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마인드 맵 갤러리 고등학교 수학의 기본 지식(2차 함수, 방정식 및 부등식)
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고등학교 수학의 기본 지식(2차 함수, 방정식 및 부등식)
평등과 불평등의 성질을 포함한 고등학교 수학의 기초지식(이차함수, 방정식, 부등식)에 대한 마인드맵입니다. 기본적 불평등(평균 불평등) 등
2024-03-13 23:01:30에 편집됨
- 추천 사항
- 개요
한 변수의 이차 함수, 방정식 및 부등식
이차 함수, 이차 방정식 및 부등식
이차 함수
이차 함수 그래프
함수 y=x²와 함수 y=ax²(a≠0)의 그래프 사이의 관계
y=ax²(a≠0)의 이미지는 y=x² 이미지의 각 점의 가로 좌표를 변경하지 않고 세로 좌표를 원래 값의 배로 유지하여 얻습니다.
a는 이미지 열기의 방향과 크기를 결정합니다. a가 클수록 이미지 열기는 작아집니다.
함수 y=ax² (a≠0) 그래프와 함수 y=a(x h)² k (a≠0) 간의 관계
y=ax²는 {h>0을 통과하고, h 단위 길이를 왼쪽으로 변환하고, h<0은 h 단위 길이를 오른쪽으로 변환}하여 y=a(x h)²를 얻습니다.
y=a(x h)²는 {k>0을 통과하고 k 단위 길이를 위쪽으로 변환하고 k<0, k 단위 길이를 아래쪽으로 변환하여 y=a(x h)² k를 얻습니다.
함수 y=ax² bx c (a≠0)를 y=a(x h)² k 형태로 공식화한 후 y=ax² (a≠0)의 이미지를 왼쪽과 오른쪽으로 이동시켜 얻습니다.
이차 함수의 속성
이차 함수의 세 가지 속성
2차 함수(-h, k)의 꼭지점 좌표를 알면 2차 함수는 y=a(x h)² k (a≠0)로 표현될 수 있습니다.
방정식 ax² bx c=0 (a≠0)의 두 근이 x1과 x2(포물선과 가로좌표의 X축의 교차점)로 알려진 경우 이차 함수는 y=로 표현될 수 있습니다. a(x-x1)(x -x2)(a≠0)
함수 y=ax² bx c (a≠0)의 속성
기능 a>0
열리는 방향
위로
정점 좌표
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
대칭축
x=-b/(2a)
최대값과 최소값 문제
x=-b/(2a)인 경우 함수는 최소값(4ac-b²)/(4a)을 갖습니다.
함수 a<0
열리는 방향
아래에
정점 좌표
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
대칭축
x=-b/(2a)
최대값과 최소값 문제
x=-b/(2a)인 경우 함수는 최대값(4ac-b²)/(4a)을 갖습니다.
하나의 변수의 이차 방정식의 개념
개념
등호의 양쪽이 정수이고, 단 하나의 미지수(단항)만 포함하고, 미지수의 가장 높은 차수가 2차인 방정식입니다.
일반 형식: y=ax² bx c (a≠0)
이차 방정식의 해
한 변수의 이차 방정식의 근이라고도 합니다.
1. a≠0이면 이 방정식은 2차 방정식이라고 할 수 있다. 2. 텍스트에 y=ax² bx c가 2차 방정식이라고 명확하게 명시되어 있으면 a≠0 조건을 의미합니다. 3. c는 상수항(또는 0차항의 계수로 간주될 수 있음)
한 변수의 이차방정식에 대한 해법
직접 제곱근을 사용하여 한 변수의 2차 방정식 풀기
일반적으로 제곱근의 정의를 이용하여 제곱근을 직접 구하여 이차 방정식의 해를 구하는 방법을 직접 제곱근법이라고 합니다.
(ax b)²=c (c≥0) 형식의 2차 방정식의 경우 해는 x=(±Ö(c) -b)/a입니다.
참고: 직접 제곱근법을 사용할 경우 c ≥ 0, 제곱근을 사용할 경우 ±√c에 주의하십시오.
공식 방법을 사용하여 한 변수의 2차 방정식 풀기
정의
ax² bx c=0 (a≠0) 형식의 2차 방정식은 왼쪽 끝에 알 수 없는 숫자가 있고 오른쪽 끝에 음이 아닌 상수가 있는 완전 정사각형 방정식으로 변환됩니다. 이는 다음과 같이 직접 풀 수 있습니다. 제곱근 방법.
일반 단계
항목 이동
방정식의 왼쪽 변에는 2차 항과 일차 항만 포함되고 오른쪽 변은 상수 항이 되도록 만듭니다.
a를 1로 설정
방정식의 양변을 이차항의 계수로 나누어 이차항의 계수를 1로 변경합니다.
공식
방정식의 양쪽에 선형 항 계수의 제곱의 절반을 추가합니다(즉, 일반 형식에 [b/(2a)]²를 추가합니다). 원래 방정식을 (x-n)²=m 형식으로 변환합니다(즉, 다음으로 변환: [x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²)).
m≥0이면 직접 제곱근 방법을 사용하여 문제를 해결합니다.
m<0이면 원래 방정식에는 실수근이 없습니다. 즉, 방정식에는 실수해가 없습니다.
공식 방법을 사용하여 한 변수의 2차 방정식 풀기
ax² bx c=0 (a≠0)에서 b²-4ac≥0일 때 x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) 공식에 a, b, c를 대입하면 다음 방정식을 얻을 수 있습니다. 뿌리
이차 방정식의 근 공식의 유도 과정은 조정 방법의 일반적인 단계의 제곱근 이동을 따라 구해집니다.
한 변수의 2차 방정식을 풀기 위해 수식법을 사용하는 전제는 b²-4ac≥0이며, 여기서 Δ=b²-4ac를 판별식이라고 합니다.
Δ=b²-4ac>0이면 방정식에는 두 개의 서로 다른 실근, x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)가 있습니다.
Δ=b²-4ac=0이면 방정식에는 두 개의 동일한 실수 근이 있습니다. x1=x2=-b/(2a)
Δ=b²-4ac<0이면 실제 근이 없습니다.
Δ=b²-4ac의 역할 1. 방정식을 풀지 않고 근 구하기 2. 방정식에 따라 문자 계수의 값 범위를 결정합니다. 3. 한 변수의 이차 방정식의 근과 관련된 문제를 토론하고 해결합니다. 4.Δ=0은 방정식에 하나의 근이 아닌 두 개의 동일한 근이 있음을 의미합니다.
공식 방법을 사용하여 한 변수의 2차 방정식을 풀기 위한 일반적인 단계
일반 형식 ax² bx c=0 (a≠0)으로 변환
a, b, c의 값을 결정
Δ=b²-4ac 값을 계산합니다.
Δ=b²-4ac 값을 기준으로 근본 상황을 결정합니다.
실수 근이 있는 경우 공식 방법을 사용하여 방정식 x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)를 풀 수 있습니다.
1. 방정식에 미지의 문자가 포함되어 있는 경우에는 먼저 방정식을 미지수에 대한 방정식의 일반적인 형태로 정리한 다음, b²-4ac≥0을 전제로 근 구하기 공식을 사용합니다. 2. 문제 속 글자의 값 범위에 주목하고 토론해 보세요.
하나의 변수에 대한 2차 방정식을 풀기 위한 인수분해 방법
인수분해의 정의
정의
이차방정식을 풀 때에는 먼저 이를 인수분해하여 두 일차방정식의 곱이 0이 되는 형태가 되도록 하고, 그 다음 두 일차방정식을 각각 0으로 만들어 차수축소를 이룬다. 이차 방정식을 푸는 방법을 인수분해 방법이라고 합니다.
이론적 기초
두 요소의 곱은 0과 같습니다. 그러면 두 요소 중 적어도 하나가 0과 같습니다. 즉, ab=0이면 a=0 또는 b=0입니다.
주요 방법
공통인수 추출법
제곱 차이 공식을 사용하세요
a²-b²=(ab)(ab)
완전제곱식을 사용하세요
a²±2ab b²=(a±b)²
교차 곱셈
x² Cx D=0에서 D=ab, C=a b, x² Cx D=(x a)(x b)를 찾을 수 있습니다.
이차 방정식의 근과 계수 사이의 관계
근과 계수의 관계
베다의 정리
x1 x2=-b/a, x1·x2=c/a
근과 계수 사이의 관계에 대한 중요한 결과
추론 1
방정식 x² px q=0이면 x1 x2=-p, x1·x2=q
추론 2
두 개의 숫자 x1과 x2를 근으로 하는 하나의 변수의 이차 방정식(이차 항의 계수는 1)은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. x²-(x1 x2)x x1·x2=0
포함된 조건
방정식은 2차 방정식입니다. 즉, 2차 항의 계수는 0이 아닙니다. a≠0
방정식에는 실수근이 있습니다. 즉, Δ=b²-4ac≥0인 경우입니다.
추론 변형
x1² x2²=(x1² 2x1·x2 x2²)-2x1·x2=(x1 x2)²-2x1·x2
1/x1 1/x2=(x1x2)/(x1·x2)
(x1a)(x2a)=x1·x2a(x1 x2)a²
|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)
근과 계수의 관계에 대해 토론하세요.
이차방정식 ax² bx c=0 (a≠0)의 두 근이 x1과 x2이면,
Δ≥0, x1·x2>0
x1 x2>0
두 근은 모두 양수입니다.
x1 x2<0
둘 다 음수입니다.
Δ>0, x1·x2<0
x1 x2>0
두 근의 부호는 다르며 양의 근은 절대값이 더 큽니다.
x1 x2<0
두 근은 서로 다른 부호를 가지며 음수 근은 절대값이 더 큽니다.
방정식과 방정식 시스템의 해법
일반적으로 방정식의 모든 해 조합 집합을 이 방정식의 해 집합이라고 합니다.
각 방정식의 해 집합의 교집합은 방정식 시스템의 해 집합입니다.
한 변수의 2차 부등식
개념
정의
일반적으로 알 수 없는 숫자가 하나만 포함되어 있고 알 수 없는 숫자의 가장 높은 차수가 2인 부등식을 하나의 변수의 2차 부등식이라고 합니다. 한 변수의 2차 부등식의 일반적인 형태는 ax² bx c>0 또는 ax² bx c<0입니다. 여기서 a, b, c는 모두 상수, a≠0입니다.
a, b, c가 모두 상수인 식, a≠0
ax² bx c≤0
ax² bx c<0
ax² bx c≥0
ax² bx c>0
a, b, c가 모두 상수인 솔루션 집합(a≠0)
ax² bx c≥0
y=ax² bx c의 함수값이 0보다 크거나 같도록 하는 독립변수 x의 값들의 집합
ax² bx c>0
y=ax² bx c의 함수값이 양수가 되도록 독립변수 x의 값들의 집합
ax² bx c≤0
y=ax² bx c의 함수값이 0보다 작거나 같도록 하는 독립변수 x의 값들의 집합
ax² bx c<0
y=ax² bx c의 함수값이 음수가 되도록 독립변수 x의 값들의 집합
이차 함수의 영점
일반적으로 이차 함수 y=ax² bx c의 경우 ax² bx c=0을 y=ax² bx c의 영점으로 만드는 실수 x를 호출합니다.
한 변수의 2차 부등식에 대한 해법
Δ=b²-4ac
Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac=0
Δ=b²-4ac<0
y=ax²bxc
y=ax² bx c>0
y=ax² bx c=0
y=ax²bxc<0
판별식과 함수의 부등식 관계를 결합하고, 영상분석을 통해 부등식의 해법을 해결합니다.
부분 불평등에 대한 솔루션
분수 부등식의 4가지 형태와 해
f(x)/g(x)>0 ⇔ f(x)·g(x)>0
f(x)/g(x)<0 ⇔ f(x)·g(x)<0
f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0, g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)>0, f(x)= 0
f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0, 그리고 g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)<0, 그리고 f(x)= 0
불평등과 불평등 그룹 간의 동일한 해법 관계
f(x)·g(x)≥0
f(x)≥0 및 g(x)≥0
또는 f(x)≤0, g(x)≤0
f(x)·g(x)≤0
f(x)≥0, g(x)≤0
또는 f(x)≤0, g(x)≥0
불평등의 지속적인 확립 문제
부등식의 해 집합이 R(또는 항상 참)인 조건
y=ax²bxc
a=0인 경우
b=0，c>0
y=ax² bx c>0은 항상 참입니다.
b=0，c<0
y=ax² bx c<0은 항상 참입니다.
a≠0인 경우
a>0, Δ<0
y=ax² bx c>0은 항상 참입니다.
a<0, Δ<0
y=ax² bx c<0은 항상 참입니다.
부등식이 일정할 때 매개변수 값의 범위를 구하는 방법
y=f(x)≤a는 항상 ⇔ f(x)max≤a를 유지합니다.
y=f(x)≥a는 항상 ⇔ f(x)min≥a를 유지합니다.
하나의 변수에 대한 이차방정식의 근 분포
전제조건
방정식 ax² bx c=0 (Δ>0, a≠0)이 두 개의 같지 않은 근 x1, x2, x1<x2를 가지고 있다고 가정하고 해당 함수는 y=ax² bx c입니다.
사례 1: 두 근의 크기를 0과 비교합니다. 즉, 근의 양수 조건과 음수 조건을 비교합니다.
a>0
x1<x2<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < 0 ③f(0)>0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0<x1<x2
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > 0 ③f(0)>0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)<0
①a·f(0)<0
a<0
x1<x2<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < 0 ③f(0)<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0<x1<x2
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > 0 ③f(0)<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)>0
①a·f(0)<0
상황 2: 두 루트와 k의 크기 비교
a>0
x1<x2<k
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < k ③f(k)>0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < k ③a·f(k)>0
k<x1<x2
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > k ③f(k)>0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > k ③a·f(k)>0
x1<k<x2
①f(k)<0
①a·f(k)<0
a<0
x1<x2<k
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < k ③f(k)<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) < k ③a·f(k)>0
k<x1<x2
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > k ③f(k)<0
①Δ>0 ②대칭축-b/(2a) > k ③a·f(k)>0
x1<k<x2
①f(k)>0
①a·f(k)<0
사례 3: m<n<p<q인 구간에서 근의 분포
a>0
m<x1<x2<n
①Δ>0 ②f(m)>0 ③f(n)>0 ④m<대칭축-b/(2a)<n
①Δ>0 ②f(m)·f(n)>0 ③m<대칭축-b/(2a)<n
m<x1<n<x2 또는 x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)>0 ②f(n)<0 ③f(p)<0 ④f(q)>0 또는 ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
a<0
m<x1<x2<n
①Δ>0 ②f(m)<0 ③f(n)<0 ④m<대칭축-b/(2a)<n
①Δ>0 ②f(m)·f(n)>0 ③m<대칭축-b/(2a)<n
m<x1<n<x2 또는 x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)<0 ②f(n)>0 ③f(p)>0 ④f(q)<0 또는 ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
사례 4: 구간 x1<m, x2>n에 근의 분포
a>0
①f(m)<0 ②f(n)<0
a<0
①f(m)>0 ②f(n)>0
특별한 경우
나
주어진 f(x) 함수 간격 (m,n)에 f(m)=0 또는 f(n)=0이 있으면 f(m)·f(n)<0은 f(에서 만족되지 않습니다. m)=0 또는 f(n)=0인 경우 m 또는 n이 방정식의 해 중 하나라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 즉 방정식은 ax² bx c=(x-m) 형식으로 작성할 수 있습니다. ·(Ax B), 즉 A 인자(x-m)[또는 (x-n)]가 있음을 의미하며, 방정식의 다른 근을 구하여 구간(m, n)에 속하는지 판단하고, 매개변수의 값 또는 범위
ii
위의 상황 1, 상황 2, 상황 3, 상황 4는 모두 Δ>0일 때의 논의 결과이며, 실제로 문제를 풀 때에는 반드시 만족하는 조건이 있는지를 고려하시기 바랍니다. Δ=0일 때의 조건 매개변수 값
기본 불평등(평균 불평등)
중요한 불평등
만약 a, b∈R,
그런 다음 a²≥0(a=0인 경우에만 등호를 얻습니다)
|a|≥0, (a=0인 경우에만 등호를 얻습니다.)
(a-b)²≥0
a² b²≥2ab
[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²
(a b)²≥4ab
a=b인 경우에만 등호를 얻습니다.
기본적인 불평등
a>0이면 b>0
그런 다음: (2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)
기본 부등식: 조화 평균 ≤ 기하 평균 ≤ 산술 평균 ≤ 제곱 평균
메모리: 숫자를 조정하고 공식을 계산합니다.
기본 불평등의 최적 값을 찾을 때 양수 1개, 양수 2개, 같음 3개를 만족해야 합니다.
양수의 합은 상수이고, 양수의 곱은 최대값을 갖습니다.
양수의 곱은 상수이고 양수의 합은 최소값을 갖습니다.
기본 불평등의 확장
세 양수의 산술 평균 - 기하 평균 불평등
a, b, c∈R이면 다음과 같습니다. (a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
등호는 a=b=c인 경우에만 유효합니다.
n 양수의 산술 평균 - 기하 평균 불평등
A1, A2,...An∈R인 경우: (A1 A2...An)/n ≥ (A1·A2·...An)^(1/n)
평등과 불평등 속성
평등과 불평등
방정식의 개념
등호를 포함하는 표현식을 방정식이라고 합니다.
불평등의 개념
수학 기호 ≠ ＞ ＜ ≥ ≤를 사용하여 두 숫자 또는 대수 표현을 연결하여 두 숫자 사이의 부등식을 표현합니다. 이러한 부등식 기호가 포함된 식을 부등식이라고 합니다.
같은 방향의 불평등과 반대 방향의 불평등의 개념
같은 방향 불평등
두 부등식의 좌변이 우변보다 크거나 작으면 두 부등식을 같은 방향의 부등식이라고 합니다.
이질적 불평등
한 불평등의 왼쪽이 오른쪽보다 크고 다른 불평등의 오른쪽이 왼쪽보다 큰 경우 두 불평등을 반대 불평등이라고 합니다.
일반적으로 사용되는 불평등 기호
>보다 큼, <보다 작음, 이상(최소, 이하) ≥, 이하(최대, 이하) ≤
차이 방법은 두 개의 실수를 비교합니다(대수식).
a-b>0이면 a>b
a-b<0, 그 다음에는 a<b
a-b=0이면 a=b
두 개의 실수를 비교하려면 차이와 0 사이의 관계만 확인하면 됩니다.
방정식의 기본 속성
a=b이면 b=a
a=b, b=c이면 a=c
a=b이면 a±c=b±c
a=b이면 ac=bc
a=b이면 a/c=b/c(c≠0)
확장: a=b이면 a^n=b^n(n∈N,N≥2)
확장: a=b>0이면 a^(1/n)=b^(1/n) (n∈N,N≥2)
불평등의 속성
1대칭
a>b⇔b<a
거꾸로 할 수 있는
2 전이성
a>b, b>c⇒a>c
같은 방향으로
3 가산성
a>b⇔a c>b c
거꾸로 할 수 있는
전송 규칙
a b>c⇔a>c-b
거꾸로 할 수 있는
4 다중성
a>b, c>0⇒ac>bc a>b, c<0⇒ac<bc
c>0 또는 c<0의 상황에 주의하세요.
5 같은 방향의 가산성
a>b, c>d, ⇒a c>b d
같은 방향으로 추가 가능
6. 동일한 방향 및 동일한 양의 방향에서의 다중성
a>b>0, c>d>0, ⇒ac>bd
같은 방향, 같은 방향을 곱할 수 있음
7 지수가능성
a>b>0，⇒a^n>b^n(n∈N,N≥2)
Tongzheng은 지수화될 수 있습니다.
같은 방향의 부등식은 뺄 수 없고, 반대 방향의 부등식은 더할 수 없습니다.
일반적으로 사용되는 부등식
상호 재산
a>b, ab>0, ⇒(1/a)<(1/b)
부등식 속성 4
a<0<b，⇒(1/a)<(1/b)
a>b>0, 0<c<d, ⇒(a/c)>(b/d)
0<a<x<b (또는 a<x<b<0), ⇒(1/b)<(1/x)<(1/a)
분수 속성
a>b>0이면 m>0이면
진분수의 성질
(b/a)<[(bm)/(am)]
(b/a)>[(b-m)/(a-m)], 여기서 b-m>0
즉, 진분수의 분자와 분모에 같은 양수를 동시에 더하면 분수의 값이 더 커집니다.
가분수 속성
(a/b)>[(am)/(bm)]
(a/b)<[(a-m)/(b-m)], 여기서 b-m>0
즉, 가분수의 분자와 분모에 같은 양수를 동시에 더하면 분수의 값이 작아집니다.