独立変数、従属変数、およびそれらの導関数または微分を関連付ける方程式

常微分方程式 (ODE)

偏微分方程式

常微分方程式の次数は、方程式内の最も高い導関数 (微分) の次数によって決まります。

常微分方程式をゼロにする y の公式

方程式の解には、互いに関連のない任意の定数が含まれており、その数は方程式の次数に等しい

定数の特別な値は、通常、初期値の条件から導出されます。

n 次の常微分方程式には初期値条件が含まれています

初期値条件を満たす常微分方程式の解の値を求めます。

一次導関数は解けました

右端はそれぞれ x と y に関する関数の乗算です。

1. タイプを特定する

2. 変数を分離する

3. 等号の両辺を統合し、適切な定数を追加します

4. 単純化して一般解を得る

5. 初期値条件の有無を判定する

1. 注文

2. これを方程式に取り入れて y を単純化し、消去します。

3. 分離可能な変数の常微分方程式が得られます。

4. 分離可能な変数をもつ常微分方程式の解法に従って解く

不均一項

(1)として記録

(2)として記録

まず (2) を解き、任意の定数を含む可分変数​​方程式を解くことでその一般解を取得します。

絶え間ない変化

変更後の「全体説明」を(1)に置き換えます。

最初のレベルを解く 線形常微分方程式の一般解

定変化法

その後の問題解決に公式を直接適用することもできます。

α=0、一次線形常微分方程式

α=1、分離可能な変数タイプです

1. タイプを特定する

2. 両辺を同時にyのα乗で割ります。

3. y の (α-1) 乗を z と等しくします。

4. x に関する z の一次線形常微分方程式に変換します。

5. 1次線形常微分方程式の解法に従って解く

形状

削減方法

形状

解決

形状

解決

f(x) は非同次項です

L[cy]=cL[y]

L[y x]=L[y] L[x]

y1=y1(x)、y2=y2(x) が両方とも L[y]=0 の解であり、c1 と c2 が定数であると仮定すると、c1y1 c2y2 も L[y]=0 の解になります。

の場合、2 つの関数は線形関係にあり、c1 と c2 は互いに関係します。

の場合、2 つの関数は線形独立であり、c1 と c2 は互いに独立しており、c1y1 c2y2 は L[y]=0 の一般解になります。

y1 と y2 が L[y]=0 の 2 つの線形に独立した解であると仮定します。c1 と c2 は任意の定数です。L[y] の一般解は y=c1y1 c2y2 となります。

y`=y`(x) が L[x]=f(x) の特殊解であり、Y=c1y1 c2y2 が L[y]=0 の一般解であるとします。 すると、L[y]=f(x) の一般解は y` となります。 Y、c1、c1 は任意の定数です

y1 と y2 がそれぞれ L[x]=f1(x) と L[x]=f2(x) の特殊な解であると仮定すると、y1 y2 は L[x]=f1(x) f2(x) の解になります。 。