Sostituzione di mezza larghezza

Significato geometrico

Espressione equivalente

Sia {f}(x) differenziabile sull'intervallo I

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

Sia {f} (x) differenziabile sull'intervallo \left ( a,b \right)

Per ogni x \in \left ( a,b \right ) , c'è {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f}'(x) e 0 su qualsiasi intervallo proprio di \left ( a,b \right )

Questo giudizio vale anche se la funzione è unilaterale e continua sul lato chiuso dell'intervallo.

Limite di tipo \frac{0}{0}

Limite infinito di tipo \frac{a}{\infin}

Legge Legge di Lópida#Imitazione

Definire le derivate

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

Sia {f} continua nel punto x_0 e differenziabile su un certo intorno U ^ {\circ} (x_0; \delta)

(i) Se quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \le 0, quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \ge 0, allora {f} ottiene il valore minimo in x_0

(ii) Se quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, allora {f} ottiene il valore massimo in x_0

Supponiamo che f sia differenziabile del primo ordine su un certo intorno U (x_0; \delta) di x_0, e differenziabile del secondo ordine in x=x_0, e {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

Se {f}''(x_0) < 0, allora {f} ottiene il valore massimo in x_0

Se {f}''(x_0) > 0, allora {f} ottiene il valore minimo in x_0

Supponiamo che {f} esista in un certo intorno di x_0 con derivate fino a n-1 ordine, sia derivabile di n ordine in x_0 e {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

Quando n è un numero pari, {f} assume il valore estremo in x_0

Quando n è un numero dispari, {f} non assume un valore estremo in x_0

Le tre condizioni sufficienti non si applicano per determinare tutti i punti estremi (anche se differenziabili)

Il punto massimo potrebbe non avere un quartiere sinistro (destro) che lo renda monotono.

Il lemma f è la condizione necessaria e sufficiente per la funzione convessa su I

Teorema Supponiamo che f sia una funzione differenziabile sull'intervallo I, allora le seguenti affermazioni sono equivalenti tra loro

La condizione necessaria e sufficiente per il valore minimo di una funzione convessa differenziabile è che la derivata sia zero

La funzione convessa sull'intervallo aperto non assume il valore massimo

Disuguaglianza della formula Jensen (Jensen).

Una funzione convessa sull'intervallo aperto I ha derivate sinistra e destra in ogni punto di I

{f} è una funzione convessa sull'intervallo aperto I, allora {f} è limitata su qualsiasi sottointervallo chiuso \left [ a, b \right ] di I

Converti i numeri razionali in decimali infiniti per il confronto

misurare

∞

-∞

Il prodotto somma e differenza di due quantità infinitesime è ancora una quantità infinitesima

Il prodotto di una quantità infinitesima e di una quantità limitata è una quantità infinitesima

Livello alto/basso

Stesso livello

equivalenza

Discontinuità di tipo 1

Discontinuità di tipo II

teorema di limitatezza

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

La definizione non è derivabile

formula formula di incremento finito

Il teorema è differenziabile\Rightarrow continuo (ma non viceversa)

Condizioni per l'esistenza del teorema {f}'(x_0)

Definire il punto stabile

Il teorema di Fermat

Corollario Se la funzione {f} è differenziabile sull'intervallo I, e {f}' (x) = 0, x \in I, allora {f} è una funzione costante su I

Corollario Se le funzioni {f} e {g} sono entrambe differenziabili sull'intervallo I, e {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, allora sull'intervallo I, {f} ( x) ={g} (x) c (c è una costante)

Teorema del Corollario Teorema del Limite della Derivata

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

Formula formula Leibniz

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

dove {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

Invarianza delle forme differenziali del primo ordine

per sostituire direttamente la canzone

Limite di errore del valore misurato x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)|. \circa |{f} ' (x_0) \le |{f} '(x_0)|

Limite di errore relativo\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}| \delta_x