常微分方程式（ODE）

偏微分方程式（PDE：本ノートは主にODE）

階数：最高階微分の次数（1階、2階）

次数：微分方程式を微分について多項式とみなしたときの次数

一般解

特殊解

特解（非同次の特別な1つの解）

初期条件・境界条件

存在・一意性（概略）

形：dy/dx = f(x)g(y)

手法：両辺をyとxで分離して積分

形：y' + p(x)y = q(x)

手法：積分因子法

解の構造：同次解 + 特解

形：y' = F(y/x)

手法：y = vx などの置換

形：M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

条件：∂M/∂y = ∂N/∂x

手法：ポテンシャル関数を求める

積分因子

形：y' + p(x)y = q(x)y^n

手法：u = y^(1-n) による線形化

形：y' = a(x)y^2 + b(x)y + c(x)

手法：既知の特解があれば線形化（y = y_p + 1/u）

クレロー（Clairaut）型・ラグランジュ型（概観）

yとxの入れ替え、y = ux + v など

オイラー法、改良オイラー法、ルンゲ＝クッタ法

形：y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)

解の構造：一般解 = 同次解 + 特解

線形独立・ワロンシアン（概念）

形：y'' + ay' + by = 0

特性方程式：λ^2 + aλ + b = 0

解の分類

形：y'' + ay' + by = r(x)

未定係数法（特解の仮定）

定数変化法（パラメータ変化法）

畳み込み（グリーン関数的視点：概観）

形：x^2 y'' + a x y' + b y = r(x)

手法：x = e^t の置換、または y = x^m の仮定（同次）

既知解 y1 から y = y1 v により2階→1階へ

形：y'' = F(x, y, y')

代表例

位相平面（概要）

解空間：線形結合（次数に応じて定数の数が決まる）

一般解：同次解 + 特解

特解の選び方

初期条件・境界条件を満たす特定の解

特異解（一般解の包絡として現れる場合：概観）

分離できる → 分離形

y' + p(x)y = q(x) → 線形（積分因子）

y' = F(y/x) → 同次形（置換）

Mdx+Ndy=0 かつ完全条件 → 完全微分

y' + p y = q y^n → ベルヌーイ

定数係数・同次 → 特性方程式

定数係数・非同次 → 未定係数法 / 定数変化法

x^2 y'' + a x y' + b y → オイラー・コーシー

同次解の一つが既知 → 次数低減