Il concetto di valore estremo e valore massimo
★La premessa per l'esistenza del valore estremo deve essere che entrambe le parti siano definite.
Il punto estremo non è necessariamente il punto massimo, e il punto massimo non è necessariamente il punto estremo.
y=e elevato a x ha un punto massimo in [0, ∞], ma nessun punto estremo
y=3x-x elevato alla terza potenza
Ci sono punti estremi ma non punti massimi
Il punto massimo all'interno dell'intervallo deve essere il punto estremo
I punti all'interno dell'intervallo non sono punti estremi, quindi non devono nemmeno essere punti massimi.
I punti di discontinuità possono anche essere punti estremi
Tutti e quattro i tipi di punti di discontinuità possono essere utilizzati per raggiungere i punti estremi, purché siano definiti i lati sinistro e destro.
Discriminazione tra monotonia e valori estremi
Punto estremo
Non deve essere differenziabile nel punto estremo, purché sia differenziabile nelle vicinanze di questo punto
Condizioni necessarie (Fermat)
f(x) è differenziabile in x=x0 e assume valore estremo nel punto x0
Allora deve esserci f′(x0)=0
prima condizione sufficiente
Prima di trovarla verifica la continuità. La premessa è che in questo punto è continua e f′(x0) cambia segno nell'intorno decentrato di x0.
seconda condizione sufficiente
f(x) è differenziabile del secondo ordine in x=x0 e f′(x0)=0, f′′(x0)≠0
f′′(x0)>0, f(x0) è un valore minimo che può essere dimostrato dalla definizione del limite e dalla proprietà di conservazione del segno locale.
Al contrario, il valore massimo
terza condizione sufficiente
La derivata di ordine m di f(x0)=0, la derivata di ordine n di f(x0)≠0
Quando n è un numero pari, la derivata di ordine n è >0 e assume il valore minimo in x=x0
Quando n è un numero pari, la derivata di ordine n <0 e assume il valore massimo in x=x0
È inoltre possibile utilizzare la definizione per identificare
Il concetto di concavità e di punto di flesso
Il valore della funzione sulla linea che collega due punti < il valore della funzione nel punto medio dei due punti sulla curva
Valore della funzione sulla linea che collega due punti > Valore della funzione nel punto medio dei due punti sulla curva
Definizione del punto di flesso
Il punto di flesso deve solo essere continuo
Non ha nulla a che fare con il fatto che sia derivabile o meno.
Concavo e convesso senza un ordine particolare
Il punto di flesso è sulla curva
Scrivi (x0,f(x0))
I punti estremi si riferiscono ai punti nel dominio della definizione
I valori estremi sono valori di funzione
Distinguere il tipo concavo e convesso
Derivata seconda > 0, concava
Derivata seconda <0, convessa
Giudizio del punto di flesso
condizioni necessarie
esiste f′′(x0) e il punto (x0, f(x0)) è il punto di flesso sulla curva
prima condizione sufficiente
La premessa è che la derivata seconda cambia segno se è continua nell’intorno decentrato.
seconda condizione sufficiente
f''(x0)＝0, f'''(x0)≠0, allora (x0,f(x0)) è il punto di flesso
terza condizione sufficiente
La derivata m-esima di f(x0)=0
Quando n è un numero dispari, la derivata n-esima ≠0
(x0,f(x0)) è il punto di flesso
È inoltre possibile utilizzare la definizione per identificare
Domande d'esame
5.5 Prova di monotonia
Il rapporto tra f' e f
Pensiamo al teorema del valore medio di Lagrange
La derivata seconda > 0 vicino ad un punto
Una curva vicino ad un punto è una curva concava
Identificare i valori estremi secondo la definizione di valori estremi
Asintoto
asintoto del piombo
nessun punto di definizione
Definire i punti finali dell'intervallo
funzione a tratti punto a tratti
limx tende a x0 =∞ (o limx tende a x0-=∞), allora x=x0 è un asintoto verticale
asintoto orizzontale
limx tende a ∞=y1, allora y=y1 è un asintoto orizzontale
limx tende a -∞=y2, allora y=y2 è un asintoto orizzontale
Se = lo stesso asintoto, y = y0 è un asintoto orizzontale
asintoto obliquo
limx tende a ∞, limf(x)/x=a1 (a non può=0.) lim[f(x)-a1x]=b1
Per y=a1x b1 è un asintoto obliquo
Domande d'esame
fare un passo
1. Trova punti ed endpoint non definiti
2. Esiste un asintoto a piombo che si avvicina a questo punto?
3. Tende all'infinito, se c'è un livello
4. Rispetto a x, esiste un gradiente obliquo?
5.8 ed Esercizio 2.6
Lo stesso metodo per trovare i limiti ★★
x tende all'infinito, 1/x=0
lne elevato a x × (e elevato a -x 1) = x ln (e elevato a -x 1)
1-(1-1/n) alla kesima potenza~k/n
Valore massimo o intervallo di valori
Trovare i valori massimo e minimo (intervallo) della funzione continua f(x) sull'intervallo chiuso [a,b]
Il punto in cui la derivata prima è zero
Punti in cui non esiste la derivata prima, punti non derivabili
Grande scappatoia
Quando si trova la derivata del punto a tratti di una funzione a tratti, è necessario utilizzare la definizione di derivata per trovare la derivata.
Trovare il valore massimo o l'intervallo di valori della funzione continua f(x) nell'intervallo aperto (a,b)
Il limite destro dell'endpoint sinistro, il limite sinistro dell'endpoint destro
Lo stesso vale per ±infinito
Se incontri problemi pratici nel trovare i valori massimo e minimo, stabilisci prima la funzione obiettivo e poi convertila in un problema di valore ottimo dopo aver determinato l'intervallo di definizione.
In particolare, se il problema reale in esame ha un valore massimo o minimo. La funzione obiettivo ha un punto estremo unico, quindi deve essere il punto massimo. Trova il termine n più grande sotto la radice n.
Il punto estremo all'interno dell'intervallo deve essere il punto massimo
Realizza grafici di funzioni
① Determina il dominio della funzione e controlla se ha parità o uniformità
② Trova la derivata del primo ordine e la derivata del secondo ordine
Il punto indefinito di f(x)
Punti in cui f'(x) non esiste
⑤ Realizza grafici di funzioni
Definizione di derivate e preservazione del segno locale mediante limiti
5.1
Vale la pena farlo più volte
Le domande dell'esame possono essere utilizzate per esercitarsi nei calcoli
5.3
Valore estremo della funzione implicita
Sia la derivata prima uguale a 0
Trova la relazione tra y e x
Trova a questo punto la derivata seconda
Anche i punti in cui la derivata prima non esiste possono essere valori estremi
5.8
La media aritmetica è maggiore della media geometrica
Promuovere a cinque volte
5.9
metodo dei fattori comuni
Per la derivata prima difficile da calcolare = 0
5.10
Esame di capacità di calcolo
Effettua modifiche logaritmiche, aggiungi e sottrai
Credi nelle tue capacità informatiche
Punto estremo
La derivata prima non esiste
punto di flesso
La derivata seconda non esiste
Non inserire l’espressione sbagliata alla fine del punto di svolta
Gli intervalli concavi e convessi sono separati da virgole
L'unico valore minimo è il valore minimo
Attenzione all'approssimazione
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