Galleria mappe mentale equazioni differenziali
Riepilogo dei punti di conoscenza relativi alle equazioni differenziali in matematica avanzata, inclusi concetti di base di equazioni differenziali, equazioni differenziali di variabili separabili, metodo di sostituzione delle variabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, ecc.
Modificato alle 2021-09-16 10:34:04Microbiologia medica, Infezioni batteriche e immunità riassume e organizza i punti di conoscenza per aiutare gli studenti a comprendere e ricordare. Studia in modo più efficiente!
La teoria cinetica dei gas rivela la natura microscopica dei fenomeni termici macroscopici e le leggi dei gas trovando la relazione tra quantità macroscopiche e quantità microscopiche. Dal punto di vista del movimento molecolare, vengono utilizzati metodi statistici per studiare le proprietà macroscopiche e modificare i modelli di movimento termico delle molecole di gas.
Este é um mapa mental sobre uma breve história do tempo. "Uma Breve História do Tempo" é um trabalho científico popular com influência de longo alcance. Ele não apenas introduz os conceitos básicos da cosmologia e da relatividade, mas também discute os buracos negros e a expansão. Do universo. questões científicas de ponta, como inflação e teoria das cordas.
Microbiologia medica, Infezioni batteriche e immunità riassume e organizza i punti di conoscenza per aiutare gli studenti a comprendere e ricordare. Studia in modo più efficiente!
La teoria cinetica dei gas rivela la natura microscopica dei fenomeni termici macroscopici e le leggi dei gas trovando la relazione tra quantità macroscopiche e quantità microscopiche. Dal punto di vista del movimento molecolare, vengono utilizzati metodi statistici per studiare le proprietà macroscopiche e modificare i modelli di movimento termico delle molecole di gas.
Este é um mapa mental sobre uma breve história do tempo. "Uma Breve História do Tempo" é um trabalho científico popular com influência de longo alcance. Ele não apenas introduz os conceitos básicos da cosmologia e da relatividade, mas também discute os buracos negros e a expansão. Do universo. questões científicas de ponta, como inflação e teoria das cordas.
equazioni differenziali
concetto di base
Definizioni e concetti correlati delle equazioni differenziali
Definizione: qualsiasi equazione che rappresenta una funzione sconosciuta, la relazione tra la derivata della funzione sconosciuta e le variabili indipendenti è chiamata equazione differenziale ordinaria.
Nota: deve apparire la derivata della funzione sconosciuta
Definizione: L'ordine della derivata più alta della funzione sconosciuta che appare in un'equazione differenziale è chiamato ordine dell'equazione differenziale.
Definizione: la sostituzione di una funzione che rende un'equazione differenziale un'identità è chiamata soluzione di un'equazione differenziale
Due diverse forme di soluzione
La soluzione contiene qualsiasi costante e il numero di costanti è lo stesso dell'ordine. Tale soluzione è chiamata soluzione generale o soluzione generale.
La soluzione ottenuta determinando una qualsiasi costante della soluzione generale secondo le condizioni specifiche date dal problema è chiamata soluzione speciale
Equazioni differenziali a variabili separabili
Equazioni differenziali a variabili separabili
metodo di sostituzione delle variabili
equazione omogenea
può essere ridotto ad un’equazione omogenea
soluzione:
Equazione differenziale lineare del primo ordine
equazione lineare
definizione·
Chiamare un'equazione lineare non omogenea del primo ordine
Chiamiamo l’equazione lineare omogenea del primo ordine relativa a (1)
soluzione:
metodo della variazione costante
Metodo per convertire le costanti nella soluzione generale di equazioni omogenee in funzioni indeterminate
Equazione di Bernoulli
Quando n=0, è un'equazione lineare
Quando n=1, è un'equazione separabile.
Soluzione: Sebbene l'equazione (10) non sia un'equazione lineare, può essere convertita in un'equazione lineare tramite la sostituzione di variabili.
equazioni differenziali totali
equazioni differenziali totali
definizione
Misurare per giudicare
soluzione:
L'applicazione degli integrali di curva è indipendente dal percorso
Utilizza l'integrale indefinito per trovare u(x,y)
Un metodo per sommare direttamente i differenziali
fattore di integrazione
definizione:
Nota: il fattore di integrazione generalmente non è facile da ottenere, ma può essere osservato in situazioni semplici.
Ricordati di sommare il differenziale
Equazioni differenziali riducibili di ordine superiore
Definizione: le equazioni differenziali del secondo ordine e superiori sono chiamate equazioni differenziali di ordine superiore
Soluzione: integrazione successiva
Struttura delle equazioni differenziali lineari di ordine superiore e loro soluzioni
Struttura delle equazioni differenziali lineari di ordine n e loro soluzioni
è la funzione coefficiente, f(x) è il termine libero
Quando f(x)¹0, si chiama equazione lineare non omogenea di ordine n
Quando f(x)=0 si dice equazione lineare omogenea di ordine n
Caratteristiche delle equazioni lineari
Tutto una volta
Sia la funzione coefficiente che il termine libero sono funzioni di X
I concetti di dipendenza lineare e indipendenza dei gruppi funzionali
definizione
Un insieme di funzioni (A) definite in I: y1(x), y2(x),...,yn(x), se ci sono costanti k1, k2,..., kn che non sono tutte 0, tali che k1y1 k2y2 ... knyn=0 xÎI, allora (A) si dice linearmente dipendente all'interno di I, altrimenti si dice linearmente indipendente
Avviso
Il caso di due funzioni
y1(x), y2(x) sono irrilevanti
Struttura delle soluzioni di equazioni differenziali lineari del secondo ordine
Struttura delle soluzioni di equazioni omogenee del secondo ordine
Teorema 1
Se le funzioni y1(x) e y2(x) sono due soluzioni dell'equazione (1), allora y=C1y1 C2y2 è anche una soluzione di (1). (C1, C2 sono costanti)
Teorema 2
Se y1(x) e y2(x) sono due soluzioni speciali linearmente indipendenti dell'equazione (1), allora y=C1y1 C2y2 è la soluzione generale dell'equazione (1)
Nota
Il Teorema 2 può essere esteso al caso di equazioni di ordine n
esempio
Struttura delle soluzioni di equazioni lineari non omogenee del secondo ordine
Teorema 3
Supponiamo che y* sia una soluzione speciale dell'equazione lineare non omogenea del secondo ordine, Y sia la soluzione generale dell'equazione omogenea (1) corrispondente a (2), allora y=Y y* è l'equazione lineare non omogenea del secondo ordine equazione differenziale lineare (2 ) spiegazione generale
esempio
Secondo il Teorema 3, i passi per trovare la soluzione generale dell’equazione non omogenea (2) sono:
Trova la soluzione generale Y dell'equazione omogenea corrispondente a (1)
Trova una soluzione speciale y* di (2)
y=Y y*
Teorema 4
Supponiamo che il membro destro f(x) dell'equazione non omogenea (2) sia la somma di diverse funzioni, come
La soluzione speciale di , allora y1* y2* è la soluzione speciale dell'equazione originale
Principio di sovrapposizione delle soluzioni
metodo della riduzione del prezzo e metodo della variazione costante
Trovare soluzioni speciali linearmente indipendenti per equazioni lineari omogenee
Metodo di riduzione
Supponiamo che y1 sia una soluzione speciale diversa da zero dell'equazione (1), poniamo y2=u(x)y1 in (1), otteniamo
Formula di Liouville
La soluzione generale dell'equazione omogenea è
esempio
metodo della variazione costante
Soluzione di equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
definizione
Forma standard delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n
Forma standard delle equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
Forma standard delle equazioni lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
Soluzione di equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti
soluzione
Trovane due linearmente indipendenti
osservare
Pertanto, r^2 pr q=0 (2)
equazione caratteristica
Radici dell'equazione caratteristica
radice caratteristica
Ci sono due radici reali disuguali (D>0)
Due soluzioni speciali linearmente indipendenti
La soluzione generale dell'equazione omogenea è
Ci sono due radici reali uguali (D=0)
La radice caratteristica è r1=r2=-p/2
Un'interpretazione speciale è
Un'altra soluzione speciale è impostata su
La soluzione generale dell'equazione omogenea è
C'è una coppia di radici complesse coniugate (D<0)
La radice caratteristica è
Riorganizzarsi
La soluzione generale dell'equazione omogenea è
Nota (2) Nella formula r^2, i coefficienti e le costanti di r sono y", y' e i coefficienti di y in ordine
definizione
Il metodo per determinare la soluzione generale di un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti dalle radici della sua equazione caratteristica è chiamato metodo dell'equazione caratteristica.
Scrivi l'equazione caratteristica di (1): r^2 pr q=0--(2)
Trovare le radici caratteristiche r1, r2 di (2)
Secondo la situazione radice caratteristica, la soluzione generale può essere suddivisa in tre situazioni:
Soluzione di equazioni lineari omogenee di ordine n a coefficienti costanti
L'equazione caratteristica è
Avviso
Soluzione di equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine
Due forme del termine libero f(x)
(l è una costante)
polinomio di grado m
forma speciale
l=0ðf(x)=Pm(x)
Pm(x)=1ðf(x)=e^lx
l-numero reale aðf(x)=Pm(x)e^ax
l=a ibðf(x)=Pm(x)e^(a ib)
(a, b sono costanti reali)
(Uno di questi può essere 0)
forma speciale
a=0
metodo
Trova y* utilizzando il metodo dei coefficienti indeterminati
Trova una soluzione speciale Y* di y" py' qy=e^lxPm(x)
Sia y*=Q(x)e^lx--(A)
Q(x) è un polinomio di x
Se l non è una radice caratteristica di (2): l^2 pl q¹0
Se l è la radice singola caratteristica di (2): l^2 pl q=0
Se l è una radice multipla di (2): l^2 pl q=0, 2l p=0
fare un passo
Trova le radici caratteristiche dell'equazione omogenea corrispondente a (1)
impostare
y*=y1* y2*
i punti cambiano