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Galleria mappe mentale Concetti e calcoli del calcolo differenziale di funzioni di una variabile

Concetti e calcoli del calcolo differenziale di funzioni di una variabile

Questa è una mappa mentale sui concetti e sui calcoli del calcolo differenziale delle funzioni di una variabile. Il contenuto principale include concetti, calcoli di derivate e differenziali, domande del test e 1.000 domande.

Modificato alle 2022-07-03 07:56:52

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Concetto e calcolo del calcolo differenziale di funzioni di una variabile

concetto

Citazioni

tasso di cambiamento istantaneo

dA/dB è chiamato tasso di variazione istantaneo da A a B

Valore Lemney

pendenza della retta tangente

Il concetto di derivata

Due espressioni di derivate importanti

Incrementale

forma della differenza di funzione

4.1

Tre modi per dire che i derivati sono equivalenti

y=f(x) è differenziabile nel punto x0

La derivata di y=f(x) esiste nel punto x0

f'(x0)=A (A è un numero finito)

Condizioni necessarie e sufficienti affinché la funzione f(x) sia differenziabile in x0

Sia la derivata sinistra che quella destra esistono e sono uguali

f'-(x0)＝f' (x0)＝A

Il derivato non esiste

Studia il problema della tangente di y=lxl in x=0

Punto acuto, la derivata al punto di svolta non esiste

Studia y = 1/3 potenza di x

Derivati infiniti. Il derivato non esiste

Normale

Reciproco negativo della derivata

Il concetto di derivate di ordine superiore

generalizzazione incrementale

Domande d'esame

Definizione di derivato

Si smonta perché si dice che si possa ricavare dalla frazione 4.1. Si smonta smontandolo e dando un'occhiata. È vero che il limite esiste dopo essere stato smontato.

4.2, prima cambia l'elemento, rendilo più semplice e poi trova il limite

Operazione estrema in corso

Proporre fattori tempestivi il cui limite non è zero

Non può essere scomposto perché parla solo di tipi di domande in condizioni continue 4.3 continue.

Creare condizioni senza condizioni

Dividi un termine per un termine

4.11

Teorema importante 4.3

Supponiamo che f(x) sia continua in x=x0 e soddisfi che quando x tende a x0, limf(x)/x-x0=A, allora f(x0)=0, f'(x0)=A

Deriva un numero pari di volte e la parità rimane invariata. Guida un numero dispari di volte, scambia la parità

4.6

Dimostrazione sullo scambio di parità e uniformità dopo la derivazione e sull'invarianza della periodicità dopo la derivazione

4.4 e 4.5

Il concetto di calcolo differenziale

△y＝A△x o(x)

A△x è detta anche parte principale lineare, detta anche differenziale di y

A△x＝dy＝f′(x)△x＝f′(x)dx

△x＝dx

A＝f′(x)

4.74.8

Se può essere differenziabile, deve essere differenziabile. Se può essere condotto, deve essere differenziabile.

Giudizio differenziabile

Il rapporto ultimo di ordine superiore △x=0

Uguale alla funzione multivariata

Calcolo dei derivati e dei differenziali

Aritmetica

Scrivi il lato destro delle quattro operazioni aritmetiche e spingi il lato sinistro

Lo stesso vale per la derivata del quoziente

Moltiplica più di 3 espressioni

4.9

Moltiplica 100 termini e convertili in due termini

Derivate di funzioni a tratti

Derivazione utilizzando la definizione della derivata nei punti di segmentazione

difficoltà

Utilizza la formula della derivata per trovare la derivata nei punti non segmentati

Derivata di lnlxl=1/x

Derivato di lnlg(x)l=g′(x)/g(x)

Derivata di a alla potenza x

a elevato a x lna

Derivata di a alla potenza u(x).

u(x) potenza di a×lna×u′(x)

4.12

Derivato di funzioni composte

un viaggio alla volta

invarianza della forma differenziale

df porta=f'(porta)d porta

Prestare attenzione alla posizione del simbolo di derivazione

Prestare attenzione all'osservazione Non è necessario trovare la derivata e quindi aggiungere il valore.

4.14

Derivazione della funzione inversa

Supponiamo che y=f(x) sia differenziabile e f′(x)≠0

Allora f'(x) deve essere sempre positivo o sempre negativo

Supponiamo che y=f(x) sia continua e f'(x)≠0

Allora f(x) deve essere sempre positivo o sempre negativo

derivata prima della funzione inversa

La derivata della funzione inversa = il reciproco della derivata della funzione originale

derivata seconda della funzione inversa

Y′′xx＝-X′′yy/(X′y)3

X′′yy＝-Y′′xx/(Y′x)3

Domande d'esame complete con punti bancomat

4.17 La funzione inversa dà il valore di y e richiede che x venga introdotto.

Assicurati di prestare attenzione se il valore preso quando si deriva la derivata è x o y

Derivate di equazioni parametriche

Derivata prima di equazioni parametriche

Trovare la derivata seconda di un'equazione parametrica

La derivata del secondo ordine e la derivata del secondo ordine della funzione inversa non sono ben comprese.

Derivazione di funzioni implicite

y è una funzione di x

Derivare direttamente da entrambi i lati

Derivazione logaritmica

Quando si moltiplicano, dividono, iniziano ed elevano a potenza più elementi

Generalmente si prende prima il logaritmo e poi si ricava la derivata

Dopo aver calcolato il logaritmo, porta in primo piano l'esponente del logaritmo.

Quando si prende il logaritmo, se l'intervallo non è specificato, è necessario aggiungere il valore assoluto

Metodo di derivazione della funzione esponenziale di potenza

Prima convertilo in una funzione esponenziale e poi ricava la derivata

Prendere il logaritmo significa trovare la derivata su entrambi i membri, ma prendere l'esponente significa calcolare la derivata su un solo membro

y=x elevato alla potenza di x

Immagine, metodo dell'immagine, metodo derivato

y=x elevato alla potenza di 1/x

Immagine, metodo dell'immagine, metodo derivato

derivate di ordine superiore

Trova la derivata n-esima di a elevata alla potenza x-esima

a elevato a x × (lna) elevato a n

Usa l'induzione

8 formule di derivata di ordine n

La derivata n-esima di (xe elevato a x) = (x n)e elevato a x

Utilizzo delle derivate di ordine superiore per trovare formule di derivazione

Triangolo Yang Hui

Simile all'espansione binomiale

Usa la formula di Taylor🐻

Prima scrivi la formula di Taylor o la formula di McLaughlin di y=f(x), quindi confronta i coefficienti per ottenere la derivata di ordine n di f (X0)

1. Qualsiasi funzione differenziabile di ordine infinito può essere scritta come espansione di Taylor e espansione di Maclaurin.

2. La domanda fornisce una specifica funzione differenziabile di ordine infinito y=f(x), che può essere espansa in una serie di potenze tramite una formula. p61

3. Secondo l'unicità della formula di espansione, confrontando l'n-esimo coefficiente di potenza di (x-x0) in 1.2, possiamo ottenere la derivata di ordine n di f (X0)

4.27

5! =120

Domande d'esame

Esistono limiti importanti e ≠0

La madre è 0, il fader è 0

4.1

Il bambino è 0 e la madre è 0

Componi il limite. Le molecole hanno fisica. Quando vedi la radice quadrata, devi ricordare che le molecole hanno fisica.

4.3 La formula di Taylor dimostra che è differenziabile

E' normale, ma non si può fare

Dimostrare che è differenziabile, continuo e quando esiste il limite

Basta trovare quello più forte e dimostrarlo direttamente.

Esercizio 4.2 Il valore assoluto può essere considerato limitato

g''(0) esiste

g'(x) esiste in un certo intorno di 0

g(x) è differenziabile del secondo ordine in x=0. Esercizio 4.4★★★

Non è possibile utilizzare Lupida per trovare la derivata seconda

Lópida può essere utilizzato se la funzione può essere definita nel quartiere decentrato

Dice solo che esiste una derivata seconda in un punto e non è possibile utilizzare Lupida per la derivata seconda. Perché non ci sono indicazioni altrove

g′′(0) esiste, si può dedurre che g′(x) esiste nel suo campo decentralizzato.

⭐❤️Quindi usa la definizione di derivato per trovare

❤️Oppure usa l'espansione della formula di Taylor con il resto di Peiano per trovare

Definizione della derivata nei punti di segmentazione

Derivati trovati direttamente nei punti non segmentati

La funzione a tratti, zero a sinistra e a destra sono la stessa espressione

Non c’è bisogno di dividere la discussione tra destra e sinistra

Derivata della funzione potenza

Il risultato deve essere il più semplice possibile

Trova le derivate di ordine superiore

Nessuna regola, semplifica le difficoltà

Decomporre prima

Abbassare nuovamente la potenza

Quindi utilizzare la formula della derivata di ordine superiore

Ad esempio, la derivata di ordine n di (xe elevato a x)

(x n)e elevato alla potenza di

Trova dy/d(x2)

visto direttamente come la forma di divisione

Ad esempio, la derivata di una funzione come y=arcsinx consiste nel scrivere prima la funzione inversa. Quindi utilizzare la regola di derivazione della funzione inversa per trovarlo.

y＝1-x/1 x Funzionamento semplificato＝-1 2/1 x

Per formule contenenti più di e, prima il logaritmo e poi la derivazione 4.7

1000 domande

Taylor può trovare le derivate di ordine superiore solo a 0 punti

Derivate di ordine superiore all'ennesima potenza di (x-a), la derivata n-esima = n! e il resto = ni(x-a)

5. Quando si cerca la derivata di ordine superiore di una funzione a tratti, anche la derivata viene derivata direttamente nel punto a tratti senza definire la derivata.

Dopo aver calcolato la derivata del secondo ordine, abbiamo trovato arctan1/x nella formula, quindi abbiamo utilizzato la definizione di derivata e quindi derivato il risultato.

6. Comprendendo gli incrementi di funzione e i disegni differenziali, la situazione è diversa quando la derivata seconda è maggiore di zero e minore di zero.

12.13 Per le derivate di funzioni complesse, considera prima il logaritmo. Per la derivazione di una funzione logaritmica, portare la potenza in primo piano e quindi eseguire la derivazione.

15. Per la formula di espansione di questa domanda non è necessario il segno negativo.

Derivate di ordine superiore

Lemnitz

Per trovare la derivata n-esima di f(1)

Formula di Taylor

Per trovare la derivata n-esima di f(0)

Induzione

Per la derivata n-esima di f(x)

16. Trova il valore dopo aver cambiato lo yuan. Fai attenzione se le lettere nella domanda sono le stesse.

Quando si usa Lemnitz, la derivazione di chi diventa zero viene scritta per prima.

Funzionerà anche l’induzione

Il reciproco di 2/2 sotto la radice = radice quadrata 2

Sulla formula della derivata seconda delle equazioni parametriche

Se la derivata prima è complicata, puoi usare la formula per trovare la derivata seconda

Formula: y"t×x′t-y′t×x"t/(x′t)3

Differenziale dy = derivata × dx

24. Trova la derivata di ordine n in f(0)

=g′(x) deduce che è n del 1° ordine

Quando si deriva la derivata, n 1 deve essere moltiplicato in avanti.

g(x)=e elevato a x-1/x Ne consegue che la potenza di e elevato a x viene espansa a n elevato a 2/x=n elevato a 1.