Halbbreiter Ersatz

Geometrische Bedeutung

Äquivalente Vertretung

Sei {f}(x) auf dem Intervall I differenzierbar

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

Sei {f} (x) auf dem Intervall \left ( a,b \right) differenzierbar

Für alle x \in \left ( a,b \right ) gibt es {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f}'(x) e 0 auf jedem Selbstintervall von \left ( a,b \right )

Dieses Urteil gilt auch, wenn die Funktion auf der abgeschlossenen Seite des Intervalls einseitig und stetig ist.

\frac{0}{0} Typbeschränkung

Infinitivgrenze vom Typ \frac{a}{\infin}

Gesetz Lópidas Gesetz#Nachahmung

Ableitung definieren

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

Sei {f} im Punkt x_0 stetig und in einer bestimmten Umgebung U ^ {\circ} (x_0; \delta) differenzierbar.

(i) Wenn {f} '(x) \le 0 wenn x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f wenn x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, dann erhält {f} den Minimalwert bei x_0

(ii) Wenn wenn x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, wenn x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, dann erhält {f} den Maximalwert bei x_0

Angenommen, f ist in einer bestimmten Umgebung U (x_0; \delta) von x_0 erster Ordnung differenzierbar und bei x=x_0 zweiter Ordnung differenzierbar, und {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

Wenn {f}''(x_0) < 0, dann erhält {f} den Maximalwert bei x_0

Wenn {f}''(x_0) > 0, dann erhält {f} den Minimalwert bei x_0

Angenommen, {f} existiert in einer bestimmten Umgebung von x_0 mit Ableitungen bis zur Ordnung n-1, ist bei x_0 ableitbar in der Ordnung n und {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

Wenn n eine gerade Zahl ist, nimmt {f} den Extremwert bei x_0 an

Wenn n eine ungerade Zahl ist, nimmt {f} bei x_0 keinen Extremwert an

Die drei hinreichenden Bedingungen gelten nicht zur Bestimmung aller Extrempunkte (auch wenn sie differenzierbar sind)

Der Maximalpunkt darf keine linke (rechte) Nachbarschaft haben, die ihn monoton macht.

Lemma f ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die konvexe Funktion auf I

Satz Angenommen, f ist eine differenzierbare Funktion im Intervall I, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent zueinander

Die notwendige und hinreichende Bedingung für den Minimalwert einer differenzierbaren konvexen Funktion ist, dass die Ableitung Null ist

Die konvexe Funktion im offenen Intervall nimmt nicht den Maximalwert an

Formel Jensen (Jensen) Ungleichung

Eine konvexe Funktion auf dem offenen Intervall I hat an jedem Punkt auf I linke und rechte Ableitungen

{f} ist eine konvexe Funktion auf dem offenen Intervall I, dann ist {f} auf jedes geschlossene Teilintervall \left [ a, b \right ] von I beschränkt

Konvertieren Sie rationale Zahlen zum Vergleich in unendliche Dezimalzahlen

Größe

∞

-∞

Das Summen- und Differenzprodukt zweier infinitesimaler Größen ist immer noch eine infinitesimale Größe

Das Produkt einer infinitesimalen Größe und einer begrenzten Größe ist eine infinitesimale Größe

Hohes Niveau/niedriges Niveau

Gleiches Niveau

Gleichwertigkeit

Diskontinuitäten erster Art

Diskontinuitäten vom Typ II

Beschränktheitssatz

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

Definition ist nicht ableitbar

Formel endliche Inkrementformel

Satz ist differenzierbar\Rightarrow stetig (aber nicht umgekehrt)

Bedingungen für die Existenz des Satzes {f}'(x_0)

Stabilen Punkt definieren

Satz von Fermat

Folgerung: Wenn die Funktion {f} auf dem Intervall I differenzierbar ist und {f}' (x) = 0, x \in I, dann ist {f} eine konstante Funktion auf I

Folgerung: Wenn die Funktionen {f} und {g} beide auf dem Intervall I differenzierbar sind und {f} ' (x) = {g} ' (x), x \in I, dann ist auf dem Intervall I {f} ( x) ={g} (x) c (c ist eine Konstante)

Korollarsatz, abgeleiteter Grenzwertsatz

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

Formel Leibniz-Formel

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

wobei {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

Invarianz von Differentialformen erster Ordnung

um das Lied direkt zu ersetzen

Fehlergrenze des Messwertes x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y|. = |{f} (x) -{f} (x_0)|

Relative Fehlergrenze\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|