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Galerie de cartes mentales Applications géométriques du calcul différentiel des fonctions d'une variable

Applications géométriques du calcul différentiel des fonctions d'une variable

Il s'agit d'une carte mentale sur l'application géométrique du calcul différentiel des fonctions d'une variable. Le contenu principal comprend les concepts de valeur extrême et de valeur maximale, la discrimination de monotonie et de valeur extrême, les concepts de concavité et de point d'inflexion, d'asymptote et de maximum. valeur ou en prenant la plage de valeurs.

Modifié à 2022-07-03 07:58:01

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Concepts et calculs de calcul différentiel des fonctions d'une variable
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Applications géométriques du calcul intégral d'une variable

Le concept de valeur extrême et de valeur maximale

★La prémisse de l’existence d’une valeur extrême doit être que les deux côtés soient définis.

Le point extrême n’est pas nécessairement le point maximum, et le point maximum n’est pas nécessairement le point extrême.

y=e à la puissance x a un point maximum dans [0, ∞], mais pas de point extrême

y=3x-x à la troisième puissance

Il y a des points extrêmes mais pas de maximum de points

Le point maximum à l'intérieur de l'intervalle doit être le point extrême

Les points à l’intérieur de l’intervalle ne sont pas des points extrêmes, ils ne doivent donc pas non plus correspondre au nombre maximum de points.

Les points de discontinuité peuvent aussi être des points extrêmes

Les quatre types de points de discontinuité peuvent être utilisés pour atteindre des points extrêmes, à condition que les côtés gauche et droit soient définis.

Discrimination entre monotonie et valeurs extrêmes

Jugement de monotonie

Point extrême

Il n'est pas nécessaire qu'il soit dérivable au point extrême, tant qu'il est dérivable au voisinage de ce point.

Conditions nécessaires (Fermat)

f(x) est dérivable en x=x0 et prend une valeur extrême au point x0

Alors il doit y avoir f′(x0)=0

première condition suffisante

Vérifiez d’abord la continuité avant de pouvoir la trouver. Le principe est qu’elle est continue en ce point et f′(x0) change de signe dans le voisinage décentré de x0.

deuxième condition suffisante

f(x) est différentiable au second ordre en x=x0 et f′(x0)=0, f′′(x0)≠0

f′′(x0)>0, f(x0) est une valeur minimale qui peut être prouvée par la définition de limite et la propriété de préservation du signe local.

Au contraire, la valeur maximale

troisième condition suffisante

La dérivée d'ordre m de f(x0)=0, la dérivée d'ordre n de f(x0)≠0

Lorsque n est un nombre pair, la dérivée d'ordre n est >0 et prend la valeur minimale à x=x0

Lorsque n est un nombre pair, la dérivée d'ordre n <0 et prend la valeur maximale à x=x0

Vous pouvez également utiliser la définition pour identifier

Le concept de concavité et de point d'inflexion

La valeur de la fonction sur la ligne reliant deux points < la valeur de la fonction au milieu des deux points de la courbe

convexe

Valeur de fonction sur la ligne reliant deux points > Valeur de fonction au milieu des deux points de la courbe

Concave

Définition du point d'inflexion

Le point d'inflexion doit seulement être continu

Cela n'a rien à voir avec le fait que ce soit dérivable ou non.

Concave et convexe sans ordre particulier

Le point d'inflexion est sur la courbe

Écrire (x0,f(x0))

Les points extrêmes font référence à des points sur le domaine de définition

Les valeurs extrêmes sont des valeurs de fonction

Distinguer les types concaves et convexes

Dérivée seconde > 0, concave

Dérivée seconde <0, convexe

Jugement du point d’inflexion

conditions nécessaires

f′′(x0) existe, et le point (x0, f(x0)) est le point d'inflexion sur la courbe

Alors f′′(x0)=0

première condition suffisante

Le principe est que la dérivée seconde change de signe si elle est continue dans le voisinage décentré.

deuxième condition suffisante

f''(x0)＝0, f'''(x0)≠0, alors (x0,f(x0)) est le point d'inflexion

troisième condition suffisante

La dérivée mième de f(x0)=0

Lorsque n est un nombre impair, la nième dérivée ≠0

(x0,f(x0)) est le point d'inflexion

Vous pouvez également utiliser la définition pour identifier

Questions d'examen

5.5 Preuve de monotonie

La relation entre f' et f

Pensez au théorème de la valeur moyenne de Lagrange

La dérivée seconde > 0 près d'un point

Une courbe proche d'un point est une courbe concave

Identifier les valeurs extrêmes selon la définition des valeurs extrêmes

Asymptote

asymptote à plomb

pas de point de définition

Définir les extrémités de l'intervalle

fonction par morceaux point par morceaux

limx tend vers x0 =∞ (ou limx tend vers x0-=∞), alors x=x0 est une asymptote verticale

asymptote horizontale

limx tend vers ∞=y1, alors y=y1 est une asymptote horizontale

limx tend vers -∞=y2, alors y=y2 est une asymptote horizontale

Si = la même asymptote, y = y0 est une asymptote horizontale

asymptote oblique

limx tend vers ∞, limf(x)/x=a1 (a ne peut pas=0.) lim[f(x)-a1x]=b1

Pour y=a1x b1 est une asymptote de pente

similaire

Questions d'examen

étape

1. Rechercher des points et des points finaux non définis

2. Existe-t-il une asymptote à plomb approchant de ce point ?

3. Tend vers l'infini, s'il existe un niveau

4. Par rapport à x, existe-t-il un gradient oblique ?

5.8 et exercice 2.6

La même méthode pour trouver des limites★★

x tend vers l'infini, 1/x=0

lne à la puissance x × (e à la puissance -x 1) = x ln (e à la puissance -x 1)

1-(1-1/n) à la kème puissance~k/n

Valeur maximale ou plage de valeurs

Trouver les valeurs maximales et minimales (plage) de la fonction continue f(x) sur l'intervalle fermé [a,b]

Le point où la dérivée première est nulle

Points où la dérivée première n'existe pas, points indérivables

point final

Grosse faille

Lorsque vous recherchez la dérivée du point par morceaux d'une fonction par morceaux, vous devez utiliser la définition de dérivée pour trouver la dérivée.

Trouver la valeur maximale ou la plage de valeurs de la fonction continue f(x) dans l'intervalle ouvert (a,b)

point stationnaire

point non dérivable

La limite droite du point final gauche, la limite gauche du point final droit

Il en va de même pour ±infini

Si vous rencontrez des problèmes pratiques pour trouver les valeurs maximales et minimales, établissez d'abord la fonction objectif, puis convertissez-la en un problème de valeur optimale après avoir déterminé l'intervalle de définition.

En particulier, si le problème réel considéré a une valeur maximale ou minimale. La fonction objectif a un point extrême unique, il doit donc s'agir du point maximum. Trouvez le n plus grand terme sous la nième racine.

Le point extrême à l'intérieur de l'intervalle doit être le point maximum

Créer des graphiques de fonctions

① Déterminez le domaine de la fonction et vérifiez si elle a la parité ou l'égalité

② Trouver la dérivée du premier ordre et la dérivée du second ordre

Le point indéfini de f(x)

Point f'(x)=0

Points où f'(x) n'existe pas

Point f′′(x)=0

③Créer un formulaire

④Déterminer l'asymptote

⑤ Créer des graphiques de fonctions

Définition des dérivés et préservation des signes locaux à l'aide de limites

5.1

Ça vaut le coup de le faire plusieurs fois

5.5

4.11

Les questions d'examen peuvent être utilisées pour pratiquer les calculs

5.3

Valeur extrême de la fonction implicite

Soit la dérivée première égale 0

Trouver la relation entre y et x

Trouver x

Trouvez la dérivée seconde à ce stade

Les points où la dérivée première n'existe pas peuvent également être des valeurs extrêmes

5.2

5.8

La moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne géométrique

Promouvoir cinq fois

5.9

méthode des facteurs communs

Pour la dérivée première difficile à calculer = 0

5.10

Examen de la capacité informatique

Prendre des changements logarithmiques, ajouter et soustraire

Croyez en vos propres compétences informatiques

Point extrême

Dérivée première = 0

La dérivée première n'existe pas

point d'inflexion

Dérivée seconde = 0

La dérivée seconde n'existe pas

N'entrez pas la mauvaise expression à la fin du tournant

Les intervalles concaves et convexes sont séparés par des virgules

La seule valeur minimale est la valeur minimale

Attention au rapprochement