O objeto considerado pela proposição é chamado de indivíduo

Um indivíduo é algo que existe de forma independente. Os indivíduos podem ser específicos, como 5, 3, 2 e Zhang San também pode ser abstrato, como pessoas.

Indivíduos específicos e específicos são chamados de constantes individuais

Indivíduos incertos são chamados de variáveis ​​individuais

Ao discutir indivíduos, geralmente é necessário especificar o escopo da discussão individual, que é chamado de domínio individual, representado por D. Geralmente assume-se que D não está vazio

Pegamos todos os objetos imagináveis ​​do mundo, como todos os animais, todas as plantas O conjunto composto por objetos, todas as letras, todos os números, etc. é chamado de domínio individual total, simplesmente Chamado de domínio global, é o maior domínio individual.

Palavras que expressam propriedades individuais e relacionamentos entre indivíduos são chamadas de predicados. predicado é relação

O predicado que expressa as propriedades de um indivíduo é chamado de predicado de 1 elemento, que expressa as propriedades de n indivíduos. O predicado do relacionamento entre é chamado de predicado n-ário.

Para qualquer predicado n-ário, a fim de expressar o predicado e sua aridade ao mesmo tempo, Assim como expressar uma função n-ária, ela é expressa na forma de P(x1, x2, · · · , xn).

E G(x, y): x > y, é uma função sobre proposições, chamada de funções proposicionais

A seleção do predicado está relacionada ao domínio individual

Outra maneira de fazer de P(x) uma proposição é quantificar as variáveis ​​individuais x

Palavras que expressam características quantitativas individuais são chamadas de quantificadores

A quantificação atual é realizada apenas em indivíduos e não em predicados, por isso é chamada de predicados de primeira ordem. lógica da palavra

O quantificador deve ser seguido por Variáveis ​​de volume, como ∀x, ∀y, · · · , ∀δ, ∃x, ∃y, · · · , ∃δ. Portanto, ∀x, ∃x é um geral. As variáveis ​​individuais que seguem o quantificador são chamadas de variáveis ​​guia.

Se todas as variáveis ​​individuais na função proposicional forem quantificadas, obteremos uma proposição pergunta

A função ou jurisdição do quantificador ∀x ou ∃x é chamada de escopo ou escopo de ∀x ou ∃x, e a variável individual x dentro do escopo é chamada de variável de restrição.

Para expressar “o pai de Zhang San”, “a soma dos quadrados de dois números”, etc., precisamos usar funções Os números são comumente chamados de funções na lógica de predicados.

A fórmula de predicado (fórmula de predicado) é chamada de fórmula, que é o mesmo que a compreensão da fórmula de proposição. Desta forma, desde que seja uma sequência de símbolos ou expressão escrita corretamente com significado claro (incluindo predicados) é a fórmula do predicado

Corresponde a qualquer número natural n, predicado n-ário P e n indivíduos arbitrários t1,t2, · · · ,tn, P(t1,t2, · · · ,tn) é uma fórmula de predicado.

A é uma fórmula de predicado, então ¬A é uma fórmula de predicado.

Se A e B são fórmulas de predicado, então A ⋆ B é uma fórmula de predicado, onde ⋆ é um binário Conectivos lógicos.

Se A é uma fórmula de predicado, então ∀xA, ∃xA são fórmulas de predicado.

A sequência de símbolos obtida usando (1)(2)(3)(4) acima de um número finito de vezes é o único predicado Fórmula.

Se A e B são fórmulas de predicado, então A ⋆ B é uma fórmula de predicado, onde ⋆ é um binário Conectivos lógicos.

As etapas para simbolizar proposições na lógica de predicados são as seguintes

Existem infinitas interpretações da fórmula do predicado, e cada interpretação (interpretação) I consiste em 5 Composto por peças,

Equivalência lógica de dois quantificadores eliminadores

Uma fórmula de predicado que é verdadeira sob qualquer interpretação é chamada de fórmula permanente verdadeira ou válida

Existe uma interpretação de 1 e um predicado que tem uma interpretação de 0 A fórmula é chamada neutra ou acidental

A fórmula do predicado neutro não pode ser determinada dentro de um número finito de etapas; a fórmula do predicado sempre verdadeiro (ou sempre falso) pode ser determinada em Determinação em etapas limitadas.

Suponha que H1, H2, · · · , Hn e C sejam fórmulas proposicionais Se H1, H2, · · · , Hn são todas verdadeiras, Pode-se concluir que C é necessariamente verdadeiro, então diz-se que a inferência de C é derivada de H1, H2, · · · ,Hn A forma é válida (forma de argumento válida), denotada como H1, H2, · · · ,Hn ⇒ C.

Suponha que H1, H2, · · · ,Hn e C sejam fórmulas proposicionais, então o preenchimento de H1,H2, · · · ,Hn ⇒ C A condição necessária é que H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn → C seja uma fórmula permanente, Ou seja, H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn ⇒ C

A seguinte implicação lógica é válida: (1) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)). (2) ∃x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃xA(x) ∧ ∃xB(x).

Suponha que A seja uma fórmula de predicado, se A = Q1x1Q2x2 · · · Qnxn(· · · B · · ·)(n ≥ 0), Onde Qi é ∀ ou ∃, e não há componente em B, é chamado A = Q1x1Q2x2 · · · Qnxn(· · · B · · ·) é a forma normal direta de A

1. Reduza os conectivos lógicos a fórmulas de predicados contendo apenas ¬, ∧, ∨.

2. Use as duas expressões equivalentes a seguir para mover o conectivo negativo para dentro. (1) ¬∀xA(x) = ∃x¬A(x) (2) ¬∃xA(x) = ∀x¬A(x)

3. Utilize expressões equivalentes para mover todos os quantificadores para a frente, utilizando técnicas de renomeação, se necessário.

Suponha que A e B sejam fórmulas de predicados. Se A e B têm o mesmo valor sob qualquer interpretação, Então A e B são considerados logicamente equivalentes, denotados como A = B.

A condição necessária e suficiente para A = B é que a fórmula do predicado A ↔ B seja sempre verdadeira.

¬∀xA(x) = ∃x¬A(x).

¬∃xA(x) = ∀x¬A(x).

∀x(A(x) ∧ B) = ∀xA(x) ∧ B

∀x(A(x) ∨ B) = ∀xA(x) ∨ B

∃x(A(x) ∧ B) = ∃xA(x) ∧ B

∃x(A(x) ∨ B) = ∃xA(x) ∨ B.

∀x(A(x) ∧ B(x)) = ∀xA(x) ∧ ∀xB(x)

∃x(A(x) ∨ B(x)) = ∃xA(x) ∨ ∃xB(x)

palavra de peso duplo