El siglo XIX marca la aparición de la matemática pura: creciente abstracción y especialización; los problemas de rigor llevaron a debates filosóficos sobre el estatus epistemológico de las matemáticas (logicismo, formalismo, intuicionismo).

Estos movimientos intentaron dar fundamento y certeza ante nuevas estructuras (geometrías no euclídeas, teoría de conjuntos, análisis riguroso).

George Boole: sentó las bases de la lógica simbólica (álgebra lógica) que posibilitó la formalización del razonamiento. El desarrollo de la lógica del siglo XIX fue capital para la posterior reducción de fragmentos de matemáticas a la lógica.

Gottlob Frege: fundador de la lógica moderna (Begriffsschrift). Propuso el logicismo: la aritmética es reducible a la lógica; introdujo cuantificadores y un cálculo formal riguroso; defendió que los objetos matemáticos existían en un «tercer mundo» (realidad no sensible). Sus obras clave: Die Grundlagen der Arithmetik y Die Grundgesetze der Arithmetik.

Bertrand Russell detectó paradojas (p. ej. la paradoja de la clase de todas las clases que no se contienen) que afectaron el proyecto de Frege y motivaron reformulaciones (teoría de tipos, revisión del logicismo).

Cauchy, Weierstrass: llevaron el análisis hacia la aritmetización — rigor en límites, continuidad y definición de funciones mediante procesos aritméticos (eliminación de argumentos heurísticos/informalidades).

Richard Dedekind: aportó cortes (Dedekind cuts) para construir los reales desde los racionales — una pieza clave en la aritmetización del continuo.

Georg Cantor: creó la teoría de conjuntos y la teoría de cardinalidades infinitas; sus descubrimientos trajeron paradojas y preguntas sobre los fundamentos.

David Hilbert: formalismo y programas fundacionales: sistemas formales y metateoría; la «intuición del signo» y el intento de probar consistencia mediante métodos finitistas (programa de Hilbert).

L. Brouwer (intuicionismo): propuso volver a una intuición temporal y construcción finita/constructiva como fundamento; rechazó parte de la abstracción formal.

Kurt Gödel (1931): demostró teoremas de incompletitud que mostraron límites decisivos al programa formalista (incompletitud y límites de las pruebas de consistencia). Esto cambió radicalmente la comprensión sobre la posibilidad de un fundamento totalmente formalizado.

Crisis del infalibilismo: las paradojas (Cantor, Russell, etc.) y los teoremas de Gödel erosionaron la idea de una matemática única, completa e infalible. A partir de ahí surgió la idea de pluralidad de matemáticas (varios sistemas/axiomatizaciones posibles).

Rol de la intuición: tras los intentos de reducción total a la lógica o a sistemas formales, se volvió a reconocer que la intuición (no necesariamente kantiana en su forma clásica) sigue siendo necesaria; ni el formalismo ni el logicismo lograron extinguirla.

Relación razón–evidencia–formalismo: emergen tres posturas (resumen):

Cambio: el triunfo de las geometrías no euclidianas (siglo XIX) debilitó la idea kantiana de que la geometría euclídea es la intuición a priori del espacio. Se reconoció la autonomía de geometrías alternativas y la necesidad de separar la geometría pura de la intuición espacial inmediata. Esto forzó una reevaluación de la intuición kantiana en matemáticas.

Weierstrass: rigorizó límites y continuidad (definiciones épsilon-delta), eliminando argumentos heurísticos del cálculo

Dedekind: construcción de los números reales mediante cortes; fundamento aritmético del continuo.

Cantor: teoría de conjuntos y tratamiento del infinito; dio herramientas para hablar formalmente del continuo y de diferentes tamaños de infinito (cardinalidades), lo que reconfiguró la base del análisis.

Descartes: introdujo la idea de geometría analítica y la técnica de simbolización, favoreciendo la formalización.

Leibniz: visión de la evidencia lógica y el cálculo lógico como ideales filosóficos (influencia en Frege).

Kant: su distinción analítico/sintético y la intuición espacio-temporal fueron un punto de partida que luego fue desafiado por las geometrías no euclídeas y la aritmetización; formalistas e intuicionistas reclamaron o revisaron partes de Kant.

Frege: reinterpretó la relación entre filosofía y matemática: la aritmética como analítica (no sintética a priori), y la lógica como fundamento (logicismo).

Boole transformó el tratamiento del razonamiento en álgebra; su álgebra lógica posibilitó la formalización y cálculo de proposiciones.

La lógica simbólica del XIX fue la base técnica para proyectos fundacionales posteriores (Frege, Russell, Peano).

Los movimientos fundacionales estuvieron centrados en qué clase de “evidencia” justifica las matemáticas: evidencia lógica (logicismo), evidencia sintáctica/formal (formalismo), evidencia intuicionista/constructiva (intuicionismo).

Las paradojas y los teoremas de incompletitud mostraron que ninguna de esas respuestas ofrece una fundamentación completa e infalible; la razón matemática debe convivir con límites formales y con la necesidad de intuiciones o criterios extra-formales en la práctica matemática.

Las matemáticas en el siglo XIX muestran lo que es una profunda interdependencia entre la razón, la evidencia y lo que es el formalismo. La búsqueda de lo lógico y la expansión de nuevas estructuras mostraron que el pensamiento matemático no puede separarse de su dimensión filosófica ni de su base intuitiva. Comprendo que la evolución matemática no solo es la necesidad de precisión formal, sino también la reflexión sobre el como conocemos, justificamos y damos sentido al saber abstracto.