O conjunto de inteiros positivos é denotado como N

O conjunto de inteiros é denotado Z

O conjunto de números racionais é denotado Q

O conjunto dos números reais é denotado por R

O conjunto de todos os números complexos é denotado C

mapeamento

mapeamento composto

mapeamento inverso

resumo

1,x>o

0,x=0

-1,x<0

1,x∈Q

0,x∈R-Q

Suponha que o domínio da função y=f(x) seja D. Se existe um número positivo M, de modo que para qualquer ponto x em um certo subintervalo de D, sempre existe |f(x)|＜M ( isto é, -M＜f( x)<M), então a função f(x) é considerada uma função limitada em D, caso contrário, é uma função ilimitada.

Se uma função é limitada ou ilimitada deve indicar o intervalo considerado, porque a mesma função pode ser limitada em um intervalo, mas ilimitada em outro intervalo.

Somente quando há um limite superior e um limite inferior ele pode ser chamado de limitado (o mundo não é único)

Se f(-x)=f(x) for satisfeito, é uma função par

Se f(-x)=-f(x) for satisfeito, é uma função ímpar

Julgar a paridade após as quatro operações aritméticas da função de paridade pode basear-se nas quatro operações aritméticas de números negativos.

A função de Dirichlet não tem período mínimo positivo

A essência de uma função composta é decompor uma função em várias funções mais simples

Preste atenção ao domínio da função simples decomposta e da função composta original

Suponha que A e B sejam conjuntos de números reais A aplicação inversa f -1→ da aplicação f : A → B é chamada de função inversa de y = f (x), ou seja: se para cada y∈B, existe a. único x∈A, seja y = f (x), então x também é uma função de y, denotado como f -1, ou seja, x = f -1 ( y )

x = f -1( y ) é a função inversa da função y = f ( x ) é a função direta da função inversa x = f-1 ( y )

A função inversa é consistente com a monotonicidade da função direta (aumento e diminuição estritamente monotônicos)

Nem todas as funções têm funções inversas

Deve haver uma função inversa para mapeamento injetivo e um para um

Geralmente use substituição ao resolver problemas

Quatro etapas para encontrar limites pelo método de definição

Existe um limite - convergência

Sem limite - divergência

Se a sequência converge, então seu limite é único

A convergência deve ser limitada (toda limitada)

Limitada não significa necessariamente convergência

Se lim(n→infinito)=a, a>0 (ou a<0), então N>0 existe quando n>N, Xn>0 (ou Xn<0).

Pode ser geralmente entendido que se o valor limite for maior que 0, então Xn após N serão todos maiores que 0.

Se a sequência convergir, então suas subsequências deverão convergir.

Se ambas as subsequências pares e ímpares convergem, então a sequência converge

Uma sequência divergente também pode ter subsequências convergentes

Pontos de conhecimento complementares

Se existir um limite, então seu limite deve ser único

Se o limite existir, então em uma certa vizinhança descentralizada de X0, a função é limitada

Se o limite existe e A>0 (ou A<0), então existe uma certa vizinhança descentralizada de X0, e f(x)>0 (ou A<0) existe nesta vizinhança descentralizada.

Também conhecido como teorema da redução e teorema de Heine, é comumente entendido que encontrar o limite de uma função pode ser transformado em encontrar o limite de uma sequência e vice-versa (aqui a sequência exponencial está incluída na função)

Ao escrever quantidades infinitesimais, preste atenção à tendência de mudança de suas variáveis ​​independentes.

Infinitamente pequena é uma variável com 0 como limite. É uma função, não um número.

0 é a única constante que pode ser usada como uma quantidade infinitesimal

A definição de infinitesimais também se aplica à sequência de números

A condição necessária e suficiente para a função f(x) tomar A como limite é: f(x) pode ser expressa como a soma de A e um α infinitesimal

Use quatro operações aritméticas

método de substituição direta

racionalize o numerador ou denominador

Encontre os tempos mais altos

Utilize duas fórmulas de limite importantes

Equivalente a infinitesimal

aproximação

pontos comuns

Se limα(x)/β(x)=0, então α(x) é chamado de infinitesimal de ordem superior de β(x), registrado como α(x)=o(β(x))

Se limα(x)/β(x)=infinito, então α(x) é chamado de infinitesimal de ordem inferior de β(x) e é registrado como β(x)=o(α(x))

Se limα(x)/β(x)=A, então α(x) é considerado infinitesimal da mesma ordem que β(x), registrado como β(x)=O(α(x)) [é equivalente quando é 1 infinitesimal

Se em um certo processo limite, α(x) é a quantidade infinitesimal de mesma ordem de βk-ésima potência (x) (k>0), então α(x) é dito ser a quantidade infinitesimal de ordem k de β( x).

O valor limite neste ponto é igual ao valor da sua função

O limite esquerdo e o limite direito neste ponto são iguais

Os pontos de descontinuidade podem ser removidos (o valor limite não é igual ao valor da função)

Ponto de descontinuidade do salto (os limites esquerdo e direito não são iguais)

Mesmo ponto

sem limites esquerdo ou direito

Suponha que as funções f(x) e g(x) sejam ambas contínuas em x0

A função direta é contínua e a função inversa também é contínua.

A função elementar básica é contínua, e a função composta formada por sua composição também é contínua.

As funções elementares básicas de seus componentes são todas contínuas, portanto, ao encontrar o limite de uma função elementar em um ponto dentro de seu intervalo de definição, você só precisa do valor correspondente da função.

Se uma função é contínua em um intervalo fechado, ela obtém os valores máximo e mínimo no intervalo fechado

Uma função contínua em um intervalo fechado deve ser uma função limitada no intervalo

É contínuo no intervalo fechado [a,b], e f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então há pelo menos um ponto ξ(a<ξ<b) no intervalo aberto (a,b ), de modo que f(ξ)=0

Suponha que a função f(x) seja contínua no intervalo fechado [a,b], então em [a,b] ela pode assumir qualquer valor entre seu valor máximo M e seu valor mínimo m