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マインドマップギャラリー微分方程式

微分方程式

微分方程式の基本概念、可分変数の微分方程式、変数置換法、一次線形微分方程式など、高度な数学における微分方程式に関する知識をまとめています。

2021-09-16 10:34:04 に編集されました

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微分方程式
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微分方程式モデル
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微分方程式

基本的な考え方

微分方程式の定義と関連概念

定義: 未知の関数を表す方程式、未知の関数の導関数と独立変数の間の関係は、常微分方程式と呼ばれます。

注: 未知の関数の導関数は必ず表示されます。

定義: 微分方程式に現れる未知の関数の最高導関数の次数は、微分方程式の次数と呼ばれます。

定義: 微分方程式を恒等式にする関数を代入することを微分方程式の解といいます。

2 つの異なるソリューション形式

この解には任意の定数が含まれており、その定数の数は一般解または一般解と呼ばれます。

問題が与える特定の条件に従って、一般解から任意の定数を求めて得られる解を特殊解といいます。

定数を決定するために通常使用される条件は次のとおりです。

分離可能な変数を使用した微分方程式

変数置換メソッド

同次方程式

同次方程式に還元できる

解決：

より一般的な方程式には 2 つの方法が適用されます。

一次線形微分方程式

一次方程式

意味・

一次非一次線形方程式を呼び出す

(1) に関する一次等次方程式を呼びます。

解決：

定変化法

同次方程式の一般解における定数を未定関数に変換する方法

ベルヌーイ方程式

n=0の場合は一次方程式です

n=1の場合は可分方程式となります。

解決策: 式 (10) は一次方程式ではありませんが、変数の置換によって一次方程式に変換できます。

全微分方程式

意味

判断するための尺度

解決：

曲線積分の適用はパスに依存しません

不定積分を使用して u(x,y) を求めます

差分を直接合計する方法

積分係数

意味：

注: 積分係数を取得するのは一般に簡単ではありませんが、簡単な状況では観察できます。

差分を合計することを忘れないでください

還元可能な高次微分方程式

定義：2階以上の微分方程式を高次微分方程式といいます。

解決策: 逐次統合

高次線形微分方程式の構造とその解

n次線形微分方程式の構造とその解

は係数関数、f(x) は自由項です

f(x)¹0のとき、n次非一次線形方程式と呼ばれます

f(x)=0のとき、n次の同次一次方程式と呼ばれます。

線形方程式の性質

すべて一度

係数関数と自由項は両方とも X の関数です

関数グループの線形依存性と独立性の概念

意味

I で定義された関数のセット (A): y1(x)、y2(x)、...、yn(x)、すべて 0 ではない定数 k1、k2、...、kn がある場合、次のようになります。 k1y1 k2y2 ... knyn=0 xÎI の場合、(A) は I 内で線形従属であると言われ、それ以外の場合は線形独立であると言われます。

知らせ

2つの関数の場合

y1(x)、y2(x)は無関係です

2次線形微分方程式の解の構造

二次等次方程式の解の構造

定理1

関数 y1(x) と y2(x) が方程式 (1) の 2 つの解である場合、y=C1y1 C2y2 も (1) の解になります。 (C1、C2は定数)

定理2

y1(x) と y2(x) が式 (1) の 2 つの線形に独立した特殊解である場合、y=C1y1 C2y2 は式 (1) の一般解になります。

注記

定理 2 は n 次方程式の場合に拡張できます。

例

2次非一次一次方程式の解の構造

定理3

y* が 2 次非均一線形方程式の特殊解、Y が (2) に対応する均一方程式 (1) の一般解であると仮定すると、y=Y y* は 2 次非均一方程式です。線形微分方程式 (2) 概要説明

例

定理 3 によれば、非一次方程式 (2) の一般解を求める手順は次のとおりです。

(1)に対応する同次方程式の一般解Yを求めます。

(2) の特別な解 y* を求めます

y=Y y*

定理4

非一次方程式 (2) の右辺 f(x) が、次のようないくつかの関数の合計であると仮定します。

の特殊解、y1* y2* は元の方程式の特殊解になります。

解の重ね合わせ原理

値下げ方式と定変動方式

同次一次方程式の線形に独立した特殊解を求める

削減方法

y1 が方程式 (1) の非ゼロの特別な解であると仮定し、y2=u(x)y1 を (1) に代入すると、次のようになります。

リウヴィル式

同次方程式の一般解は次のとおりです。

例

定変化法

係数が一定の二次一次方程式の解

意味

n 次の定数係数を持つ線形微分方程式の標準形式

係数が一定の二次等次一次方程式の標準形式

係数が一定の 2 次非一次線形方程式の標準形式

係数が一定の二次一次方程式の解

解決

2 つの線形独立を求めます

観察する

したがって、 r^2 pr q=0 (2)

特性方程式

特性方程式の根

特徴的な根

2 つの等しくない実根があります (D>0)

2 つの線形に独立した特殊な解

同次方程式の一般解は次のとおりです。

2 つの等しい実根があります (D=0)

特性根は r1=r2=-p/2

特殊な解釈としては、

別の特別なソリューションが設定されています

同次方程式の一般解は次のとおりです。

一対の共役複素根があります (D<0)

特徴的な根は、

再編成

同次方程式の一般解は次のとおりです。

注(2) 式 r^2 において、r の係数と定数は、順に y"、y'、y の係数となります。

意味

係数が一定の同次一次方程式の一般解を特性方程式の根から求める方法を特性方程式法といいます。

(1) の特性方程式を書きます: r^2 pr q=0--(2)

(2)の特性根r1、r2を求めます。

特徴的な根本状況に応じて、一般的な解決策は 3 つの状況に分類できます。

係数が一定の n 次等次一次方程式の解

特性方程式は

知らせ

2 次の係数が一定である非一次一次方程式の解

フリーターム f(x) の 2 つの形式

(lは定数です)

m次の多項式

特殊な形状

l=0ðf(x)=Pm(x)

Pm(x)=1ðf(x)=e^lx

l-実数 aðf(x)=Pm(x)e^ax

l=a ibðf(x)=Pm(x)e^(a ib)

(a、bは実定数)

(そのうちの 1 つは 0 になる可能性があります)

特殊な形状

a=0

方法

未決定係数法を使用して y* を求める

y" py' qy=e^lxPm(x) の特別な解 Y* を求めます

y*=Q(x)e^lx--(A) とします。

Q(x) は x の多項式です

l が (2) の標定根でない場合: l^2 pl q¹0

l が (2) の標数単根の場合: l^2 pl q=0

l が (2) の倍根の場合: l^2 pl q=0, 2l p=0

ステップ

(1)に対応する同次方程式の特性根を求めます。

設定

y*=y1* y2*

ポイント変更