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Galeria de mapas mentais Mecânica dos Fluidos

Mecânica dos Fluidos

O mapa mental da mecânica dos fluidos concentra-se nos pontos centrais desta disciplina. Na seção estática de fluidos, aprofundamos os princípios de distribuição de pressão e flutuação dos fluidos em repouso, revelando os mistérios do equilíbrio de forças internas nos fluidos. A forma integral de controlar o volume, a partir de uma perspectiva macroscópica, estuda massas fluidas como um todo, o que ajuda a entender as leis de interação entre fluidos e limites. A análise diferencial do movimento do fluido mergulha no nível microscópico, analisando as mudanças na velocidade e aceleração das partículas fluidas, fornecendo uma base para revelar a essência por trás de fenômenos complexos como a formação de vórtices. A análise dimensional é como uma régua precisa, ajudando a verificar a precisão das fórmulas e garantindo a confiabilidade da teoria da mecânica dos fluidos em diferentes cenários de aplicação, demonstrando seu valor em áreas como engenharia aeroespacial e de conservação de água.

Editado em 2021-09-13 17:19:01

Gustavo Cordeiro

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Mecânica dos Fluidos
O mapa mental da mecânica dos fluidos concentra-se nos pontos centrais desta disciplina. Na seção estática de fluidos, aprofundamos os princípios de distribuição de pressão e flutuação dos fluidos em repouso, revelando os mistérios do equilíbrio de forças internas nos fluidos. A forma integral de controlar o volume, a partir de uma perspectiva macroscópica, estuda massas fluidas como um todo, o que ajuda a entender as leis de interação entre fluidos e limites. A análise diferencial do movimento do fluido mergulha no nível microscópico, analisando as mudanças na velocidade e aceleração das partículas fluidas, fornecendo uma base para revelar a essência por trás de fenômenos complexos como a formação de vórtices. A análise dimensional é como uma régua precisa, ajudando a verificar a precisão das fórmulas e garantindo a confiabilidade da teoria da mecânica dos fluidos em diferentes cenários de aplicação, demonstrando seu valor em áreas como engenharia aeroespacial e de conservação de água.

Mecânica dos Fluidos

Gustavo Cordeiro

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O mapa mental da mecânica dos fluidos concentra-se nos pontos centrais desta disciplina. Na seção estática de fluidos, aprofundamos os princípios de distribuição de pressão e flutuação dos fluidos em repouso, revelando os mistérios do equilíbrio de forças internas nos fluidos. A forma integral de controlar o volume, a partir de uma perspectiva macroscópica, estuda massas fluidas como um todo, o que ajuda a entender as leis de interação entre fluidos e limites. A análise diferencial do movimento do fluido mergulha no nível microscópico, analisando as mudanças na velocidade e aceleração das partículas fluidas, fornecendo uma base para revelar a essência por trás de fenômenos complexos como a formação de vórtices. A análise dimensional é como uma régua precisa, ajudando a verificar a precisão das fórmulas e garantindo a confiabilidade da teoria da mecânica dos fluidos em diferentes cenários de aplicação, demonstrando seu valor em áreas como engenharia aeroespacial e de conservação de água.

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Mecânica dos Fluidos

Estática dos Fluidos

Introdução aos Fluidos

O que é um fluido?

O fluido é algo que escoa!

Imagina uma gota de óleo sobre uma superfície horizontal. Ela não ta escoando. Mas se você inclinar essa superfície peceberá que ela começarar a escoar. Ou seja, um fluido é toda matéria que ao receber a ação de uma tensão cisalhante ( uma tensão que atua paralelamente ao movimento) irá escoar continuamente, até que a resultante dessa tensão volte a ser zero. Não importando o quão pequena seja essa tensão. O fluido é capaz de escoar devido às força intermoleculares. Essa forças intermoleculares são fracas. E quando uma camada recebe tensão, a camada seguinte não tem força para parar o movimento e, assim, aquela camada "escorrega": O fluido escoa.

Massa específica (ρ)

É a razão entre a massa de um fluido e o volume que ele ocupa

Podemos definir matemáticamente como: A massa específica é relativo à uma substância e pode variar de acordo com a temperatura e a pressão.

Densidade Relativa (d)

É a comparação entre a massa específica de um fluido com a massa específica de um fluido de referência

Essa comparação pode ser bem útil, porque te ajudar a visualizar o problema. Tipo assim, se eu disser que a massa específica do mercúrio é 13.600 kg/m³, talvez não te ajude a visualizar se ele é muito denso ou não. Mas se eu disser que a massa específica do mercúrio é 13,6 vezes a da água, ai você ja tem um meio de comparação e consegue meio que "enxergar" que o cara é bem denso. Por isso vamos usar a comparação e é daí que surge a densidade relativa. Normalmente é utilizado a água como fluido de referência para líquidos e o ar como fluido de referência para gases A densidade relativa é admensional. Então vai ser assim: " A densidade do mercúrio é 13,6". Normalmente é utilizado a massa específica da água igual a 1000 kg/m³ e a do ar como 1,2 kg/m³. Mas isso vai depender da temperatura e da pressão.

Volume específico (v)

É a razão entre o volume de uma substância e a massa de substância

Basicamente, o volume específico é inverso da massa específica. Ele é uma característica da substância e também depende da temperatura e pressão.

Viscosidade

É resistência que um fluido tem para fluir (escoar)

quem é mais viscoso: o óleo ou a água: Óleo é a resposta correta e também a mais intuitiva. É fácil "intuir" que é o óleo, mas você saberia definir porque você "escolheu" o óleo?. Consegue definir viscosidade? O óleo é mais viscoso porque ele oferece mais resistência ao escoamento. Agora outro exemplo. Já tentou dar um soco dentro da água? E no ar? Pra qual deles você precisa fazer mais força? Você precisa fazer mais força pra dar um soco na água porque ela tem maior resistência ao movimento do que o ar. A essa resistência ao movimento associamos a viscosidade. A viscosidade tem a ver com o atrito interno do fluido, entre as diferentes camadas de moléculas que formam ele. Se tem muito atrito, você precisa de mais força pra mover uma camada sobre a outra e o fluido se é mais viscoso.

Tensão cisalhante e tipos de Fluidos

Pressão Hidrostática

Princípio de Stevin e Manômetros

Força em Comportas

Fluído sendo acelerado

Empuxo

Estabilidade

Forma Integral para Volume de Controle

Análise Diferencial do Movimento dos Fluidos

Campo de velocidade e o princípio de conservação de massa

Nesse tópico iremos apresentar as relações que vão permitir conhecer o estado ponto a ponto do nosso sistema. São as famosas relações diferenciais de escoamente de fluidos! Na figura abaixo temos um escoamento dentro de uma tubulação. Com as informações que temos até agora, para calcular a velocidade na qual o fluido escoa, precisarariamos saber a área do tubo e a vazão mássica do fluido. E no final a velocidade que encontrassemos seria uma velocidade média! No nosso exemplo temos um escoamento de um fluido qualquer, com a velocidade na direção do eixo z. Na prática existe um gradiente de velocidade em relação ao raio do tubo, isso é, a velocidade do fluido no centro do tudo vai ser diferente da velocidade na parede do tubo. A equação da continuidade vai ser a primeira a definir o perfil de velocidade do escoamento, isso é nada mais do que a distribuição de velocidades dentro do meu tubo.

Equação da continuidade

Para entender a ideia da equação da continuidade temos que ter em mente que a massa se conserva, ou seja, em um volume de controle, o balanço de coisas que entram é igual as coisas que saem, além da porção que fica acumulada. Assim temos: Onde p é a massa específica e que u, v, w são componentes de velocidades nos eixos x,y,z respectivamente e representa o acúmulo. Ou seja, a variação dos fluxos de entrada e de saída é zero. Essa daí é a Equação da Continuidade.

Coordenadas Cilíndricas

Para representação da equação da continuidade em coordenadas cilíndricas as componentes de velocidade são vr (velocidade radial), vθ (velocidade circular) e vz (velocidade axial). Também apareceram uns r que não tinham na outra equação, isso deve a troca de um sistema de coordenadas para o outro, funciona como um fator de conversão. Agora analisando nosso exemplo e aplicando a equação da continuidade. Assumindo um escoamento permanente, podemos retirar o termo de acúmulo . Como o escoamento tem velocidade na direão z, então também podemos cortar as derivadas com velocidade angular e radial . Dessa forma ficamos com a seguinte expressão: Ou seja, como a derivada de uma constante é sempre igual a zero. Temos que vz é constante e podemos dizer que ao longo do eixo z a velocidade não muda! Em quais circuntâncias teriamos velocidade angular() ou radial (r)? Para velocidade angular podemos imaginar uma máquina de lavar roupa, cheia de água no momento que ela está centrifugando! E para velocidade radial imagina uma mangueira de água com a extremidade onde a água sai tampada, e com vários furos no cano. Quando a torneira é ligada a água vai esguichar no sentido radial!

Forma Vetorial

Podemos escrever nossas equações da seguinte maneira: Sendo V = (u,v,w) Esse delta invertido é chamado de nabla, e no caso ele calcula o divergente do campo de velocidades. Isso nada mais é do que a derivada parcial de determinado termo nas direções do eixo de referência utilizado.

Exemplos

Exemplo 1- (importante)

Pergunta: Um caso muito comum na mecânica dos fluidos é o caso permanente e incompressível. Deduza a expressão da Equação da Continuidade para o caso permanente, ou seja, sem variações no tempo, e incompressível, onde ρ é constante. Resolução: Temos a equação da continuidade: Aplicando a primeira condição de escoamento permanente Sendo f uma função qualquer Logo Se ρ é constante, podemos tirar de dentro das derivadas: Colocando ρ em evidência Como ρ é diferente de zero, podemos jogar ele pro outro lado da equação Logo a expressão procurada é:

Exemplo 2

Pergunta: Considere o seguinte campo de velocidade bidimensional para um escoamento permanente e incompressível: Essa distribuição de velocidade satisfaz a equação da continuidade? Esse escoamento é possível? Resolução: Vimos que a equação da continuidade aqui na Análise Diferencial é: E como o anunciado diz que o escoamento é permanente, a derivada em relação ao tempo é zero Logo, a equação da continuidade fica assim: Além disso, o fluido é incompressível, o que nos permite colocar a massa específica para fora da derivada, pois ela é constante e independe de x,y e z. Com essa equação, vamos analisar agora o perfil de velocidades. Quem são u,v e w? Essas letras são as componentes da velocidade em cada direção. Lembrando que o perfil de velocidade foi dado no anunciado: Como o escoamento é bidimensional: Substituindo na equação da continuidade para regime permanente e fluido incompressível: Resolvendo as derivadas parciais Então, para distribuição de velocidades dada, a equação da continuidade é satisfeita! Ou seja, esse escoamento é possível.

Exemplo 3

Pergunta: Um escoamento idealizado incompressível tem a distribuição tridimensional de velocidade proposta: Encontre a forma apropriada da função f(y) que satisfaz a relação da continuidade. Resolução: u,v e w são componentes de V em cada direção x,y e z. Ou seja, podemos reescrever o campo de velocidade V desse jeito: Nosso objetivo nesse problema é aplicar a Equação da Continuidade e procurar o formato que f(y) deve ter. É um escoamento incompressível, então: Agora precisamos encontrar os valores de: Então: Substituindo na expressão Continuidade: Sabemos que v = f(y), ou seja não depende de nenhuma variável além de y, podemos reescrever a derivada e realizar a integração: Logo: Sendo C a constante de integração:

Equações de Navier-Stokes

Vamos analisar o termo de do lado direito da equação. Lembra da Segunda Lei de Newton, aquela tal de F=ma, força igual a massa vezes aceleração? Lembra que a aceleração é a primeira derivada da velocidade no tempo? E que a massa é igual ao volume ∇ vezes a massa específica p? Em outras palavras: Substituindo na nossa expressão: Olhando para um componente só, Dividindo ambos os lados por ∇ para pensarmos em força por unicade de volume. Acabamos de descobrir o que está acontecendo naquelas três equações: estamos analisando força sobre volume. Porém é uma das componentes do campo de aceleração do fluido. E precisamos trabalhar com campos de velocidade e aceleração. Nosso campo de velocidade vai ser representado da seguinte forma:

Aceleração em Navier-Stokes

A aceleração é: Como u, ve w não dependem só do tempo, devemos utilizar a regra da cadeia, derivando a variação de x,y,z no tempo t também: O mesmo vale para as outras componentes de velocidade. Por definição: Substituindo nas expressões da aceleração dá o seguinte: Substituindo nas equações de Navier-Stokes: Essas são equações de Navier-Stokes

Entendendo os termos de Navier-Stokes

Vamos dar uma olhada no lado esquerdo das equações de Navier-Stokes. Separando em três pedaços O primeiro, lembra um pouco uma força conhecida, aquela tal de força peso mg. É exatamente isso. É a força que a gravidade aplica nos nossos escoamentos, só que agora ela está no formato para fluidos: força sobre volume, N/m³. O segundo, é a variação da pressão no fluido no eixo x. Se olharmos as unidades, veremos que representa: força sobre volume Unidade de pressão: Pa = N/m² Unidade de comprimento: m O sinal é negativo devido a convenção de sinais usados na dedução da expressão. O terceiro, representa os componentes cisalhantes. obs: As equações de Navier-Stokes só são válidas para escoamentos incompressíveis de fluidos newtonianos.

Condição de Contorno

Fronteiras das nossas equações

Um bom exemplo de condição de contorno são as fronteiras de um escoamento. Se nosso problems fossem uma pizza, as condições de contorno de fronteira seriam as bordas. Ou seja, são as paredes do nosso volume de controle, mas também são as interfaces entre os fluidos e as esntradas e sáidas do nosso escoamento. O encontro entre o céu e o mar é um exemplo de encontro de fluidos: ar e água. E isso pode ser uma fronteira no nossso escoamento.

Condições de Fronteira

- Entradas e Saídas: Todo escoamento precisa de entradas e saídas. E para sabermos como se comporta o escoamento dentro do volume de controle, precisamos saber como ele entrará e como sairá. Ou seja, conhecemos as condições iniciais de volocidade e pressão, assim como as finais. - Paredes: Paredes são todas barreiras sólidas e impermeáveis ao escoamento. Por exemplo o cano por onde passa água na sua casa é uma condição de contorno. Afinal não teríamos escoamento depois da parede do tubo. Além disso existe a hipótese de não-escorregamento na parede. Isso significa que o fluido adquire a mesma velocidade que a parede, como se a partícula fluida estivesse "colada" na parede. Nesse caso: Comumente a parede está parada em relação ao fluido, ou seja, Vparede =0 - Interface entre fluidos A grosso modo funciona como uma parede também. Mas com hipóteses diferentes e que acerretam uma análise muito mais complexa do escoamento. Por exemplo: é adicionado uma variável chamada elevação da superfície livre, denotada por: E como deve haver continuidade, as velocidades verticais dos fluidos devem ser iguais a: Isso é chamado de condição de contorno cinemática.

Outras Condições

- Propriedades constantens: A hipótese de que existem escoamentos incompressíveis ( p = constante) é muito utilizada em escoamentos de fluidos, pois retira completamente uma variável das nossas equações. Ela é válida para maioria dos escoamentos líquidos e alguns tipos de escoamentos gasosos, mas normalmente só líquidos. Oura é da viscosidade cinemática (μ) ser constante. Assim como no caso anterior, poucos escoamentos newtonianos tem nótavel variação da viscosidade, portanto considerá-la constante retira outra variável que poderia nos atrapalhar. - Aproximações: Em alguns escoamentos podemos desconsiderar completamente algumas variáveis. O caso mais comum é o de escoamentos sem atrito. Ou seja, sem parcela viscosa de forças. Isso é muito usado em escoamentos gasosos. A utilização disso leva às Navier-Stokes tomarem a cara da Equação de Euler, por exemplo:

Função Corrente e Função Potencial

Função Corrente

Para problemas incompressíveis, bidimensionais e permanentes, a equação da continuidade se reduz a: A função corrente, é uma função que satisfaz essa equação. Ela é denotada por e é definida como: Se introduzirmos essa mudança na equação da continuidades, teremos: Portanto, a equação da continuidade é sempre satisfeita. É assim que definiremos a função corrente nos outros sistemas de coordenadas, acharemos a função que sempre satisfaz a continuidade.

Vorticidade e Irrotacionalidade

A função vorticidade é representada pela letra ξ e definida como: Ou seja, ela é calculada como o rotacional do campo de velocidades! Ela é importante, porque a velocidade angular do fluido, w, é definida como metade da vorticidade. - Escoamento irrotacional Esse escoamento nos diz que , ou seja a vorticidade e a velocidade angular são ambas nulas. A maior parte dos escoamentos é irrotacional. Então, quando queremos o rotacinal diferente de zero? Em casos quando os efeitos viscosos são importantes em algumas regiões, como na camada limite.

Função Potencial

Vimos que a função corrente facilita a análise de escoamentos bidimensionais, então a função potencial facilitará os escoamentos tridimensionais. Se o escoamento for irrotacional, a gente pode achar a função Φ chamada função potencial, que é definida dessa jeito: Ou seja, Com essa função, podemos reduzir o problema de 3 funções para apenas 1, a função potencial!

Análise Dimensional