マインドマップギャラリー マトリックス 2 マインド マップ
行列の初等変換、初等行列、行列分割法などを含む行列2に関するマインドマップです。学習のお役に立てれば幸いです。
2023-11-06 17:35:37 に編集されましたマトリックス
行列の初等変換
3つの変革形態
スワップ変換
乗算変換
倍加変換
等価行列
行列 A が有限次初等変換後に B になる場合、A と B は同等であると言われます (記号は合同記号に非常に似ています)。
自然
反射性
対称
推移性
フルランクマトリックスと低減ランクマトリックス
フルランクマトリックス
A は E と同等です
r(A)=n
ランクの減少マトリックス
A は E と同等ではありません
定理
基本的な変換では行列のランクは変更されません
応用
初等変換を使用して行列のランクを求める
行階層マトリックス
ピボット: 左から最初のゼロ以外の要素
ランクを求める: A をはしご行列 T に変換します。r(A)= T 内の非ゼロ行の数
A の行の最も単純な形式の行列/A の単純化された階層形式の行列
ピボットはすべて 1
同等の標準タイプ
左上隅は単位行列です
行列のランクを使用して、一次一次方程式系にゼロ以外の解があるかどうかを判断します
Ax=0 がゼロ以外の解を持つための必要十分条件: 係数行列のランク A <n (n は未知数の数)
当然の結果: 非ゼロの解を得るためのもう 1 つの必要十分条件は、|A|=0 であることです。
解はゼロのみです: r(A)=n
初等変換を使用して逆行列を求める
A と E を一緒に書き、A を E に変更すると、E は A の逆数になります。
基本行列
定義: E の初等変換によって得られる行列
3種類
ピジ
2 つの行 (列) を入れ替えます
その逆そのもの
DJ(k)
特定の行をk倍する
その逆数は k を k の逆数に変換します
ティジ(k)
i行(列)のk回をj行(列)に加算します。
その逆は k を -k に変換します
定理
左列右列
行列 A (m*n) に対して基本行変換を実行することは、A の左側で対応する m 次の基本行列を乗算することと同等であり、基本行変換を実行することは、行列 A (m*n) に対して対応する n 次の基本行列を乗算することと同等です。 Aの右側。
P と Q は、PAQ = 左上隅が単位行列である行列となるように存在します。
可逆行列 A は、有限数の基本行列の積として表現できます。
結果: A と B が同等であるための必要十分条件は、PAQ=B となるように P と Q が存在することです。
マトリックスブロック方式
サブブロック
分割されたマトリックス
ブロック行ブロック列
ブロック化対角行列/準対角行列
行/列ごとにブロック
つまり、行ベクトル表現と列ベクトル表現です。
連立一次方程式のベクトル表現
手術
追加
前提: サブブロックはピア行列です
数値を乗算する
転置
内と外を一緒に回す
乗算
前提: 左側の行列 A の列分割方法と右側の行列 B の行ブロック分割方法は同じです
注: 行列の相対位置は何ですか? ブロック行列を乗算したときの相対位置は何ですか?
逆数
左上-右下の対角行列の逆行列: 各ブロック行列の逆行列、位置は元のブロック行列に対応します
左下 - 右上の対角行列の逆行列: 各ブロック行列の逆行列ですが、位置を変更する必要があります (つまり、A11 - Arr から Arr の逆行列 - A11 の逆行列)
決定要因
各ブロック行列の行列式の積
フルランク行列は可逆的ですが、低減ランク行列は不可逆的です。
はすべて可逆変換であり、その逆変換は同じタイプの基本変換です。