マインドマップギャラリー 常微分方程式
これは、基本概念、可分変数方程式、同次方程式、一次線形常微分方程式、ベルヌーイ方程式、約分可能な二階微分方程式、二次線形微分方程式を含む常微分方程式に関するマインド マップです。
2022-02-01 18:07:51 に編集されました常微分方程式
基本的な考え方
微分方程式
独立変数、従属変数、およびそれらの導関数または微分を関連付ける方程式
常微分方程式 (ODE)
問題の未知の関数は 1 つの変数の関数です
偏微分方程式
常微分方程式形式
常微分方程式の次数
常微分方程式の次数は、方程式内の最も高い導関数 (微分) の次数によって決まります。
常微分方程式の解法
常微分方程式をゼロにする y の公式
常微分方程式の一般解
方程式の解には、互いに関連のない任意の定数が含まれており、その数は方程式の次数に等しい
常微分方程式の特別な解
定数の特別な値は、通常、初期値の条件から導出されます。
初期値条件
n 次の常微分方程式には初期値条件が含まれています
実際の意味は一般に物事の初期状態です
一次常微分方程式の初期値条件は、ある点における元の関数の関数値の値です。
初期値の問題
初期値条件を満たす常微分方程式の解の値を求めます。
可分変数方程式
形状
特徴
一次導関数は解けました
右端はそれぞれ x と y に関する関数の乗算です。
解決
1. タイプを特定する
2. 変数を分離する
3. 等号の両辺を統合し、適切な定数を追加します
4. 単純化して一般解を得る
5. 初期値条件の有無を判定する
はい、特別な解決策を得るためにそれを置き換えます
なし。方程式の解でもあるこの方程式の根を調べてください。
次に、完全なソリューションを取得します
同次方程式
形状
解決策(変数置換)
1. 注文
2. これを方程式に取り入れて y を単純化し、消去します。
3. 分離可能な変数の常微分方程式が得られます。
4. 分離可能な変数をもつ常微分方程式の解法に従って解く
一次線形常微分方程式
形状
不均一項
のとき、一次非一次線形常微分方程式と呼ばれます。
(1)として記録
のとき、一次均質線形常微分方程式と呼ばれます。
(2)として記録
解決
まず (2) を解き、任意の定数を含む可分変数方程式を解くことでその一般解を取得します。
絶え間ない変化
c が u になり、u は x の関数になります
変更後の「全体説明」を(1)に置き換えます。
互いにキャンセルできるアイテムは 2 つ必要です
まとめ
最初のレベルを解く 線形常微分方程式の一般解
定変化法
その後の問題解決に公式を直接適用することもできます。
数式メソッドを直接適用する
ベルヌーイ方程式
形状
α=0、一次線形常微分方程式
α=1、分離可能な変数タイプです
解決策(変数置換)
1. タイプを特定する
2. 両辺を同時にyのα乗で割ります。
3. y の (α-1) 乗を z と等しくします。
4. x に関する z の一次線形常微分方程式に変換します。
5. 1次線形常微分方程式の解法に従って解く
一般的には数式を用いた方法が用いられます。
既約可能な 2 階微分方程式
直接微分
形状
削減方法
等号の両側で積分を直接計算します。定数を加算することを忘れないでください。ここでの積分符号は元の関数を表すため、一般解を得るには 2 つの定数があることを忘れないでください。
y を表示せず、dy タイプを削除します
形状
解決
1. タイプを特定する
2. 要素を変更すると、1 次微分の要素を変更するため、dy が削除されます。要素を変更すると、次数が減少します。
3. タイプの解決策を特定する
最後に、人民元を差額に戻すことを忘れないでください。
xを表示せず、dxタイプを削除します
形状
解決
1. タイプを特定する
2.人民元を交換してdxを解消します。人民元を交換するとレベルが下がります。
3. タイプの解決策を特定する
2階線形微分方程式
形状
f(x) は非同次項です
2階線形微分演算子
L[cy]=cL[y]
L[y x]=L[y] L[x]
重ね合わせの原理
y1=y1(x)、y2=y2(x) が両方とも L[y]=0 の解であり、c1 と c2 が定数であると仮定すると、c1y1 c2y2 も L[y]=0 の解になります。
の場合、2 つの関数は線形関係にあり、c1 と c2 は互いに関係します。
の場合、2 つの関数は線形独立であり、c1 と c2 は互いに独立しており、c1y1 c2y2 は L[y]=0 の一般解になります。
二次等次線形微分方程式の一般解に対する構造定理
y1 と y2 が L[y]=0 の 2 つの線形に独立した解であると仮定します。c1 と c2 は任意の定数です。L[y] の一般解は y=c1y1 c2y2 となります。
2次非一次線形微分方程式の一般解に対する構造定理
y`=y`(x) が L[x]=f(x) の特殊解であり、Y=c1y1 c2y2 が L[y]=0 の一般解であるとします。 すると、L[y]=f(x) の一般解は y` となります。 Y、c1、c1 は任意の定数です
一般化された重ね合わせ原理
y1 と y2 がそれぞれ L[x]=f1(x) と L[x]=f2(x) の特殊な解であると仮定すると、y1 y2 は L[x]=f1(x) f2(x) の解になります。 。