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Frazioni, Proporzioni e Percentuali
Questa mappa mentale esplora i concetti di frazioni, proporzioni e percentuali, suddivisa in due sezioni principali: 1. Proporzione Uguaglianza tra 2 rapporti: Uguaglianza tra 2 frazioni equivalenti = proporzione. Esempio: 10/5 = 8/4 oppure 10:5 = 8:4. Termini di una proporzione: Antecedenti: 10:5 = 8:4 → 10 e 5 sono gli antecedenti (primi termini). Conseguenti: 8 e 4 sono i conseguenti (secondi termini). Estremi: 10 e 4 (primo e quarto termine). Medi: 5 e 8 (secondo e terzo termine). Proprietà fondamentale: Prodotto dei medi = prodotto degli estremi. Altre proprietà: Del comporre: (a+b):a = (c+d):c; (a+b):b = (c+d):d. Esempio: 12:8 = 6:4 → (12+8):12 = (6+4):6; (12+8):8 = (6+4):4. Dello scomporre (con a≥b, c≥d): (a−b):a = (c−d):c; (a−b):b = (c−d):d. Esempio: (12−8):12 = (6−4):6; (12−8):8 = (6−4):4. Del permutare: i medi ↔ gli estremi. a:c = b:d → d:b = c:a. Esempio: 12:6 = 8:4 → 4:8 = 6:12. Dell’invertire: b:a = d:c. Esempio: 8:12 = 4:6. 2. Percentuali Diversi modi di scrivere frazioni con d = 100: 25% = 25/100. Trasformare una frazione in percentuale: Scrivere la frazione equivalente con d = 100. Risolvere problemi: Esempio: il 28% di C è 2016 → 28:100 = 2016:C.
Modificato alle 2025-06-22 20:58:11
- Equazioni Numeriche Intere
principali: "Risoluzione" e "In sintesi". Risoluzione: Spiega che, applicando i principi di equivalenza, è possibile trasformare un'equazione di primo grado in un'equazione equivalente nella forma ax = b, con a≠0, e risolverla come x = b/a. Equazione: Suddivisa in determinata (una soluzione se a≠0), indeterminata (infinite soluzioni se a=0, b=0) e impossibile (nessuna soluzione se a=0, b≠0). In sintesi: Riassume le condizioni per le equazioni determinate, indeterminate e impossibili.
- Equazioni Lineari
Questa mappa mentale fornisce una panoramica dettagliata sulle equazioni lineari, suddivisa in quattro sezioni principali: L'identità: Uguaglianza di espressioni letterali verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere. Esempi: a+a=2a, ab*a³b=a⁴b². Condizioni di esistenza: denominatori di frazioni algebriche ≠ 0. L'equazione: Uguaglianza fra due espressioni letterali che cerca i valori che rendono vera l'uguaglianza. Soluzioni o radici: valori che rendono uguali i membri. Incognite: lettere che cercano le soluzioni. Insieme di definizione o dominio: insieme considerato nella ricerca delle soluzioni. Tipi di equazioni: Intera: Incognita solo nei numeratori (es. x/2 = 1+7x). Fratta: Incognita nei denominatori (es. 1/x-3 = x/4-1). Considerando le lettere: Numerica (contiene solo numeri), letterale (contiene parametri). Considerando le soluzioni: Determinata (soluzione finita), indeterminata (infinite soluzioni), impossibile (nessuna soluzione). Principi di equivalenza: Aggiungere/sottrarre/moltiplicare/dividere entrambi i membri per un numero o espressione letterale diversa da zero, ottenendo un'equazione equivalente. Applicazioni: trasporto, cancellazione, cambiamento di segno.
- La Scomposizione in Fattori
Questa mappa mentale illustra il concetto di scomposizione in fattori in algebra, suddivisa in diverse sezioni: Definizione: Un polinomio in più variabili è riducibile se può essere scomposto nel prodotto di polinomi di grado minore; altrimenti è irriducibile. Esempi: x² - 2x + 1 è riducibile, x² + 25 è irriducibile. Raccoglimento a fattore comune: Procedura per scomporre un polinomio estraendo il MCD. Esempio: ab + ac + ad = a(b+c+d), MCD = a. Raccoglimento parziale: Scomposizione che avviene in due fasi, raccogliendo i fattori comuni e poi raccogliendo nuovamente. Scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli: Formule come differenza di quadrati, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio, differenza di cubi, somma di cubi. Scomposizione di trinomi particolari di secondo grado: Trinomi scomponibili in (x+a)(x+b) se s = a+b, p = ab. Esempio: x²+8x+15 = (x+3)(x+5). MCD e mcm tra polinomi: Il MCD è il polinomio di grado massimo che divide tutti i polinomi dati; il mcm è il polinomio di grado minimo divisible per tutti i polinomi dati.
Frazioni, Proporzioni e Percentuali
- Equazioni Numeriche Intere
principali: "Risoluzione" e "In sintesi". Risoluzione: Spiega che, applicando i principi di equivalenza, è possibile trasformare un'equazione di primo grado in un'equazione equivalente nella forma ax = b, con a≠0, e risolverla come x = b/a. Equazione: Suddivisa in determinata (una soluzione se a≠0), indeterminata (infinite soluzioni se a=0, b=0) e impossibile (nessuna soluzione se a=0, b≠0). In sintesi: Riassume le condizioni per le equazioni determinate, indeterminate e impossibili.
- Equazioni Lineari
Questa mappa mentale fornisce una panoramica dettagliata sulle equazioni lineari, suddivisa in quattro sezioni principali: L'identità: Uguaglianza di espressioni letterali verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere. Esempi: a+a=2a, ab*a³b=a⁴b². Condizioni di esistenza: denominatori di frazioni algebriche ≠ 0. L'equazione: Uguaglianza fra due espressioni letterali che cerca i valori che rendono vera l'uguaglianza. Soluzioni o radici: valori che rendono uguali i membri. Incognite: lettere che cercano le soluzioni. Insieme di definizione o dominio: insieme considerato nella ricerca delle soluzioni. Tipi di equazioni: Intera: Incognita solo nei numeratori (es. x/2 = 1+7x). Fratta: Incognita nei denominatori (es. 1/x-3 = x/4-1). Considerando le lettere: Numerica (contiene solo numeri), letterale (contiene parametri). Considerando le soluzioni: Determinata (soluzione finita), indeterminata (infinite soluzioni), impossibile (nessuna soluzione). Principi di equivalenza: Aggiungere/sottrarre/moltiplicare/dividere entrambi i membri per un numero o espressione letterale diversa da zero, ottenendo un'equazione equivalente. Applicazioni: trasporto, cancellazione, cambiamento di segno.
- La Scomposizione in Fattori
Questa mappa mentale illustra il concetto di scomposizione in fattori in algebra, suddivisa in diverse sezioni: Definizione: Un polinomio in più variabili è riducibile se può essere scomposto nel prodotto di polinomi di grado minore; altrimenti è irriducibile. Esempi: x² - 2x + 1 è riducibile, x² + 25 è irriducibile. Raccoglimento a fattore comune: Procedura per scomporre un polinomio estraendo il MCD. Esempio: ab + ac + ad = a(b+c+d), MCD = a. Raccoglimento parziale: Scomposizione che avviene in due fasi, raccogliendo i fattori comuni e poi raccogliendo nuovamente. Scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli: Formule come differenza di quadrati, quadrato di un trinomio, cubo di un binomio, differenza di cubi, somma di cubi. Scomposizione di trinomi particolari di secondo grado: Trinomi scomponibili in (x+a)(x+b) se s = a+b, p = ab. Esempio: x²+8x+15 = (x+3)(x+5). MCD e mcm tra polinomi: Il MCD è il polinomio di grado massimo che divide tutti i polinomi dati; il mcm è il polinomio di grado minimo divisible per tutti i polinomi dati.
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