Mindmap-Galerie mathematische Analyse
Der Hauptforschungsinhalt der mathematischen Analyse sind Funktionen, Grenzen, Analysis, Reihen usw. Unter ihnen ist Analysis die Sammelbezeichnung für Differentialrechnung und Integralrechnung. Die theoretische Grundlage der Analysis ist die Grenzwerttheorie, und die theoretische Grundlage der Grenzwerttheorie ist die Theorie der reellen Zahlen.
Bearbeitet um 2024-11-03 21:00:54Diese Vorlage zeigt die Struktur und Funktion des Fortpflanzungssystems in Form einer Mind Map. Es führt die verschiedenen Komponenten der internen und externen Genitalien ein und sortiert das Wissen eindeutig aus, um Ihnen dabei zu helfen, mit den wichtigsten Wissenspunkten vertraut zu werden.
Dies ist eine Mind Map über die Interpretation und Zusammenfassung des Beziehungsfeldes E-Book, des Hauptinhalts: Überblick über die Essenzinterpretation und Übersicht über das Feld E-Book. "Relationship Field" bezieht sich auf das komplexe zwischenmenschliche Netzwerk, in dem ein Individuum andere durch spezifische Verhaltensweisen und Einstellungen beeinflusst.
Dies ist eine Mind Map über Buchhaltungsbücher und Buchhaltungsunterlagen.
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mathematische Analyse
andere
Definieren Sie Maximal-/Minimalwerte
Theorem Pinch-Theorem
Beweis des Fundamentalsatzes der Vollständigkeit reeller Zahlen
Theorie der reellen Zahlen
abnormales Integral
Anwendungen bestimmter Integrale
bestimmtes Integral
Acht unbestimmte Integrale
Konzept der unbestimmten Integralformel und der grundlegenden Integralformel
Originalfunktion definieren
Satz: Wenn die Funktion im Intervall stetig ist, dann existiert die ursprüngliche Funktion im Intervall
Satz Angenommen, {F}(x) ist eine Grundfunktion von {f}(x) auf dem Intervall I, dann können alle Grundfunktionen von F(x) auf dem Intervall I ausgedrückt werden als F(x) {\color{red } C ,C \in R}
Definieren Sie ein unbestimmtes Integral
Punktezahl
Integrand
Integrandenausdruck
Menge
Grundlegende Punktetabelle
Integration durch Substitution und Integration durch Teile
Theorem-Substitutionsmethode
1
2
Teilweise Integration
Rationale Funktionen können auf unbestimmte Integrale rationaler Funktionen reduziert werden
Unbestimmte Integrale rationaler Funktionen
rationale Funktion
Definition rationale Funktion
Definieren Sie echten/unechten Bruch
Definition dreieckiger rationaler Ausdruck
Halbbreiter Ersatz
Unbestimmte Integrale einiger einfacher irrationaler Ausdrücke
6. Differentialmittelwertsatz und seine Anwendungen
Satz von Lagrange und Monotonie von Funktionen
Satz von Rolle und Satz von Lagrange
Satz Rolles Satz
Satz Mittelwertsatz von Lagrange
Geometrische Bedeutung
Äquivalente Vertretung
{f} (b) -{f} (a) = {f} ' ( a \theta (b - a)) (b- a) , 0< \theta <1
{f} (a -h) -{f} (a) = {f} ' (a \theta h) h , 0< \theta <1
{f} (b) - {f} (a)= {f} ' ( \xi) (b - a) , a < \xi <b
monotone Funktion
Beurteilung der Monotonie des Satzes differenzierbarer Funktionen
Sei {f}(x) auf dem Intervall I differenzierbar
{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
Beurteilung der strengen Monotonie des Satzes differenzierbarer Funktionen
Sei {f} (x) auf dem Intervall \left ( a,b \right) differenzierbar
Für alle x \in \left ( a,b \right ) gibt es {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
{f}'(x) e 0 auf jedem Selbstintervall von \left ( a,b \right )
Dieses Urteil gilt auch, wenn die Funktion auf der abgeschlossenen Seite des Intervalls einseitig und stetig ist.
Folgerung Nehmen Sie an, dass die Funktion {f} auf dem Intervall I differenzierbar ist. Wenn {f}' (x) >0 ({f}' (x) < 0) ist, dann nimmt {f} auf I streng zu (ab).
Satz Darboux-Satz (Zwischenwertsatz abgeleiteter Funktionen)
Folgerung Nehmen wir an, dass die Funktion {f} (x) {f}' (x) e 0 auf dem Intervall I erfüllt, dann ist {f} (x) auf dem Intervall I streng monoton
Cauchys Mittelwertsatz und Infinitivgrenzen
Cauchys Mittelwertsatz
Geometrische Bedeutung
\begin{vmatrix} {f} (a) & {f} (b) & {f} '( \xi) \\ {g} (a) & {g} (b) & {g} '( \xi ) \\ {h}(a) & {h} (b) & {h} '(\xi) \end{vmatrix} =0 wenn xxxx
Infinitivgrenze
Infinitiv definieren
Gesetz Lópidas Gesetz#Nachahmung
\frac{0}{0} Typbeschränkung
Infinitivgrenze vom Typ \frac{a}{\infin}
Taylor-Formel
Formel Taylor-Polynom mit Peano-Rest
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i o (x^n)
beweisen
Gesetz Lópidas Gesetz#Nachahmung
Ableitung definieren
Formel Maclaurin-Formel
{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i
Taylor-Formel mit Rest vom Lagrange-Typ
Satz Taylors Satz
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}
Anwendungen in Näherungsberechnungen
Funktionsextreme und maximale (kleine) Werte
Extremes Werturteil
Satz von Fermat
Die erste hinreichende Bedingung für den Extremwert des Theorems
Sei {f} im Punkt x_0 stetig und in einer bestimmten Umgebung U ^ {\circ} (x_0; \delta) differenzierbar.
(i) Wenn {f} '(x) \le 0 wenn x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f wenn x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, dann erhält {f} den Minimalwert bei x_0
(ii) Wenn wenn x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, wenn x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, dann erhält {f} den Maximalwert bei x_0
Die zweite hinreichende Bedingung für den Extremwert des Satzes
Angenommen, f ist in einer bestimmten Umgebung U (x_0; \delta) von x_0 erster Ordnung differenzierbar und bei x=x_0 zweiter Ordnung differenzierbar, und {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0
Wenn {f}''(x_0) < 0, dann erhält {f} den Maximalwert bei x_0
Wenn {f}''(x_0) > 0, dann erhält {f} den Minimalwert bei x_0
Die dritte hinreichende Bedingung für den Extremwert des Theorems
Angenommen, {f} existiert in einer bestimmten Umgebung von x_0 mit Ableitungen bis zur Ordnung n-1, ist bei x_0 ableitbar in der Ordnung n und {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0
Wenn n eine gerade Zahl ist, nimmt {f} den Extremwert bei x_0 an
Erhalten Sie den Maximalwert, wenn {f}^{(n)}(x_0)<0
Ermitteln Sie den Mindestwert, wenn {f}^{(n)}(x_0)> 0 ist
Wenn n eine ungerade Zahl ist, nimmt {f} bei x_0 keinen Extremwert an
⚠️Achtung
Die drei hinreichenden Bedingungen gelten nicht zur Bestimmung aller Extrempunkte (auch wenn sie differenzierbar sind)
{f}(x)= \begin{cases} e ^{- \frac{1}{x^2}}& \text{if} x e 0 \\ 0 & \text{if} x=0 \ end{cases}
Der Maximalpunkt darf keine linke (rechte) Nachbarschaft haben, die ihn monoton macht.
{f}(x)=2-x^2(2 \sin \frac{1}{x})
Maximal- und Minimalwerte
Beschränktheitssatz
stabiler Punkt
nicht ableitbarer Punkt
Intervallendpunkt
Der konvexe Punkt und Wendepunkt der Funktion
konvexe Funktion
Konvexe Funktion definieren
Definieren Sie streng konvexe Funktionen
Lemma f ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die konvexe Funktion auf I
Satz Angenommen, f ist eine differenzierbare Funktion im Intervall I, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent zueinander
f ist eine konvexe Funktion auf I
{f} 'ist eine steigende Funktion auf I
Satz Angenommen, f ist eine differenzierbare Funktion zweiter Ordnung auf dem Intervall I, dann ist die notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass f eine konvexe Funktion auf I ist, {f} ''(x) \ge 0, x \in I
Für zwei beliebige Punkte x_1, x_2 auf I gilt {f}(x_2) \ge {f}(x_1) {f} '(x_1) (x_2-x_1)
Schlussfolgerung
Die notwendige und hinreichende Bedingung für den Minimalwert einer differenzierbaren konvexen Funktion ist, dass die Ableitung Null ist
Wenn die Funktion {f} eine ableitbare konvexe Zahl ist, die auf dem offenen Intervall \left ( a, b \right ) definiert ist
{f} '(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \left ( a,b \right ) ist der Minimalpunkt von f
Die konvexe Funktion im offenen Intervall nimmt nicht den Maximalwert an
Formel Jensen (Jensen) Ungleichung
Wenn {f} eine konvexe Funktion auf \left [ a, b \right ] ist
\forall x_i \in \left [ a, b \right ], \lambda _i > 0 (i =1, 2, \dots ,n), \sum _{i=1}^{n} \lambda _i =1
Es gibt {f} (\sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {f}(x_i)
Eine konvexe Funktion auf dem offenen Intervall I hat an jedem Punkt auf I linke und rechte Ableitungen
Wenn es linke und rechte Ableitungen gibt, gibt es möglicherweise keine Ableitungen
{f} ist eine konvexe Funktion auf dem offenen Intervall I, dann ist {f} auf jedes geschlossene Teilintervall \left [ a, b \right ] von I beschränkt
konkave Funktion
Konkave Funktion definieren
Definieren Sie eine streng konkave Funktion
Eigenschaften ähnlich konvexen Funktionen
Wendepunkt #unvollendet
Wendepunkt definieren
Satz
Satz
Diskussion von Funktionsgraphen
Allgemeines Verfahren zum Erstellen von Funktionsgraphen
1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
2. Untersuchen Sie die Parität und Periodizität der Funktion;
3. Finden Sie einige spezielle Punkte der Funktion, z. B. Schnittpunkte mit zwei Koordinatenachsen, diskontinuierliche Punkte, nicht differenzierbare Punkte usw.;
4. Bestimmen Sie das monotone Intervall, den Extrempunkt, das Konvexitätsintervall und den Wendepunkt der Funktion.
5. Asymptoten untersuchen;
6. Zeichnen Sie auf der Grundlage der obigen Diskussionsergebnisse den Funktionsgraphen.
Ungefähre Lösung für Gl.
1. Mengen reeller Zahlen und Funktionen
reelle Zahlen
Natur
Über den Abschluss von vier Rechenoperationen
Ordentlichkeit
Konvertieren Sie rationale Zahlen zum Vergleich in unendliche Dezimalzahlen
Endliche Dezimalzahl ausgedrückt als unendliche Dezimalzahl
Größe
x=y
x>y
x<y
Gibt an, dass jede nicht negative reelle Zahl größer als eine negative reelle Zahl ist
Geometrische Bedeutung
Größe ist transitiv
erfüllen die archimedische Eigenschaft
Dichte
Kontinuität
Zahlenmenge*definite-bound-Prinzip
Intervalle und Nachbarschaften
Intervall
endliches Intervall
unendliches Intervall
∞
-∞
Obergrenze/nächste Grenze definieren
Definieren Sie eine Supremum-/unendliche Grenze
weit weg
7. Vollständigkeit reeller Zahlen
Grundsatz über den Vollständigkeitssatz der reellen Zahlen
Prinzip der Gewissheit
endliches Intervall
unendliches Intervall
monotoner beschränkter Satz
Satz über geschlossene Intervalle
endlicher Überdeckungssatz
Sammelpunktsatz\Kompaktheitssatz
Cauchy-Konvergenzkriterium
Die Vollständigkeitssätze reeller Zahlen sind äquivalent zueinander
Obergrenze und Untergrenze
Definieren Sie den Sammelpunkt einer Sequenz
Satz Die begrenzte Punktfolge (Sequenz)\left \{ x_n \right \} hat mindestens einen Sammelpunkt, und es gibt einen maximalen Sammelpunkt und einen minimalen Sammelpunkt
Definieren Sie Ober- und Untergrenzen
Satz\forall \left \{ x_n \right \} beschränkt ist, gibt es \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n \le \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n
Satz\lim _{x \to \infty} x_n =A \Longleftrightarrow \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n = \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n= A
Satz Wenn \{x_n\} eine beschränkte Folge ist
Erhaltung der Ungleichheit in der Ober- und Untergrenze des Satzes
Satz Wenn \{x_n\} eine beschränkte Folge ist
Funktionskonzept
Definition
Notation
Vier Rechenoperationen
Komplex
Umkehrfunktion
Elementarfunktionen
Funktionen mit bestimmten Eigenschaften
Begrenztheit
Monotonie
Parität
zyklisch
2 Sequenzbeschränkungen
Das Konzept der Sequenzgrenzen
Definition 1
Definition 1’
Infinitesimalfolge
unendliche Folge
Natur
Einzigartigkeit
Begrenztheit
Nummernspeicherung
Ungleichheit bewahren
Zwang
vier Rechenregeln
Unterspalte
Definition
Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Sequenzkonvergenz
Bedingungen für die Existenz des Grenzwertes einer Folge
Prinzip Monotonisch begrenztes Prinzip
Prinzip der Reduktion
Satz Kompaktheitssatz
Theorem Cauchy-Konvergenzkriterium
Drei Funktionsgrenzen
Funktionsgrenzen definieren
Natur
Einzigartigkeit
lokale Begrenztheit
Nummernspeicherung
garantierte Ungleichheit
Zwang
vier Rechenregeln
Bedingungen für das Vorliegen von Funktionsgrenzen
Prinzip der Reduktion
3.9
Monoton begrenzt
Cauchy-Kriterium
Unendlich große und unendlich kleine Mengen
unendlich kleiner Betrag
Natur
Das Summen- und Differenzprodukt zweier infinitesimaler Größen ist immer noch eine infinitesimale Größe
Das Produkt einer infinitesimalen Größe und einer begrenzten Größe ist eine infinitesimale Größe
Vergleichen
Hohes Niveau/niedriges Niveau
Gleiches Niveau
Gleichwertigkeit
ersetzen
unendlich viel
Definition
Vergleichen
Beziehung
Asymptote der Kurve
Definition
Bestimmungsmethode
4. Funktionskontinuität
Konzept der Kontinuität
Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt
Definieren Sie die Funktion so, dass sie an einem Punkt stetig ist
Links (rechts) durchgehend
notwendige und ausreichende Bedingungen
Diskontinuität
Definieren Sie Haltepunkte
Einstufung
Diskontinuitäten erster Art
Kann Diskontinuitäten beseitigen
Sprungbruchpunkt
Diskontinuitäten vom Typ II
Kontinuierliche Funktionen in Intervallen
Definieren Sie kontinuierliche Funktionen für Intervalle
stückweise kontinuierlich
Eigenschaften stetiger Funktionen
Lokale Eigenschaften stetiger Funktionen
lokale Begrenztheit
Erhaltung der lokalen Rufnummer
Vier Rechenoperationen
Komplex
Grundlegende Eigenschaften stetiger Funktionen auf geschlossenen Intervallen
Maximal- und Minimalwertsätze
Beschränktheitssatz
Satz Intermedialitätssatz
Existenzsatz der Satzwurzeln
Stetigkeit der Umkehrfunktionen
konsequente Kontinuität
Definieren Sie konsistente Kontinuität
Prinzip läuft auf Prinzip hinaus
konsistenter Kontinuitätssatz
Kontinuität elementarer Funktionen
Kontinuität von Exponentialfunktionen
Kontinuität elementarer Funktionen
Satz: Alle grundlegenden Elementarfunktionen sind stetige Funktionen auf ihrem Definitionsbereich.
Satz: Jede Elementarfunktion ist in ihrem definierten Intervall eine stetige Funktion.
5 Ableitungen und Differentiale
Das Konzept der Ableitung
Definition von Derivat
Ableitung definieren
{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}
Definition ist nicht ableitbar
Formel endliche Inkrementformel
Satz ist differenzierbar\Rightarrow stetig (aber nicht umgekehrt)
Definieren Sie eine einseitige Ableitung
Bedingungen für die Existenz des Satzes {f}'(x_0)
Ableitungsfunktion
Definieren Sie Ableitungsfunktionen/Ableitungen
Die geometrische Bedeutung von Ableitungen
Tangentengleichung y-y_0= {f}'(x_{0})(x-x_0)
Definieren Sie Extremwerte
Stabilen Punkt definieren
Satz von Fermat
Folgerung: Wenn die Funktion {f} auf dem Intervall I differenzierbar ist und {f}' (x) = 0, x \in I, dann ist {f} eine konstante Funktion auf I
Folgerung: Wenn die Funktionen {f} und {g} beide auf dem Intervall I differenzierbar sind und {f} ' (x) = {g} ' (x), x \in I, dann ist auf dem Intervall I {f} ( x) ={g} (x) c (c ist eine Konstante)
Korollarsatz, abgeleiteter Grenzwertsatz
Formelableitungsregel
Grundlegende Ableitungsregeln
Vier Rechenoperationen
(u \pm v) '=u ' \pm v '
(uv) '=u 'v v 'u
(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}
( \frac{1}{v}) '=- \frac{v '}{v^2}
Ableitung der Umkehrfunktion
f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
Ableitungen zusammengesetzter Funktionen
({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}
Ableitungsformeln grundlegender Elementarfunktionen
(c) ' =0
(x^a) '=ax^{a-1}
\Delta
(\sin x) '=\cos x
(\cos x) '=-\sin x
(\tan x) '=\sec^2 x
(\cot x)'=-\csc ^2 x
(\sec x) '=\sec x \tan x
(\csc x) '=-\csc x \cot x
(a^x) '=a^x\ln a
(e^x) '=e^x
(\log_{a}{x}) '=\frac{1}{x\ln a}
(\ln x) '=\frac{1}{x}
Fähigkeit
Logarithmische Ableitung
Ableitungen parametrischer Funktionen
Parametrische Gleichung der ebenen Kurve C
glatte Kurve
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{ \mathrm{d}x}
Derivate höherer Ordnung
Definieren Sie die zweite Ableitung {f}''
Definieren Sie die Differenzierbarkeit zweiter Ordnung
Definieren Sie Ableitungen höherer Ordnung
{f}^{(n)}(x_0) {f}^{(n)}
{y}^{(n)}|_{x=x_0} {y}^{(n)}
\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}|_{x=x_0} \frac{\mathrm{d} ^n y}{\mathrm{d}x^ N}
Ableitungen höherer Ordnung nach der Operation
Addition und Subtraktion
[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}
Multiplikation
Formel Leibniz-Formel
({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}
wobei {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}
Differential
Differentialkonzept
Definieren Sie das Differential \mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta x oder \mathrm{d}{f}(x)|_{x=x_0}=A \Delta x
Geometrische Interpretation von Differentialen
Definieren Sie differenzierbare Funktionen
Natur
Invarianz von Differentialformen erster Ordnung
Arithmetische Regeln der Formeldifferenzierung
\mathrm{d}[{u}(x) \pm {v}(x)] = \mathrm{d} {u}(x) \pm \mathrm{d} {v}(x)
\mathrm{d}[{u}(x) {v}(x)] ={v}(x) \mathrm{d}{u}(x) {u}(x) \mathrm{d} {v }(X)
\mathrm{d} \frac{{u}(x)}{{v}(x)}= \frac{{v}(x) \mathrm{d} {u}(x) - {u} (x ) \mathrm{d} {v} (x)}{{v} ^2 (x)}
\mathrm{d} ({f }\circ {g} (x))= {f} '(u) g '(x) \mathrm{d} x ={f} ' ({u}) \mathrm{ d}{u}
Differentiale höherer Ordnung
Definieren Sie das Differential zweiter Ordnung \mathrm{d} ^2 y ={f} ''(x) \mathrm{d} {x^2}
Definieren Sie das Differential höherer Ordnung \mathrm{d}^n y = {f} ^{(n)} (x) \mathrm{d} x^n
hat keine formale Invarianz mehr
Anwendung der Differentialrechnung in Näherungsrechnungen
Näherungsberechnung von Funktionen
um das Lied direkt zu ersetzen
{f} (x_0 \Delta x) \ approx {f} (x_0) {f} ' (x_0) \Delta x , \Delta x ist sehr klein
{f} (x) ={f} (x_0) {f} '(x_0) (x-x_0) ,x \ approx x_0
Fehlerschätzung
Fehlergrenze des Messwertes x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|
|\Delta y|. = |{f} (x) -{f} (x_0)|
Relative Fehlergrenze\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|
Symbolnotation
\mathrm{d} ^2 x= \mathrm{d} (\mathrm{d} x)
\mathrm{d} x^2= (\mathrm{d} x)^2