P → Alcuni P sono S
SET→PES
Tutto S non è P → Tutto P non è S
SIP→PIS
Una parte di S è P→Una parte di P è S
La POS non può essere recepita
Qualche S non è P → Qualche P non è S
Dopo il cambiamento, non parlano della stessa cosa, cioè il soggetto e il predicato sono intercambiabili.
Alcune persone non sono studenti universitari → Alcuni studenti universitari non sono persone ×
metodo di trasposizione
Definizione: cambiare prima la qualità e poi cambiare la posizione per ottenere una nuova proposizione categorica
SAP→SEP→PES
SEP→SAP→PIS
SIP non può modificare la posizione di qualità
SIP→SOP, SOP non può essere trasposto
SOP→SIP→PIS
Metodo di sostituzione (non necessariamente equivalente)
SAP→SEP→PES→PAS
Dove c'è fumo, c'è fuoco → Dove c'è fumo, c'è fuoco → Dove non c'è fuoco, c'è fumo → Dove non c'è fuoco, non c'è fumo
Ci deve essere la morte
Nessuna morte, nessuna vita
PAS→PES
La SOP non può essere modificata violentemente
PIS→POS
Pensando al passaggio da SAP a SOP, la premessa non è distribuita, ma la conclusione è distribuita. Cosa sta succedendo?
Ragionamento per corrispondenza
contro il ragionamento relazionale
SAP→┓SEP
SET→┓SAP
ragionamento basato sulle relazioni differenziali
SAP→SIP
SET→SOP
┓SIP→┓SAP
┓SOP→┓SEP
ragionamento relazionale contraddittorio
SAP→┓SOP
SET→┓SIP
SIP→┓SEP
SOP→┓SAP
┓SAP→SOP
┓SEP→SIP
┓SIP→SEP
┓SOP→SAP
ragionamento contro le relazioni
┓SIP→SOP
┓SOP→SIP
Ragionamento su proposizioni singolari
SAP→a è P
Fare attenzione a non confondere i concetti
Tutti i cinesi lavorano duro (persone)
Sono cinese
Sono un gran lavoratore (persona)
I cinesi (concetto collettivo) sono laboriosi
Non sono necessariamente un gran lavoratore
a è P→SIP
Tre, sillogismo
definizione
Un sillogismo è un ragionamento in cui due proposizioni categoriali sono collegate da un termine comune e come conclusione viene tratta una nuova proposizione categoriale.
Composizione (omettendo termini congiunti, termini di quantità e caso)
premessa maggiore
P (termine maggiore) termine comune M (termine medio)
premessa minore
S (termine piccolo) termine medio M
Insomma
Termine soggetto S (termine minore) Termine predicativo P (termine maggiore)
Di solito la premessa maggiore implica la maggior parte dei contenuti tra le tre. La conclusione di un ragionamento valido non deve comportare altro che l'affermazione precedente.
griglia
Definizione: in base alla diversa posizione del termine medio nella premessa, nonché della premessa maggiore sopra e della premessa minore sotto, i sillogismi si dividono in quattro tipi diversi.
prima griglia
deputato SM SP
La premessa minore deve essere affermata La premessa maggiore deve essere chiamata per intero
La lettera centrale può essere solo A o I, mentre la prima lettera può essere solo A o E.
AAA⁻1,AAI-1,AII-1,EAE-1,EAO-1,EIO-1
seconda griglia
PM SM SP
Due locali devono averne uno oppure no La premessa maggiore deve essere chiamata per intero
M sono tutti predicati, quindi deve esserci un no, la conclusione è no, P è estesa e la premessa maggiore deve essere completa La conclusione deve essere negativa
AEE-2, AEO-2, AOO-2, EAE-2, EAO-2, EIO-2
terza griglia
deputato SM SP
La premessa minore deve essere affermata La conclusione deve essere specifica
Supponiamo che la premessa minore sia falsa, quindi la conclusione è falsa e P settimane, quindi la premessa maggiore è P settimane, quindi la premessa maggiore è falsa ed entrambe sono false, quindi la premessa minore deve essere affermativa Allora la conclusione S è incompleta e deve essere invocata specificatamente
AAI-3,AII-3,EAO-3,EIO-3,IAI-3,OAO-3
Quarta griglia
PM SM SP
Se la premessa maggiore è certa
allora la premessa minore deve essere nominata per intero
Se la premessa minore è certa
allora la conclusione deve essere specifica
Se una premessa viene negata
Quindi la premessa maggiore deve essere nominata per intero
EAO-4
AEO-4
Se la premessa maggiore è speciale
allora è richiesto IAI-4
Se la premessa minore è speciale
allora è richiesto EIO-4
AAI-4,AEE-4,AEO-4,EAO-4,EIO-4,IAI-4
6 in ciascuna griglia, per un totale di 24 equazioni valide, 9 delle quali contengono equazioni valide con ipotesi e 6 equazioni alle differenze (la conclusione può essere universale ma si ottiene quella specifica)
Modalità
L'ammontare totale
4*4*4*4 celle=256
Definizione: i sillogismi si dividono in diverse tipologie in base alla qualità e alla quantità delle tre proposizioni categoriali che costituiscono il sillogismo.
Modulo valido
Misurare per giudicare
regola
Illustrazione
Diagramma di Venn o diagramma di Eulero
deduzione assiomatica
Sulla base della premessa maggiore (la maggior parte delle situazioni) e della premessa minore (situazioni specifiche), deduci la conclusione (un piccolo numero di nuove situazioni)
regola
Regola generale (sufficiente per tutti i sillogismi)
Regola 1
In un sillogismo ci sono e possono esserci solo tre termini diversi
Il termine "quattro errori concettuali" con più di tre termini ha molteplici significati
Ad esempio, le università cinesi sono sparse in tutto il paese. L'Università di Pechino è un'università in Cina, quindi l'Università di Pechino è diffusa in tutto il paese.
Confondere il concetto di tutto (collettivo) e il concetto di individuo
Meno di tre termini "sillogismo mascherato"
Potrebbe essere impossibile ragionare, la conclusione dipende dal valore di verità delle premesse
Regola 2
Il termine medio si estende almeno una volta nella premessa
Come ponte e mezzo, il termine medio dovrebbe creare una certa relazione tra la premessa maggiore e quella minore per produrre un risultato inevitabile (conclusione). È necessario che una delle due premesse sia una relazione totale (distribuzione, questa relazione si verifica in qualsiasi situazione), e l'altra sia una relazione totale o parziale.
Errore nella violazione della regola 2
Il termine medio non è distribuito due volte
La premessa è vera e la conclusione è vera
Per caso, la conclusione è vera, ma la forma del ragionamento non è valida, il che non è fedeltà logica (il processo è sbagliato e il risultato è giusto)
Conclusione falsa
Regola 3
Gli articoli che non sono distribuiti nelle premesse non devono essere distribuiti nella conclusione.
Errore di violazione della regola 3
Pianificazione impropria di grandi progetti
Diffusione impropria di elementi minori
Regola 4
Due premesse negative non possono portare ad alcuna conclusione definitiva (inevitabile).
Ci sono molte situazioni incerte
Regola 5
Se una delle premesse è negativa, la conclusione è negativa Se la conclusione è negativa, anche una delle premesse deve essere negativa
Violazione della regola 5
La conclusione è in conflitto con la premessa La premessa è sì e no, la conclusione è sì La premessa è sì, la conclusione è no
Regole di derivazione (per un facile riconoscimento e comodità)
Regola 6
Entrambe le premesse non possono essere specifiche
II,IO,OI,OO
Regola 7
Se la premessa ha un nome speciale, la conclusione deve avere un nome speciale.
Secondo la regola 6, uno deve essere completo e l'altro speciale
teorema
Un sillogismo corretto con una conclusione completa in cui un termine non può essere esteso due volte
Confutazione sommaria in una sola parola: non necessariamente
sillogismo del linguaggio quotidiano
modulo standard
Per prima cosa converti tutte le premesse e le conclusioni in proposizioni categoriche in forma standard
Utilizzare relazioni contraddittorie per gestire il "non"
Si noti che le doppie negazioni esprimono l'affermazione "nessuno...non è" e "tutti...sono"
Distinguere tra conclusione, premessa maggiore e minore e termine medio
La conclusione non contiene il termine medio, prestare attenzione all'errore dei quattro termini
Scrivi in formato
Determina se il sillogismo è valido
forma non standard
Forma ellittica
Premessa maggiore provinciale
premessa minore
Insomma
Completamento
Composto
Il sillogismo contenuto nella premessa necessita di essere chiarito e integrato.
sillogismo concatenato
Contiene vari sillogismi, la premessa può essere omessa dalla conclusione centrale
Molti sinonimi
Può essere deformato dal tempo, dal luogo e da altri parametri
4. La questione del significato esistenziale delle proposizioni categoriali
SAP→SEP→PES→PAS→SIP→SOP
Violazione della regola secondo cui gli articoli nei locali non devono essere distribuiti e la conclusione non deve essere distribuita
Motivazione: Si stabilisce il "presupposto di esistenza" dell'implicazione logica del termine, cioè dal nome universale si può dedurre con certezza il nome specifico, il che presuppone l'esistenza del soggetto (insieme non vuoto e non completo)
Se il significato dell'esistenza viene rimosso, la relazione tra AEIO e Dang non viene più stabilita.
A ed E non sono più opposti in modo superiore. Se S non esiste, A ed E possono essere ugualmente vere (le false premesse implicano qualsiasi conclusione).
I e O non si oppongono più. Se S non esiste, possono essere entrambi falsi.
Il metodo di recepimento ristretto e il metodo di recepimento ristretto previsti dalla modifica A I non sono più validi.
Nel sillogismo non valgono più le 9 formule valide che dalle due premesse universali portano alla conclusione particolare.
La proposizione categoriale di logica lessicale AEIO contiene S.
5. Giudizio grafico di validità del sillogismo
metodo
Metodo di giudizio del diagramma di Eulero
Senza restrizioni
Metodo di giudizio del diagramma di Venn
Non si presuppone che il soggetto esista e le 9 espressioni valide del nome universale e del nome speciale non sono valide qui.
Se si presuppone che il soggetto esista, disegna ⊕ per indicare non vuoto
I tre cerchi rappresentano rispettivamente il soggetto, il predicato e il termine medio. Disegna tutti i contenuti menzionati nella premessa.
Dai la priorità al disegno del nome completo della proposizione e disegna l'ombra per l'ambito della discussione senza il soggetto.
Le proposizioni speciali sono rappresentate da " ". Se non sei sicuro su quale lato della linea posizionare, disegna semplicemente " " sulla linea.
Capitolo 4 Logica dei predicati
ragioni derivate
Compensare le limitazioni della logica proposizionale e della logica lessicale ed essere in grado di gestire proposizioni relazionali e il loro ragionamento, proposizioni di proprietà contenenti connettivi in quantificatori e il loro ragionamento (saper gestire proprietà e relazioni)
ambito di ricerca
Inferenze basate sui connettivi
Inferenze basate su quantificatori
Inferenze basate sia su connettivi che su quantificatori
Tutte le proposizioni possono essere ragionate con la logica dei predicati
Sezione 1 Singole parole, predicati di proprietà, quantificatori e formule
Divisione della proposizione nella logica dei predicati
singole parole
Simboli che rappresentano individui nel dominio degli oggetti
variabili individuali
xyz, ecc. rappresentano un oggetto incerto all'interno di un intervallo specifico (dominio del discorso o dominio individuale)
Una funzione di n elementi contenente n elementi rappresenta la relazione tra singole variabili.
Ad esempio, G (x, y) significa che xey hanno una relazione di proprietà G e la funzione binaria
costante individuale
abc, ecc.~oggetti determinati
qualcosa con un nome proprio
La capitale di un determinato paese F(x) La capitale della Cina F (xᵃ)
Dominio del discorso (dominio individuale)
Generalmente si riferisce all'intero dominio, cioè alle cose di cui si può pensare e di cui si può parlare nel mondo
Parla di tutto nella conversazione quotidiana, non di un ambito specifico
Se il dominio del discorso è D, Vx è espresso come tutti i valori di x nel dominio del discorso D
predicato
Predicato unario (predicato di proprietà)
Simboli predicativi, rappresentati da lettere maiuscole
Rappresenta la natura di un individuo, con un solo termine
Due termini o più rappresentano la relazione tra loro, predicato n-ario
Formula atomica
Ad esempio, F(a), G(x) significa che a è F e x è G.
Predicati multipli (predicati relazionali)
Coinvolge n oggetti, n>1
quantificatore
Nome completoV
VxF(x) viene letto come "per tutti gli x, x è F"
∀xAx：Ax¹∧Ax²∧……∧Axⁿ∧……
Tutti gli individui con un certo attributo (F) nel dominio del discorso
Esistenza∃
∃xF(x) si legge come "x esiste tale che x è F"
∃xAx：Ax¹∨Ax²∨……∨Axⁿ∨……
Ci sono individui con determinati attributi nel dominio del discorso
parola connettiva
Giurisdizione
Formula quantitativa
Ad esempio Vx(F(x)→G(x)) ∃xF(x)∧VyH(y)
La portata dei quantificatori
Se ci sono parentesi, fai attenzione a cosa c'è dentro le parentesi. Se non ci sono parentesi, ignora semplicemente la formula più breve accanto ad essa.
Come VxF(x)∧G(x)
Lo scopo del quantificatore Vx è F(x)
variabili di vincolo
Formule che appaiono con vincoli
appare il vincolo
Una determinata occorrenza di una variabile è governata da un quantificatore, ovvero appare nell'ambito
variabili libere
Ci sono formule che appaiono liberamente
Formula aperta
Una formula contenente almeno una variabile libera il cui vero valore non può essere determinato
formula chiusa
Una formula senza variabili libere, determinata dal valore di verità interpretato di un dato universo di discorsi e simboli e costanti predicative
Le variabili individuali possono essere vincolate e libere allo stesso tempo
Simbolizzazione di proposizioni qualitative nel linguaggio naturale
6 tipi di proposizioni categoriche
Nome completo sicuramente SAP
Vx(S(x)→P(x))
relazione di sottoinsieme
SETTEMBRE
Vx(S(x)→┓P(x))
SORSO
彐x(S(x)∧P(x))
Esiste x, x è S e x è P
Rapporto di intersezione
SOP
彐x（S（x）∧┓P（x））
Esiste x, x è S e x non è P
a è P
Papà)
esempio
F(x): il padre di x G(x): autore di x Q(x): x proviene dalla dinastia Qing P (x, y): x è un funzionario tessile di y a: Cao Xueqin b: "Un sogno di palazzi rossi" c: Jiangning
L'autore di Dream of Red Mansions apparteneva alla dinastia Qing
Q(G(b))
Il nonno di Cao Xueqin era un funzionario dell'amministrazione tessile di Jiangning
P(F(F(a)),c)
a non è P
┓a
┓P(a)
Se si determina che l'ambito della discussione è un ambito specifico, allora si può parlare solo delle proprietà degli individui nell'ambito dell'ambito del discorso.
Se non tutti sono piante, il campo di discussione sono gli esseri umani
Vx┓S(x)
Abbreviazione SEP
Per tutti gli individui, se l'individuo è un essere umano, allora l'individuo non è una pianta
Sezione 2: Predicati relazionali, quantificazione sovrapposta, proprietà delle relazioni binarie
proposta relazionale
Concludere che esiste una certa relazione tra gli individui
elementi
singole parole
predicato relazionale
Coinvolge due o più individui, più di due diadi
quantificatore
Linguaggio del primo ordine L (linguaggio logico dei predicati del primo ordine)
logica predicativa del secondo ordine
L'ambito del quantificatore influisce sui predicati, non solo sugli individui
composizione
simbolo iniziale
variabili individuali
costante individuale
simbolo del predicato
quantificatore
parola connettiva
simbolo ausiliario
regole del modulo
Se A è una formula, A può essere preceduto da un quantificatore Oppure A può essere un quantificatore (vincolo nullo) Oppure se A contiene un quantificatore, può essere seguito da un quantificatore (vincolo di ripetizione)
VxA, 彐xA, A può essere qualsiasi formula
quantificatori sovrapposti
Ci sono anche quantificatori nell'ambito dei quantificatori
Ripeti le singole parole legate
Le formule contenenti quantificatori sovrapposti sono chiamate formule di quantificazione sovrapposte
Prestare attenzione a distinguere tra quantizzazione ripetuta, quantizzazione sovrapposta e vincoli nulli
La quantificazione ripetuta significa che più quantificatori vincolano lo stesso oggetto (individuo), solo quest'ultimo ha effetto.
Se 彐xVx彐xF(x) è uguale a 彐xF(x)
Un vincolo vuoto significa che il quantificatore non ha alcun oggetto vincolo, il che significa che non ha alcun effetto.
Se VxF(y) è uguale a F(y)
Vx彐yA non può essere modificato in 彐yVxA
La giurisdizione è cambiata
Simbolizzazione di proposizioni relazionali nel linguaggio naturale
Ad esempio, non esiste un numero naturale più grande (riferito a 0, 1, 2, 3...)
È meglio tradurlo in una formula che non contenga simboli negativi e la cui portata sia chiara a colpo d'occhio.
Può essere inteso come "C'è sempre un numero naturale maggiore di qualsiasi numero naturale"
Per ogni x, se x è un numero naturale, allora esiste y tale che y sia un numero naturale e y sia maggiore di x
La traduzione letterale è che non esiste un numero naturale più grande
tutti hanno i genitori
Tutti hanno persone come i loro genitori
Tutti hanno un padre e una madre
Traduzione errata che non esprime la relazione: Vx (Hx→Px)
Se John ha un asino, allora a John piace
Per qualsiasi individuo, se è un asino ed è di proprietà di John (a), allora gli piace
Vx（Dx∧Hax→Lax）
Tradotto in esistenza, implica variabili libere (che possono essere qualsiasi cosa nell'ambito del discorso).
È anche inappropriato tradurre l'esistenza come implicante l'esistenza, indicando che l'antecedente e il conseguente non sono correlati, e l'asino nell'antecedente non è necessariamente l'asino nel conseguente.
Presta attenzione ad esprimere la relazione tra i predicati, ovvero espandi i simboli dei predicati e scrivi
Problema di quantità individuale
Quantificatori come almeno, esattamente, al massimo, ecc.
Utilizzare s≠t per esprimere ¬ (s=t)
Proprietà logiche delle relazioni binarie Problemi di ordinamento
Relazioni diverse di diversa natura
riflessivo
x ha una relazione R con se stesso x
Simmetrico
la posizione xy può essere modificata
La relazione R è simmetrica se e solo se, VxVy(R(x,y)→R(y,x))
transitivo
Può esserci una relazione R tra xyz e xyz
Sezione 3 Modello e Assegnazione Formule di Validità Universale
L ottiene significato e valore di verità attraverso M e l'assegnazione
Modello M
Dominio individuale D
Dato un insieme non vuoto composto da individui con determinate proprietà
Se il dominio individuale D è il dominio globale, allora x è qualsiasi cosa
Una funzione interpretativa I su D
I interpreta la costante individuale c in L (linguaggio del primo ordine) come un individuo specifico I(c) in D, e il simbolo del predicato viene interpretato come un insieme di individui con determinate proprietà in D
Ad esempio, in σ(F(t1,t2,t3...)), F rappresenta l'insieme delle singole parole tra parentesi seguenti
Una formula chiusa (una formula senza variabili libere) ha solo cose (simboli di predicato, quantificatori, variabili di vincolo, costanti individuali) e il significato e il valore di verità sono determinati.
Assegnare un valore a σ (è possibile scegliere solo due valori, vero e falso, T e F)
Assegna ρ: assegna gli individui in D a tutte le variabili libere in L contemporaneamente
(Specificare chi inviare e per quale scopo)
Come Li Bai, è impossibile giudicare cosa sia Li Bai senza assegnarlo
σ＝<M,ρ>
Varie formule sono vere sotto σ se e solo se
F(t¹t²…)
è vera sotto σ se e solo se t¹t²… ha una relazione F (appartiene all'insieme F)
σ<t¹t²…>∈σ(F)
VxA (pensa alla formula A come a un insieme)
A è sempre vero dopo aver interpretato una x che ricorre liberamente in A come ogni singola parola nel dominio individuale D
彐xA
Interpretare una x che ricorre liberamente in A come se seguisse una singola parola in D rende A vera
┓∧∨→←→Le condizioni di verità sono le stesse della logica proposizionale
Formule universalmente valide (leggi della logica dei predicati, chiamate anche formule spesso vere)
Fai un esempio e prova a spiegare
∀xF(x)→F(y)
F(y)→∃xF(x)
∀x(F(x)∨¬F(x))
¬∃x(F(x)∧¬F(x))
∀xFx↔¬∃x¬Fx
∃xFx↔¬∀¬Fx
∀x(Fx→Gx)→(∀xFx→∀xGx)
Perché non può essere ↔?
Se dieci persone superano l'esame, le inviteremo tutte a pranzo (i requisiti sono più severi). Se non puoi decidere chi ha superato l'esame, le inviteremo a pranzo (i requisiti sono più rilassati).
In quest'ultimo caso, la promessa dell'allenatore di offrire una cena a tutte e dieci le persone verrà mantenuta solo dopo che tutte e dieci le persone avranno superato l'esame. Finché uno di loro fallisce, non devi incassarlo, ovviamente puoi incassarlo.
∀x（Fx∧Gx）↔（∀xFx∧∀xGx）
Perché non può essere ∨?
Se tutte le persone sono maschi e femmine, non si può dedurre che siano tutti maschi o tutte femmine.
∃x（Fx∨Gx）↔（∃xFx∨∃xGx）
∧?
Qualcuno è sia un ragazzo che una ragazza. Succede che qualcuno è un ragazzo e qualcuno è una ragazza. Ma alcune persone sono uomini e altre donne. Non si può dedurre che alcune persone siano sia uomini che donne.
∃x∀yRxy→∀y∃xRxy
Problema del giudizio di validità universale
La logica del predicato è indecidibile Non esiste un modo universale per determinare tutte le proposizioni e può essere determinata solo localmente.
Bisogna indagare uno per uno se certi individui le cui cause sono quantificate abbiano determinate proprietà. Se il dominio individuale è infinito, sarà difficile scoprirlo a meno che non si scopra che uno è sbagliato. La quantificazione sovrapposta sarà ancora più problematica.
metodo di giudizio locale
Diagramma ad albero
Le 9 regole connettive della logica proposizionale sono ancora valide |La barra verticale indica che si ottengono nuovi rami da tutti i rami al piano superiore
Utilizzare prima la regola del connettivo, quindi utilizzare la regola del quantificatore con il requisito α e infine utilizzare la regola del quantificatore senza requisito α Se è necessario che α venga biforcato, deve essere prima biforcato.
Regole quantificatrici estese (Lo scopo elimina il quantificatore)
∀ (Non è possibile spuntare, non è possibile esaurire gli esempi, quindi può essere utilizzato ripetutamente)
: ∀xAx : | A(x/t), se t è libero di sostituire x (t non può essere governato da alcun quantificatore, Se c'è un quantificatore in A, allora t non può essere governato da A, Cioè, se c’è un individuo governato y in A, allora t non può essere y)
Se ∀xAx è vero, allora A è vero per ogni individuo nel dominio individuale Nel suo dominio individuale, una parte di un gruppo di individui è vera, diversi individui sono veri e anche un individuo specifico è vero.
¬∀(può essere spuntato, può essere utilizzato solo una volta, Gli esempi possono essere trovati nel singolo dominio)
: ¬∀xAx : | ¬A (x/α) se α è un termine costante specifico (non sono ancora sicuro di quale sia) che non è apparso prima in questo ramo (sono disponibili altri rami) (per evitare che lo stesso individuo sia influenzato da più predicati)
Se ¬∀xAx è vero, allora Ax non è vero almeno per alcuni individui nel dominio individuale (SOP)
∃⁻ (può essere barrato... la logica può garantire solo un esempio)
: ∃xAx : | A(x/α) se α è una costante specifica che non è mai apparsa prima
¬∃(impossibile esaurire gli esempi)
: ¬∃xAx : | ¬A(x/t) se t sostituisce libertà a x
Quando il diagramma ad albero non è chiuso
Ciclo di rami parziali senza contraddizione (predicato unario)
Formula prevedibilmente soddisfacibile, ovvero la formula originale non è una formula universalmente valida
Non ciclico ma ramificato all'infinito (predicato di due o più elementi) Le formule originali che possono essere terminate sono tutte formule valide
È impossibile giudicare se esiste una contraddizione o meno, ed è impossibile terminare il diagramma ad albero, cioè non si sa se la formula originale è valida o meno.
Metodo esplicativo (metodo modello) con esempi
Una spiegazione è un compito
σ: <<D, I>, ρ> Cioè, un modello più incarichi
La dimostrazione non è universalmente valida e richiede controesempi (anti-modelli) Per dimostrare che la formula può essere soddisfatta basta fare un esempio
Per dimostrare che non è un'espressione universalmente valida, ma che è soddisfacibile, sono necessari un controesempio e un esempio positivo.
Per dimostrare la validità universale è necessario che tutte le spiegazioni logicamente possibili siano vere
La dimostrazione non è soddisfacente e richiede che tutte le spiegazioni logicamente possibili siano false
Unica prova per contraddizione (dendrogramma disponibile)
Supponendo che la formula originale non sia valida/soddisfacibile, Esiste un controesempio che rende non valida la formula originale Ne consegue che non esiste un controesempio del genere
Presta attenzione ai punti che devi chiarire quando spieghi
Dominio individuale D
Il significato dei simboli costanti e dei simboli predicativi I
Se è coinvolta la formula aperta, quale variabile libera ρ assegna in D?
Deduzione naturale della logica dei predicati
QᴺRegole di inferenza
è un'espansione di Pᴺ
Pᴺ non può gestire il quantificatore, quindi usa Qᴺ per eliminare il quantificatore, poi Pᴺ gestisce i connettivi proposizionali e infine usa Qᴺ per aggiungere il quantificatore secondo l'aspetto desiderato.
4 regole quantificatrici aggiunte
∀⁻
∀xAx┣A（x/t）
Ad esempio, ⱯxƎyRxy, t sostituito in x non può essere y (la restrizione t non è governata)
La situazione in cui t non è vincolato
t è la costante individuale
A è la formula atomica (senza quantificatore)
A è una parola di contenuto, ma x non è governata da A
Una parola di contenuto e x è governata da A
t deve essere una variabile diversa dalle singole variabili governate da A Altrimenti, la sostituzione di t per x in A non è libera (vincolata)
∀
Ax┣∀xAx (x è una qualsiasi variabile libera)
Se non è possibile garantire che la variabile libera x nella premessa sia arbitraria, Quindi è necessario aggiungere un segno a x, indicando che la regola Ɐ non può essere utilizzata
Qualsiasi come Rxyz, può essere Rxxx, purché x non sia contrassegnato
Cosa sono le variabili libere
Singole parole incerte nelle formule senza vincoli di quantificazione
Come x in Rax x in Fx
Situazioni in cui è necessario contrassegnare le variabili libere
Variabili libere per una data premessa
Si presuppone che siano state introdotte variabili libere
Variabili libere derivate da premesse o assunzioni
Esistono variabili libere che si riferiscono specificamente a termini costanti come pedici.
Senza segnatura
Variabili libere ottenute da Ɐ⁻
Ǝ⁻
ƎxAx┣A (x/α), α è un termine costante speciale che non è mai apparso prima Se c'è una variabile libera y diversa da x in A, segna y (come sopra)
Ǝ
A(x/t)┣ƎxAx, t non può essere vincolato
Nota: come nel metodo del diagramma ad albero, i quantificatori con requisiti α vengono dedotti per primi, mentre quelli senza requisiti α vengono dedotti successivamente.
Principio di detrazione
Quale formula vuoi ottenere in ogni fase del processo di detrazione e come ottieni la conclusione dalle premesse?
La regola del quantificatore può essere utilizzata solo per il front-end e l'ambito è l'intera formula (questa regola può essere utilizzata solo per l'intero, come la regola Pᴺ)
Come A→ⱯxⱯyⱯzB
Deve essere eliminato prima → Solo quando avrai le parti necessarie potraiⱯ⁻ E può eliminare solo lo strato più esternoⱯ
Se vuoi ottenere ⱯxⱯzB
Prima elimina → poi elimina Ɐx, poi elimina Ɐy e infine introduci Ɐx
Sii affidabile e completo
Tutte le espressioni valide ↔Tutti i teoremi Qᴺ
Vale a dire, le formule derivate da Qᴺ sono generalmente valide e possono essere utilizzate come regole derivate.
Teoria delle parole equivalenti e analisi delle descrizioni
1. Teoria delle parole equivalenti
Motivo dell'ampliamento della L
"=" è comunemente usato in matematica e nel linguaggio naturale ed è importante.
Proprietà caratteristiche di parole come
riflessività
Ɐx（x=x）
simmetria
ⱯxⱯy（x=y→y=x）
Transitività
ⱯxⱯyⱯz（x=y∧y=z→x=z）
principio di indistinguibilità
ⱯxⱯy（x=y→（Fx→Fy）)
propose Leibniz
il principio di identità dell’indistinguibile
ⱯxⱯy(（Fx↔Fy）→x=y)
Come sopra
Usi di parole come
Può simboleggiare alcune lingue naturali
Almeno una x è F
ƎxFx
Almeno due x sono F
ƎxƎy（Fx∧Fy∧¬（x=y））
Ci sono due individui che sono F e sono diversi
Almeno tre x sono F
ƎxƎyƎz(Fx∧Fy∧Fz∧¬(x=z)∧¬(x=z)∧¬(y=z))
Al massimo una x è F
ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x＝y）
Se ci sono due individui, sono lo stesso individuo
al massimo due
ⱯxⱯyⱯz（Fx∧Fy∧Fz→（x＝y）∨（x＝z）∨（y=z））
Per ogni z, x è uguale a y oppure x è uguale a y.
Se ci sono tre individui, almeno due di essi sono lo stesso individuo
al massimo n
Allo stesso modo, se esistono n 1 individui, almeno due di essi sono lo stesso individuo
Esattamente una x è F
al massimo uno e almeno uno
ƎxFx∧ⱯxⱯy（Fx∧Fy→x=y）
Ǝx（Fx∧Ɐy（Fy→x＝y）) abbreviazione
Esattamente n
al massimo n e almeno n
Li Qian ha una coppia di figli
Li Qian:α Sxα: figlio di α Dyα: la femmina di α
ƎxƎy（Sxα∧Dyα∧Ɐz（Szα∨Dzα→（z＝x）∨（z＝y））)
Esiste un tale individuo x individuo y, x è il figlio di α e y è la figlia di α, e per tutti z, se z è il figlio o la figlia di α, allora z e x sono lo stesso individuo oppure z e y sono lo stesso individuo
Capitolo 5 Logica induttiva
definizione
Un sistema di conoscenza con ragionamento induttivo e metodi induttivi come contenuto di base
Rispetto
ragionamento deduttivo
Ragionamento di fedeltà e inevitabilità La conclusione non conclude altro che le premesse
Esistono premesse a sostegno del ragionamento induttivo
ragionamento induttivo
ragionamento probabilistico La conclusione afferma più delle premesse
Classificazione
logica induttiva tradizionale
l'esperienza individuale si eleva a conoscenza generale della necessità universale
logica induttiva moderna
credibilità, statistiche probabilistiche
significato
Ispirare le persone a esplorare con coraggio dal noto all'ignoto. La creazione, l'invenzione, la scoperta, ecc. sono inseparabili dalla logica induttiva.
metodo di ragionamento
metodo di enumerazione semplice
Definizione: la parte di un oggetto di cui è stato osservato che possiede una determinata proprietà e non sono stati riscontrati controesempi Ciò porta alla conclusione che tutti gli oggetti di questo tipo hanno questo attributo.
Requisiti di affidabilità
Il numero di oggetti da ispezionare deve essere sufficiente
abbastanza ampio
Lo spazio tra gli oggetti è abbastanza grande
Viene chiamato il metodo di enumerazione semplice, molto inaffidabile
Semplificazione eccessiva e generalizzazione affrettata
In sostanza, il ragionamento induttivo si basa su generalizzazioni parziali.
induzione scientifica
L’osservazione sommata alla ricerca scientifica è una deformazione della semplice enumerazione.
Esistono differenze individuali tra ricerca scientifica e ricerca scientifica
Anche se sembra brutto, può essere suddiviso in gradi, a seconda di quanto sia scientifico.
formula di espressione
Tutti gli S osservati finora sono P, e la ricerca scientifica mostra che esiste un’inevitabile connessione tra S e P Pertanto, ogni S, osservato o meno, è P
induzione completa
Esaminare fino all'estremo la quantità e la distribuzione dei metodi di enumerazione semplici
Campo di applicazione ridotto ma sufficientemente affidabile
Osservato tutto S Tutto S è P senza controesempi Quindi tutti gli S sono P
induzione escludente
Modi per trovare relazioni di causa-effetto (Progettato in base alle caratteristiche della relazione causale)
Cerca un terreno comune
Alcuni fenomeni a volte compaiono e a volte no. A causa della loro universalità, causa ed effetto li accompagnano sempre. Questi fenomeni non sono certamente le cause dei fenomeni oggetto di studio
formula
L'occasione 1 ha il fenomeno antecedente ABC e il fenomeno studiato a L'occasione 2 ha ABD, a 3 ha ASSO, a Quindi A (probabilmente) è la causa di a
vantaggio
Fornisce idee per trovare relazioni causali e ha un certo grado di affidabilità
discordanza
Forse hanno scambiato l'apparenza per la causa e non sono riusciti a scoprire la vera causa dietro di essa.
Se è insonnia, cerca la causa e il terreno comune Ho trovato qualcuno che faceva la doccia tutti i giorni ma ogni giorno le cose erano diverse, ma ho ignorato l'eccitazione causata da varie cose.
Come evitare l'insonnia evitare o fermare l'eccitazione
Trova un metodo diverso
Occasione 1 Ci sono ABCD e a L'occasione 2 ha BCD ma no a Quindi A è la causa di a
Comunemente utilizzato in esperimenti controllati
Cercare un terreno comune e cercare le differenze
Combinando quanto sopra, le due premesse vengono messe insieme per trarre una conclusione.
Situazioni di testa (ad esempio, c'è una A) Situazioni di coda (non c'è A)
Metodo della covariazione (metodo delle variabili di controllo)
Se sia A che un cambiamento in una certa misura seguono uno di essi, potrebbe esserci una relazione causale.
metodo residuo
C'è ABCDabcd Aa ha una relazione causale Sib cc Quindi Dd ha una relazione causale
Caratteristiche delle relazioni causali
universalità
coesistenza
sequenza
La causa è sempre la prima, l’effetto è sempre l’ultimo. Ma non è necessariamente il motivo di prima, potrebbero esserci altri motivi Facile da confondere
Come evitare confusione
"È davvero così? È possibile? Per il momento è tutto, ma per il futuro è difficile dirlo”.
diversità complessa
Ci sono molteplici cause e un effetto, una causa e un effetto, una causa e molti effetti, ecc. Esistono anche cause primarie e cause secondarie, cause distali e cause prossime (cause dirette, cause fondamentali)
ragionamento per analogia
A ha l'attributo abcd Babc Quindi B ha d
Può far sì che le persone traggano conclusioni da un'istanza e ottengano ispirazione o ispirazione
Come Luban ha inventato la sega
Si chiama ragionamento analogico molto inaffidabile
analogia meccanica Analogia ridicola
Metodo di simulazione
modello, modellazione
metodo di confronto
Confronta gli elenchi e trova somiglianze e differenze
Errori comuni
confronto forzato, confronto ingannevole Confronto falso, nessun confronto
deduzione ipotetica
fare un passo
1. Punto di partenza: problemi e dilemmi
2. Formare un'ipotesi: ragionamento abduttivo
Fenomeno da spiegare e se h, allora e Quindi h
e Se h1 o h2 o...hn, allora e Non h2 Non h3... Quindi h1
3. Dedurre osservazioni da ipotesi
4. Verifica delle ipotesi: conferma e falsificazione
norma di valutazione
conservatorismo
universalità
semplicità
confutabilità
Ci devono essere prove empiriche ed essere in linea con il mondo
La metafisica non ha prove empiriche
Modestia
Precisione
Dopo continue conferme o falsificazioni, scartare o modificare
La credibilità sta diventando sempre più alta
Il problema dell'induzione di Hume
Il ragionamento induttivo è valido?