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Galería de mapas mentales Aplicaciones geométricas del cálculo diferencial de funciones de una variable

Aplicaciones geométricas del cálculo diferencial de funciones de una variable

Este es un mapa mental sobre la aplicación geométrica del cálculo diferencial de funciones de una variable. Los contenidos principales incluyen los conceptos de valor extremo y valor máximo, la discriminación de monotonicidad y valor extremo, los conceptos de concavidad y punto de inflexión, asíntota, máximo. valor o tomando Rango de valores.

Editado a las 2022-07-03 07:58:01,

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Aplicaciones geométricas del cálculo diferencial de funciones de una variable

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Resumen

Conceptos y cálculos de cálculo diferencial de funciones de una variable.
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Aplicaciones geométricas del cálculo integral de una variable.

El concepto de valor extremo y valor máximo.

★La premisa para la existencia del valor extremo debe ser que ambos lados estén definidos.

El punto extremo no es necesariamente el punto máximo y el punto máximo no es necesariamente el punto extremo.

y=e elevado a x tiene un punto máximo en [0, ∞], pero ningún punto extremo

y=3xx-x a la tercera potencia

Hay puntos extremos pero no puntos máximos.

El punto máximo dentro del intervalo debe ser el punto extremo.

Los puntos dentro del intervalo no son puntos extremos, por lo que tampoco deben ser puntos máximos.

Los puntos de discontinuidad también pueden ser puntos extremos.

Los cuatro tipos de puntos de discontinuidad se pueden utilizar para alcanzar puntos extremos, siempre que los lados izquierdo y derecho estén definidos.

Discriminación entre monotonicidad y valores extremos.

Juicio de monotonía

Punto extremo

No tiene que ser diferenciable en el punto extremo, siempre que sea diferenciable en las proximidades de este punto.

Condiciones necesarias (Fermat)

f(x) es diferenciable en x=x0 y toma un valor extremo en el punto x0

Entonces debe haber f′(x0)=0

primera condición suficiente

Primero verifique la continuidad antes de que podamos encontrarla. La premisa es que es continua en este punto y f′(x0) cambia de signo en la vecindad descentrada de x0.

segunda condición suficiente

f(x) es diferenciable de segundo orden en x=x0 y f′(x0)=0, f′′(x0)≠0

f′′(x0)>0, f(x0) es un valor mínimo que puede demostrarse mediante la definición de límite y la propiedad de preservación de signos locales.

Por el contrario, el valor máximo

tercera condición suficiente

La derivada de orden m de f(x0)=0, la derivada de orden n de f(x0)≠0

Cuando n es un número par, la derivada de orden n es >0 y toma el valor mínimo en x=x0

Cuando n es un número par, la derivada de orden n <0 y toma el valor máximo en x=x0

También puede utilizar la definición para identificar

El concepto de concavidad y punto de inflexión.

El valor de la función en la línea que conecta dos puntos < el valor de la función en el punto medio de los dos puntos de la curva

convexo

Valor de función en la línea que conecta dos puntos > Valor de función en el punto medio de los dos puntos de la curva

Cóncavo

Definición del punto de inflexión

El punto de inflexión sólo necesita ser continuo.

No tiene nada que ver con si es derivable o no.

Cóncavo y convexo sin ningún orden en particular.

El punto de inflexión está en la curva.

Escribe (x0,f(x0))

Los puntos extremos se refieren a puntos en el dominio de definición.

Los valores extremos son valores de función.

Distinguir el tipo cóncavo y convexo.

Segunda derivada > 0, cóncava

Segunda derivada <0, convexa

Juicio del punto de inflexión

condiciones necesarias

f′′(x0) existe y el punto (x0, f(x0)) es el punto de inflexión en la curva

Entonces f′′(x0)=0

primera condición suficiente

La premisa es que la segunda derivada cambia de signo si es continua en la vecindad descentrada.

segunda condición suficiente

f''(x0)＝0, f''(x0)≠0, entonces (x0,f(x0)) es el punto de inflexión

tercera condición suficiente

La derivada m-ésima de f(x0)=0

Cuando n es un número impar, la enésima derivada ≠0

(x0,f(x0)) es el punto de inflexión

También puede utilizar la definición para identificar

preguntas del examen

5.5 Prueba de monotonicidad

La relación entre f' y f

Piense en el teorema del valor medio de Lagrange.

La segunda derivada > 0 cerca de un punto

Una curva cerca de un punto es una curva cóncava.

Identificar valores extremos según la definición de valores extremos.

Asíntota

asíntota de plomada

sin punto de definición

Definir los puntos finales del intervalo.

función por partes punto por partes

limx tiende a x0 =∞ (o limx tiende a x0-=∞), entonces x=x0 es una asíntota vertical

asíntota horizontal

limx tiende a ∞=y1, entonces y=y1 es una asíntota horizontal

limx tiende a -∞=y2, entonces y=y2 es una asíntota horizontal

Si = la misma asíntota, y = y0 es una asíntota horizontal

asíntota oblicua

limx tiende a ∞, limf(x)/x=a1 (a no puede=0.) lim[f(x)-a1x]=b1

Para y=a1x b1 es una asíntota de pendiente

similar

preguntas del examen

paso

1. Encuentra puntos y puntos finales indefinidos

2. ¿Hay una asíntota vertical acercándose a este punto?

3. Tiende al infinito, si hay un nivel.

4. En comparación con x, ¿hay algún gradiente oblicuo?

5.8 y Ejercicio 2.6

El mismo método para encontrar límites★★

x tiende al infinito, 1/x=0

lne elevado a x × (e elevado a -x 1) = x ln (e elevado a -x 1)

1-(1-1/n) a la k-ésima potencia~k/n

Valor máximo o rango de valores

Encuentre los valores máximo y mínimo (rango) de la función continua f(x) en el intervalo cerrado [a,b]

El punto donde la primera derivada es cero.

Puntos donde la primera derivada no existe, puntos no derivables

punto final

Gran laguna jurídica

Al encontrar la derivada del punto por partes de una función por partes, debes usar la definición de derivada para encontrar la derivada.

Encuentre el valor máximo o rango de valores de la función continua f(x) en el intervalo abierto (a,b)

punto estacionario

punto no derivable

El límite derecho del punto final izquierdo, el límite izquierdo del punto final derecho

Lo mismo ocurre con ± infinito

Si encuentra problemas prácticos para encontrar los valores máximo y mínimo, primero establezca la función objetivo y luego conviértala en un problema de valor óptimo después de determinar el intervalo de definición.

En particular, si el problema real bajo consideración tiene un valor máximo o mínimo. La función objetivo tiene un punto extremo único, por lo que debe ser el punto máximo. Encuentre el n término más grande bajo la raíz enésima.

El punto extremo dentro del intervalo debe ser el punto máximo.

hacer gráficas de funciones

① Determine el dominio de la función y verifique si tiene paridad o uniformidad.

② Encuentre la derivada de primer orden y la derivada de segundo orden.

El punto indefinido de f(x)

Punto f'(x)=0

Puntos donde f'(x) no existe

Punto f′′(x)=0

③Hacer un formulario

④Determinar la asíntota

⑤ Hacer gráficas de funciones

Definición de derivados y conservación de signos locales mediante límites.

5.1

Vale la pena hacerlo varias veces.

5.5

4.11

Las preguntas del examen se pueden utilizar para practicar los cálculos.

5.3

Valor extremo de función implícita

Sea la primera derivada igual a 0

Encuentra la relación entre y y x

encontrar x

Encuentra la segunda derivada en este punto.

Los puntos donde la primera derivada no existe también pueden ser valores extremos.

5.2

5.8

La media aritmética es mayor que la media geométrica.

Promocionar a cinco veces

5.9

método del factor común

Para la primera derivada que es difícil de calcular = 0

5.10

Examen de la capacidad informática.

Tomar cambios logarítmicos, sumar y restar

Cree en tus propias habilidades informáticas

Punto extremo

Primera derivada=0

La primera derivada no existe.

punto de inflexión

Segunda derivada=0

La segunda derivada no existe.

No introduzcas la expresión incorrecta al final del punto de inflexión

Los intervalos cóncavos y convexos están separados por comas.

El único valor mínimo es el valor mínimo.

Presta atención a la aproximación.