Remplacement demi-largeur

Signification géométrique

Représentation équivalente

Soit {f}(x) dérivable sur l'intervalle I

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

Soit {f} (x) différentiable sur l'intervalle \left ( a,b \right)

Pour tout x \in \left ( a,b \right ) , il y a {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f}'(x) e 0 sur tout auto-intervalle de \left ( a,b \right )

Ce jugement est également vrai si la fonction est unilatérale et continue du côté fermé de l'intervalle.

\frac{0}{0} limite de type

\frac{a}{\infin} limite infinitive de type

Loi Loi de Lópida#Imitation

Définir la dérivée

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

Soit {f} continu au point x_0 et différentiable sur un certain quartier U ^ {\circ} (x_0; \delta)

(i) Si quand x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \le 0, quand x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \ge 0, alors {f} obtient la valeur minimale à x_0

(ii) Si quand x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, quand x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, alors {f} obtient la valeur maximale à x_0

Supposons que f soit différentiable au premier ordre sur un certain voisinage U (x_0; \delta) de x_0, et différentiable au second ordre en x=x_0, et {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

Si {f}''(x_0) < 0, alors {f} obtient la valeur maximale à x_0

Si {f}''(x_0) > 0, alors {f} obtient la valeur minimale à x_0

Supposons que {f} existe dans un certain voisinage de x_0 avec des dérivées jusqu'à l'ordre n-1, et qu'il soit dérivable à l'ordre n en x_0, et {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2 ,\dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

Lorsque n est un nombre pair, {f} prend la valeur extrême à x_0

Lorsque n est un nombre impair, {f} ne prend pas de valeur extrême à x_0

Les trois conditions suffisantes ne s'appliquent pas pour déterminer tous les points extrêmes (même s'ils sont différentiables)

Le point maximum ne peut pas avoir de voisinage gauche (droite), ce qui le rend monotone.

Le lemme f est la condition nécessaire et suffisante pour la fonction convexe sur I

Théorème Supposons que f soit une fonction différentiable sur l'intervalle I, alors les énoncés suivants sont équivalents entre eux

La condition nécessaire et suffisante pour la valeur minimale d'une fonction convexe différentiable est que la dérivée soit nulle

La fonction convexe sur l'intervalle ouvert ne prend pas la valeur maximale

Inégalité de formule Jensen (Jensen)

Une fonction convexe sur l'intervalle ouvert I a des dérivées gauche et droite en tout point sur I

{f} est une fonction convexe sur l'intervalle ouvert I, alors {f} est borné sur tout sous-intervalle fermé \left [ a, b \right ] de I

Convertir des nombres rationnels en décimales infinies pour comparaison

taille

∞

-∞

Le produit somme et différence de deux quantités infinitésimales est toujours une quantité infinitésimale

Le produit d'une quantité infinitésimale et d'une quantité bornée est une quantité infinitésimale

Niveau haut/niveau bas

Même niveau

équivalence

Discontinuités du premier type

Discontinuités de type II

théorème des limites

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

La définition ne peut pas être dérivée

formule formule d'incrément fini

Le théorème est différentiable\Rightarrow continu (mais pas l'inverse)

Conditions d'existence du théorème {f}'(x_0)

Définir le point stable

Théorème de Fermat

Corollaire Si la fonction {f} est dérivable sur l'intervalle I, et {f}' (x) = 0, x \in I, alors {f} est une fonction constante sur I

Corollaire Si les fonctions {f} et {g} sont toutes deux dérivables sur l'intervalle I, et {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, alors sur l'intervalle I, {f} ( x) ={g} (x) c (c est une constante)

Théorème du corollaire Théorème de la dérivée limite

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2x

(\sec x) '=\sec x \tanx

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

Formule Formule Leibniz

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

où {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

Invariance des formes différentielles du premier ordre

pour remplacer directement la chanson

Limite d'erreur de la valeur mesurée x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \approx |{f} ' (x_0) \Delta x| \le |{f} '(x_0)|

Limite d'erreur relative\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|