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微積分

関数と極限、導関数と微分、微分平均値定理と導関数の応用、不定積分など、高度な数学の微積分に関するマインドマップ。

2023-12-14 23:19:54 に編集されました

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微積分

第1章機能と限界

1. マッピングと機能

関数定義

関数の種類

基本的な初等関数

逆関数

逆関数が成立する条件は何でしょうか?

逆三角関数

ドメイン

独立変数と従属変数の意味

画像

ガイダンスをお探しですか?

パワートライアングルを指します...

明示的な関数

暗黙的な関数

パラメトリック方程式

極方程式

丸め関数

最大最小関数

記号関数

複合関数

区分関数

関数のプロパティ

単調性

パリティ

境界性

定義には必ず境界があるのでしょうか?

定義 1

定義 2

相互の等価性をどのように導き出すか?

2. 数列の限界

数列の極限の定義 (収束)

モノトーン有界シーケンスの収束基準モノトーン有界シーケンスには制限が必要です

増加

減らす

重要な制限

プロモーション

限界を求める場合によく構築されるモデルです。

収束シーケンスのいくつかの特性

つまむ原理

見落としがちな限界を見つける良い方法です。

有界量に無限小を掛けたもの?

シーケンスの収束と奇数および偶数のサブシーケンスの収束

究極の独自性

収束シーケンスの有界性

四則演算

利用条件！

機能の3つの限界

定義 (シーケンスの制限と同様)

限界が存在するための必要十分条件

X0 における限界の存在は何と関係があるのでしょうか?

限界を見つける方法

アイテム分割方法

合理化する

重要な極限構造を活用する

分数指数乗形式: 高次項のバルクを取得する

ロビタットの法則

テイラー式

つまむ原理

和と差の積和と差の積

無限小に相当

シーケンス制限

思考：無限を有限に変える

ズーム

シュトルツの定理

定積分の重要な公式

その他の変換テクニック

機能制限とシーケンス制限の関係

包含関係

4. 微小、微小、微小の比較

無限小の定義

無限小の性質

無限小項の和差積は依然として無限小です

有界量に無限小を掛けたもの?

微小比較

高度な

低レベル

同じレベル

等価

等価無限小の極限を求める

重要な公式

利用条件

場合によっては、右に行くことと 0 に行くことの違いを考慮する必要があります。

置換された部分は端数全体の係数となります

関連する定理

高レベル低レベル～低レベル

同一次数定理

加算および減算演算後に係数をゼロにすることはできません

本編のコンセプト

5. 機能の継続性

基本知識

定義: x0 での関数の極限は、x0 での関数の値と等しい

左右連続

ある時点での継続のための必要十分条件は何でしょうか?

幾何学的な意味

基本的な初等関数はその領域内で連続的です

連続関数の加算、減算、乗算、除算、および複合は依然として連続的です。

関数ブレークポイント

最初のタイプの不連続点は、左右の境界の両方に存在します。

行くことができる

ジャンプ

2 番目のタイプの不連続点は、左右の限界の少なくとも一方が存在しないことを意味します。

特殊: 2 番目のタイプの無限不連続性

閉区間における連続関数の性質

オープンインターバルで連続?閉じた間隔で連続?

最大値定理

零点定理

連続関数の中間値定理

第 2 章デリバティブと微分

1. デリバティブの概念

意味

導関数定義を使用して導関数を検索する

左右の導関数

分類議論！

デリバティブが存在するための必要十分条件は何ですか?

幾何学的な意味

正接

普通

開区間で微分可能、閉区間で微分可能

微分可能かつ連続的な関係

象徴的な表現

2. 関数の四則導出規則

3. 複合関数の導関数規則

通常の複合関数

指数関数的

対数導出法：左右の対数を同時にとり、指数形式を積に変換する

y を導出するときの独立変数は x であることに注意してください。

乗算と除算の形式に対数導出法を使用すると、乗算と除算を加算と減算に変換できます。

4. 暗黙的な関数の導出

等号の両側で同時に x の導関数を取得し、次に y' を等号の片側に移動します

5. 逆関数の導関数

一階導関数

二次導関数

パラメトリック方程式の 6 つの導関数

派生オブジェクトを変更する

極座標方程式の導関数

パラメトリック方程式のパラメーターに相当するものは次のとおりです。

7つのディファレンシャル

差動の定義

微分可能性と導出可能性は相互に十分かつ必要な条件である

差分の計算

差分の求め方

微分を使用して近似値を求める

8. 高次導関数

いくつかの式

第 3 章微分平均値定理と微分の応用

1 微分平均値定理

フェルマーの補題: 連続微分可能な点の導関数はゼロです。

ロールの定理:

ラグランジュの平均値定理:

コーシーの平均値定理:

推論：

2. ロピダの法則

利用条件

分子と分母の制限が存在します

離脱の領域は導かれることができます

重要な制限

3. 単調性

4つの極値

極点の位置

導出される極値点（静止点）

導出不可能な点

極値点を決定する方法

最初の十分条件

左右のドメインの単調性

2番目の十分条件

正および負の二次導関数

二次導関数が 0 になる状況に注意してください。一人で話し合う

最適な価値ポイントを決定する方法

極値と終点を考慮する

5 テイラー式

x=0 におけるいくつかの一般的な導関数の展開

限界を求めていますか？どの番号に拡張するかを決定する

6つの機能の凹凸

凹凸の幾何学的な意味

凹凸の判定

関数の変曲点

変曲点の定義: (Xo,f(Xo))

Xoで継続

左右の凹凸が逆になっている

転換点の性質

二次導関数が変曲点に存在する場合、二次導関数は 0 になります。

二次導関数は存在しない可能性があります

7. 漸近線を見つける

垂直漸近線

Xo は関数の不連続点です

水平漸近線

斜めの漸近線

第4章不定積分

コンセプト

不定積分の求めと導出は相互的なプロセスです

f(x) のすべての原始関数

C は任意の定数を表します

2. 不定積分の計算

よく使用される 24 個のポイントテーブル

項目化（分解）方法

三角関数

第一種の置換法（微分法）

分母が似た形の場合は、適切に変形して合わせることができます。

2 番目のタイプの置換方法 (2 つの置換)

部品による統合

3. 有理関数の不定積分

項を分割するか剰余で割ることにより、仮分数を適切な分数に変換します

固有分数はさらに次の項に分割されます。

第5章定積分

ある積分の定義

派生: 極端な思考

限界を見つけるための重要な公式

注: 使用するには 3 つのステップがあります

定積分の幾何学的意味

幾何学模様の面積

ポジティブとネガティブに注目してください！

2. 定積分の性質

線形

相加性

逆性

定積分は積分変数とは何の関係もありません

不平等な関係

不等号の両辺は同時に定積分になる可能性があります

注: 等号の両辺は同時に無限積分できますが、不等号の両辺は同時に無限積分できません。

不定積分と区間内の最大値と最小値の関係

積分平均値定理

3 ニュートン・ライプニッツの公式

可変限界積分

可変上限

可変下限値

ライプニッツの定理

ニュートン・ライプニッツの公式

4. 定積分の計算

一般的な方法

まず不定積分を求め、次に減算演算を実行します

定積分代入法

対称間隔関数

周期的な

定積分の部分法による積分

サインとコサインに関する定積分の公式