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Galeria de mapas mentais equações diferenciais

equações diferenciais

Resumo dos pontos de conhecimento relacionados a equações diferenciais em matemática avançada, incluindo conceitos básicos de equações diferenciais, equações diferenciais de variáveis separáveis, método de substituição de variáveis, equações diferenciais lineares de primeira ordem, etc.

Editado em 2021-09-16 10:34:04

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equações diferenciais

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Descrição

equações diferenciais
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modelo de equação diferencial
- 10
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equações diferenciais

conceito básico

Definições e conceitos relacionados de equações diferenciais

Definição: Qualquer equação que representa uma função desconhecida, a relação entre a derivada da função desconhecida e as variáveis independentes é chamada de equação diferencial ordinária.

Nota: A derivada da função desconhecida deve aparecer

Definição: A ordem da derivada mais alta da função desconhecida que aparece em uma equação diferencial é chamada de ordem da equação diferencial.

Definição: Substituir uma função que transforma uma equação diferencial em uma identidade é chamado de solução de uma equação diferencial

Duas formas diferentes de solução

A solução contém quaisquer constantes e o número de constantes é igual à ordem. Essa solução é chamada de solução geral ou solução geral.

A solução obtida determinando qualquer constante da solução geral de acordo com as condições específicas dadas pelo problema é chamada de solução especial

Equações Diferenciais com Variáveis Separáveis

método de substituição de variável

equação homogênea

pode ser reduzido a uma equação homogênea

solução:

Equação diferencial linear de primeira ordem

equação linear

definição·

Chame uma equação linear não homogênea de primeira ordem

Chamamos a equação linear homogênea de primeira ordem relativa a (1)

solução:

método de variação constante

Método de conversão de constantes na solução geral de equações homogêneas em funções indeterminadas

Equação de Bernoulli

Quando n = 0, é uma equação linear

Quando n = 1, é uma equação separável.

Solução: Embora a equação (10) não seja uma equação linear, ela pode ser convertida em uma equação linear através da substituição de variáveis.

equações diferenciais totais

definição

Medir para julgar

solução:

A aplicação de integrais de curva é independente do caminho

Use integral indefinida para encontrar u(x,y)

Um método de somar diretamente os diferenciais

fator de integração

definição:

Nota: O fator de integração geralmente não é fácil de obter, mas pode ser observado em situações simples.

Lembre-se de somar o diferencial

Equações diferenciais redutíveis de ordem superior

Definição: Equações diferenciais de segunda ordem e superiores são chamadas de equações diferenciais de ordem superior

Solução: integração sucessiva

Estrutura de equações diferenciais lineares de ordem superior e suas soluções

Estrutura de equações diferenciais lineares de ordem n e suas soluções

é a função coeficiente, f (x) é o termo livre

Quando f(x)¹0, é chamada de equação linear não homogênea de ordem n

Quando f(x)=0, é chamada de equação linear homogênea de ordem n

Características das equações lineares

De uma vez só

Tanto a função coeficiente quanto o termo livre são funções de X

Os conceitos de dependência linear e independência de grupos funcionais

definição

Um conjunto de funções (A) definido em I: y1(x), y2(x),...,yn(x), se houver constantes k1, k2,..., kn que não sejam todas 0, tal que k1y1 k2y2 ... knyn=0 xÎI, então (A) é dito ser linearmente dependente dentro de I, caso contrário é dito ser linearmente independente

Perceber

O caso de duas funções

y1(x), y2(x) são irrelevantes

Estrutura de soluções para equações diferenciais lineares de segunda ordem

Estrutura de soluções para equações homogêneas de segunda ordem

Teorema 1

Se as funções y1(x) e y2(x) são duas soluções para a equação (1), então y=C1y1 C2y2 também é uma solução para (1). (C1, C2 são constantes)

Teorema 2

Se y1(x) e y2(x) são duas soluções especiais linearmente independentes da equação (1), então y=C1y1 C2y2 é a solução geral da equação (1)

Observação

O Teorema 2 pode ser estendido ao caso de equações de ordem n

exemplo

Estrutura de soluções para equações lineares não homogêneas de segunda ordem

Teorema 3

Suponha que y* seja uma solução especial da equação linear não homogênea de segunda ordem, Y seja a solução geral da equação homogênea (1) correspondente a (2), então y=Y y* é a equação não homogênea de segunda ordem equação diferencial linear (2) explicação geral

exemplo

De acordo com o Teorema 3, as etapas para encontrar a solução geral da equação não homogênea (2) são:

Encontre a solução geral Y da equação homogênea correspondente a (1)

Encontre uma solução especial y* de (2)

s=S s*

Teorema 4

Suponha que o lado direito f(x) da equação não homogênea (2) seja a soma de várias funções, como

A solução especial de , então y1* y2* é a solução especial da equação original

princípio de superposição de soluções

método de redução de preço e método de variação constante

Encontrando soluções especiais linearmente independentes para equações lineares homogêneas

Método de redução

Suponha que y1 seja uma solução especial diferente de zero da equação (1), deixe y2=u(x)y1 ser trazido para (1), obtemos

Fórmula de Liouville

A solução geral da equação homogênea é

exemplo

método de variação constante

Solução para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

definição

Forma padrão de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes de ordem n

Forma padrão de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

Forma padrão de equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

Solução de Equações Lineares Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

solução

Encontre dois linearmente independentes

observar

Portanto, r^2 pr q=0 (2)

equação característica

Raízes da equação característica

raiz característica

Existem duas raízes reais desiguais (D>0)

Duas soluções especiais linearmente independentes

A solução geral da equação homogênea é

Existem duas raízes reais iguais (D = 0)

A raiz característica é r1=r2=-p/2

Uma interpretação especial é

Outra solução especial está definida para

A solução geral para a equação homogênea é

Existe um par de raízes complexas conjugadas (D<0)

A raiz característica é

Reagrupar

A solução geral para a equação homogênea é

Nota (2) Na fórmula, r^2, os coeficientes e constantes de r são y", y', e os coeficientes de y em ordem

definição

O método para determinar a solução geral de uma equação linear homogênea com coeficientes constantes a partir das raízes de sua equação característica é chamado de método da equação característica.

Escreva a equação característica de (1): r^2 pr q=0--(2)

Encontre as raízes características r1, r2 de (2)

De acordo com a situação raiz característica, a solução geral pode ser dividida em três situações:

Solução de equações lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes

A equação característica é

Perceber

Solução para equações lineares não homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem

Duas formas de termo livre f(x)

(l é uma constante)

polinômio de grau m

formato especial

eu=0ðf(x)=Pm(x)

Pm(x)=1ðf(x)=e^lx

l-número real aðf(x)=Pm(x)e^ax

eu=a ibðf(x)=Pm(x)e^(a ib)

(a, b são constantes reais)

(Um deles pode ser 0)

formato especial

uma=0

método

Encontre y* usando o método de coeficiente indeterminado

Encontre uma solução especial Y* de y" py' qy=e^lxPm(x)

Seja y*=Q(x)e^lx--(A)

Q(x) é um polinômio de x

Se l não for uma raiz característica de (2): l^2 pl q¹0

Se l é a raiz única característica de (2): l^2 pl q=0

Se l é uma raiz múltipla de (2): l^2 pl q=0, 2l p=0

etapa

Encontre as raízes características da equação homogênea correspondente a (1)

configurar

y*=y1* y2*

mudança de pontos