マインドマップギャラリー 1変数関数の微分の幾何学的応用
1変数関数の微分の幾何学的応用に関するマインドマップであり、主な内容としては、極値と最大値の概念、単調性と極値の判別、凹面と変曲点、漸近線、最大値の概念が含まれます。値または値の範囲を取得します。
2022-07-03 07:58:01 に編集されました1 変数の積分の幾何学的な応用
極値と最大値の概念
★両極端な価値が存在する前提は、両側面が定義されている必要がある。
極値点は必ずしも極大点であるとは限りませんし、極大点は必ずしも極値点であるとは限りません。
y=e の x 乗には、[0, ∞] に極大点がありますが、極値点はありません。
y=3x-xの3乗
極端なポイントはありますが、最大ポイントはありません
区間内の最大点は極値でなければなりません
区間内の点は極点ではないため、最大点であってはなりません。
不連続点は極点になることもあります
左側と右側が定義されている限り、4 種類の不連続点すべてを使用して、極点に到達できます。
単調性と極値の識別
単調性の判定
極点
この点の近傍で微分可能であれば、極点で微分可能である必要はありません。
必要条件(フェルマー)
f(x) は x=x0 で微分可能であり、点 x0 で極値を取ります。
したがって、f'(x0)=0 でなければなりません。
最初の十分条件
連続性を見つける前に、まず連続性を検証します。前提として、この点では連続であり、f'(x0) は x0 の偏心近傍で符号が変化します。
2番目の十分条件
f(x) は、x=x0 および f'(x0)=0、f''(x0)≠0 で 2 階微分可能です。
f''(x0)>0、f(x0) は、極限定義と局所符号保存特性によって証明できる最小値です。
逆に最大値は
3番目の十分条件
f(x0)=0 の m 次微分、f(x0)≠0 の n 次微分
n が偶数の場合、n 次導関数は >0 となり、x=x0 で最小値になります。
n が偶数の場合、n 次導関数は 0 未満であり、x=x0 で最大値になります。
定義を使用して識別することもできます。
凹面と変曲点の概念
2 点を結ぶ直線の関数値 < 曲線上の 2 点の中点の関数値
凸型
2点を結ぶ直線の関数値 > 曲線上の2点の中点の関数値
凹面
変曲点の定義
変曲点は連続していればよい
導出可能かどうかとは関係ありません。
凹凸順不同
変曲点は曲線上にあります
書き込み (x0,f(x0))
極値点とは、定義領域上の点を指します。
極値は関数値です
凹凸タイプを区別する
二次導関数 > 0、凹型
二次導関数 <0、凸
変曲点判定
必要な条件
f′′(x0) が存在し、点 (x0, f(x0)) は曲線上の変曲点です
すると f''(x0)=0
最初の十分条件
前提条件は、偏心近傍で 2 次導関数が連続である場合、その符号が変化するということです。
2番目の十分条件
f''(x0)=0、f''(x0)≠0の場合、(x0,f(x0))が変曲点になります
3番目の十分条件
f(x0)=0 の m 階導関数
nが奇数の場合、n次導関数≠0
(x0,f(x0)) は変曲点です
定義を使用して識別することもできます。
試験の問題
5.5 単調性の証明
f'とfの関係
ラグランジュの平均値定理を考えてみる
点付近の二次導関数 > 0
点付近の曲線は凹曲線です
極値の定義に従って極値を特定する
漸近線
鉛直漸近線
定義点がありません
間隔のエンドポイントを定義する
区分関数区分点
limx は x0 =∞ になる傾向があります (または limx は x0-=∞ になる傾向があります)。その場合、x=x0 は垂直漸近線になります。
水平漸近線
limx は ∞=y1 になる傾向があり、y=y1 は水平方向の漸近線になります。
limx は -∞=y2 になる傾向があり、y=y2 は水平漸近線になります。
= が同じ漸近線の場合、y = y0 は水平方向の漸近線です。
斜めの漸近線
limx は ∞ になる傾向があり、limf(x)/x=a1 (a = 0 にはなりません。) lim[f(x)-a1x]=b1
y=a1x の場合、b1 は斜めの漸近線です。
似ている
試験の問題
ステップ
1. 未定義の点と端点を見つける
2. この点に近づく鉛直漸近線はありますか?
3. レベルの有無にかかわらず、無限に向かう傾向があります
4. x と比較して、斜めの勾配はありますか?
5.8 および演習 2.6
限界値を求める同じ方法★★
x は無限大になる傾向があり、1/x=0
lneのx乗 × (eの-x 1乗) = x ln (eの-x 1乗)
1-(1-1/n)のk乗~k/n
最大値または値の範囲
閉区間[a,b]上の連続関数f(x)の最大値と最小値(範囲)を求めます。
一次導関数がゼロになる点
一次導関数が存在しない点、被導関数点
終点
大きな抜け穴
区分関数の区分点の導関数を求める場合、導関数の定義を使用して導関数を求める必要があります。
開区間 (a,b) における連続関数 f(x) の最大値または値の範囲を求めます。
静止点
導出不可能な点
左端点の右端、右端点の左端
±無限大も同様です
最大値と最小値を求める実際的な問題が発生した場合は、まず目的関数を確立し、定義間隔を決定した後、それを最大値問題に変換します。
特に、検討中の実際の問題に最大値または最小値がある場合。目的関数には固有の極点があるため、それが最大点である必要があります。n 番目の根の下で最大の n 項を見つけます。
区間内の極点は最大点でなければなりません
関数グラフを作成する
①関数の定義域を決めてパリティか偶数かをチェックする
② 1階微分値と2階微分値を求める
f(x) の未定義点
点 f'(x)=0
f'(x) が存在しない点
点 f''(x)=0
③フォームを作る
④漸近線を求める
⑤ 関数グラフを作成する
導関数の定義と制限を使用したローカル符号の保存
5.1
何度かやる価値がある
5.5
4.11
試験問題を使って計算練習ができる
5.3
陰関数の極値
一次微分値を 0 とします
y と x の関係を求めます
xを見つける
この時点での二次導関数を求めます
一次導関数が存在しない点も極値になる可能性があります
5.2
5.8
算術平均は幾何平均より大きい
5倍に昇格
5.9
公約数法
計算が難しい一次導関数の場合 = 0
5.10
計算能力の試験
対数変化を取得し、加算および減算します。
自分のコンピューティングスキルを信じてください
極点
一次導関数=0
一次導関数は存在しません
変曲点
二次導関数 = 0
二次導関数は存在しません
転換点の終わりに間違った式を入力しないでください
凹凸間隔はカンマ区切り
最小値は最小値だけです
近似値に注意してください