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Galeria de mapas mentais Aplicações Geométricas do Cálculo Diferencial de Funções de Uma Variável

Aplicações Geométricas do Cálculo Diferencial de Funções de Uma Variável

Este é um mapa mental sobre a aplicação geométrica do cálculo diferencial de funções de uma variável. Os conteúdos principais incluem os conceitos de valor extremo e valor máximo, a discriminação de monotonicidade e valor extremo, os conceitos de concavidade e ponto de inflexão, assíntota, máximo. valor ou tomando faixa de valor.

Editado em 2022-07-03 07:58:01

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Aplicações Geométricas do Cálculo Diferencial de Funções de Uma Variável

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Descrição

Conceitos e cálculos de cálculo diferencial de funções de uma variável
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Aplicações geométricas do cálculo integral de uma variável

O conceito de valor extremo e valor máximo

★A premissa para a existência de valor extremo deve ser que ambos os lados estejam definidos.

O ponto extremo não é necessariamente o ponto máximo, e o ponto máximo não é necessariamente o ponto extremo.

y=e elevado à potência de x tem um ponto máximo em [0, ∞], mas nenhum ponto extremo

y = 3x-x elevado à terceira potência

Existem pontos extremos, mas não há pontos máximos

O ponto máximo dentro do intervalo deve ser o ponto extremo

Os pontos dentro do intervalo não são pontos extremos, portanto também não devem ser pontos máximos.

Os pontos de descontinuidade também podem ser pontos extremos

Todos os quatro tipos de pontos de descontinuidade podem ser usados para atingir pontos extremos, desde que os lados esquerdo e direito sejam definidos.

Discriminação entre monotonicidade e valores extremos

Julgamento de monotonicidade

Ponto extremo

Não precisa ser diferenciável no ponto extremo, desde que seja diferenciável na vizinhança deste ponto

Condições necessárias (Fermat)

f(x) é diferenciável em x=x0 e assume um valor extremo no ponto x0

Então deve haver f′(x0)=0

primeira condição suficiente

Primeiro verifique a continuidade antes de podermos encontrá-la. A premissa é que ela é contínua neste ponto e f′(x0) muda de sinal na vizinhança descentralizada de x0.

segunda condição suficiente

f(x) é diferenciável de segunda ordem em x=x0 e f′(x0)=0, f′′(x0)≠0

f′′(x0)>0, f(x0) é um valor mínimo que pode ser comprovado pela definição de limite e propriedade de preservação de sinal local.

Pelo contrário, o valor máximo

terceira condição suficiente

A derivada de ordem m de f(x0)=0, a derivada de ordem n de f(x0)≠0

Quando n é um número par, a derivada de ordem n é >0 e assume o valor mínimo em x=x0

Quando n é um número par, a derivada de ordem n <0 e assume o valor máximo em x=x0

Você também pode usar a definição para identificar

O conceito de concavidade e ponto de inflexão

O valor da função na linha que conecta dois pontos < o valor da função no ponto médio dos dois pontos da curva

convexo

Valor da função na linha que conecta dois pontos > Valor da função no ponto médio dos dois pontos da curva

Côncavo

Definição do ponto de inflexão

O ponto de inflexão só precisa ser contínuo

Não tem nada a ver com ser derivável ou não.

Côncavo e convexo em nenhuma ordem específica

O ponto de inflexão está na curva

Escreva (x0,f(x0))

Os pontos extremos referem-se a pontos no domínio de definição

Valores extremos são valores de função

Distinguir tipo côncavo e convexo

Segunda derivada > 0, côncava

Segunda derivada <0, convexa

Julgamento do ponto de inflexão

condições necessárias

f′′(x0) existe, e o ponto (x0, f(x0)) é o ponto de inflexão na curva

Então f′′(x0)=0

primeira condição suficiente

A premissa é que a segunda derivada muda de sinal se for contínua na vizinhança descentralizada.

segunda condição suficiente

f''(x0)＝0, f'''(x0)≠0, então (x0,f(x0)) é o ponto de inflexão

terceira condição suficiente

A m-ésima derivada de f(x0)=0

Quando n é um número ímpar, a enésima derivada ≠0

(x0,f(x0)) é o ponto de inflexão

Você também pode usar a definição para identificar

Perguntas do exame

5.5 Prova de monotonicidade

A relação entre f' e f

Pense no teorema do valor médio de Lagrange

A segunda derivada > 0 perto de um ponto

Uma curva perto de um ponto é uma curva côncava

Identifique valores extremos de acordo com a definição de valores extremos

Assíntota

assíntota de prumo

sem ponto de definição

Defina os pontos finais do intervalo

função por partes ponto por partes

limx tende a x0 =∞ (ou limx tende a x0-=∞), então x=x0 é uma assíntota vertical

assíntota horizontal

limx tende a ∞=y1, então y=y1 é uma assíntota horizontal

limx tende a -∞=y2, então y=y2 é uma assíntota horizontal

Se = a mesma assíntota, y = y0 é uma assíntota horizontal

assíntota oblíqua

limx tende a ∞, limf(x)/x=a1 (a não pode=0.) lim[f(x)-a1x]=b1

Para y=a1x b1 é uma assíntota oblíqua

semelhante

Perguntas do exame

etapa

1. Encontre pontos e extremidades indefinidos

2. Existe uma assíntota que se aproxima deste ponto?

3. Tende ao infinito, haja um nível

4. Comparado com x, existe algum gradiente oblíquo?

5.8 e Exercício 2.6

O mesmo método de encontrar limites★★

x tende ao infinito, 1/x=0

lne elevado à potência de x × (e elevado à potência de -x 1) = x ln (e elevado à potência de -x 1)

1-(1-1/n) elevado à k-ésima potência~k/n

Valor máximo ou intervalo de valores

Encontre os valores máximo e mínimo (intervalo) da função contínua f(x) no intervalo fechado [a,b]

O ponto onde a primeira derivada é zero

Pontos onde a primeira derivada não existe, pontos inderiváveis

ponto final

Grande lacuna

Ao encontrar a derivada do ponto por partes de uma função por partes, você deve usar a definição de derivada para encontrar a derivada.

Encontre o valor máximo ou intervalo de valores da função contínua f(x) no intervalo aberto (a,b)

ponto estacionário

ponto não derivável

O limite direito do ponto final esquerdo, o limite esquerdo do ponto final direito

O mesmo vale para ± infinito

Se você encontrar problemas práticos para encontrar os valores máximo e mínimo, primeiro estabeleça a função objetivo e depois converta-a em um problema de valor ideal após determinar o intervalo de definição.

Em particular, se o problema real em consideração tiver um valor máximo ou mínimo. A função objetivo tem um ponto extremo único, portanto deve ser o ponto máximo. Encontre o n maior termo sob a enésima raiz.

O ponto extremo dentro do intervalo deve ser o ponto máximo

Faça gráficos de funções

① Determine o domínio da função e verifique se ela possui paridade ou paridade

② Encontre a derivada de primeira ordem e a derivada de segunda ordem

O ponto indefinido de f (x)

Ponto f'(x)=0

Pontos onde f'(x) não existe

Ponto f′′(x)=0

③Faça um formulário

④Determine a assíntota

⑤ Faça gráficos de funções

Definição de derivadas e preservação de sinais locais usando limites

5.1

Vale a pena fazer várias vezes

5.5

4.11

As perguntas do exame podem ser usadas para praticar cálculos

5.3

Valor extremo da função implícita

Deixe a primeira derivada ser igual a 0

Encontre a relação entre y e x

Encontre x

Encontre a segunda derivada neste ponto

Os pontos onde a primeira derivada não existe também podem ser valores extremos

5.2

5.8

A média aritmética é maior que a média geométrica

Promova para cinco vezes

5.9

método do fator comum

Para a primeira derivada que é difícil de calcular = 0

5.10

Exame da capacidade de computação

Faça alterações logarítmicas, adicione e subtraia

Acredite em suas próprias habilidades de computação

Ponto extremo

Primeira derivada=0

A primeira derivada não existe

ponto de inflexão

Segunda derivada=0

A segunda derivada não existe

Não insira a expressão errada no final do ponto de viragem

Intervalos côncavos e convexos são separados por vírgulas

O único valor mínimo é o valor mínimo

Preste atenção na aproximação