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análise matemática
O principal conteúdo de pesquisa da análise matemática são funções, limites, cálculo, séries, etc. Entre eles, cálculo é o nome coletivo de Cálculo Diferencial e Cálculo Integral. A base teórica do cálculo é a teoria dos limites, e a base teórica da teoria dos limites é a teoria dos números reais.
Edited at 2024-11-03 21:00:54
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análise matemática
outro
Definir valores máximos/mínimos
Teorema teorema de pitada
Prova do Teorema Fundamental da Completude dos Números Reais
teoria dos números reais
integral anormal
Aplicações de integrais definidas
integral definida
Oito integrais indefinidas
Conceito de integral indefinida e fórmula integral básica
Definir função original
Teorema: Se a função for contínua no intervalo, então a função original existe em, ou seja
Teorema Suponha que {F}(x) seja uma função primitiva de {f}(x) no intervalo I, então todas as funções primitivas de F(x) no intervalo I podem ser expressas como F(x) {\color{red } C ,C \em R}
Definir integral indefinida
Número de pontos
integrando
expressão do integrando
quantidade
Tabela de pontos básicos
Integração por Substituição e Integração por Partes
Método de substituição de teorema
1
2
Integração por partes
Funções racionais podem ser reduzidas a integrais indefinidas de funções racionais
Integrais indefinidas de funções racionais
função racional
Definição função racional
Definir fração verdadeira/fração imprópria
Definição expressão racional triangular
Substituição de meia largura
Integrais indefinidas de algumas expressões irracionais simples
6. Teorema do Valor Médio Diferencial e suas Aplicações
Teorema de Lagrange e monotonicidade de funções
Teorema de Rolle e teorema de Lagrange
Teorema Teorema de Rolle
Teorema Teorema do valor médio de Lagrange
Significado geométrico
Representação equivalente
{f} (b) -{f} (a) = {f} ' ( a \theta (b - a)) (b- a) , 0< \theta <1
{f} (a -h) -{f} (a) = {f} ' (a \theta h) h , 0< \theta <1
{f} (b) - {f} (a)= {f} ' ( \xi) (b - a) , a < \xi <b
função monotônica
Julgamento da monotonicidade do teorema das funções diferenciáveis
Seja {f}(x) diferenciável no intervalo I
{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
Julgamento da monotonicidade estrita do teorema das funções diferenciáveis
Seja {f} (x) diferenciável no intervalo \left ( a,b \right)
Para todo x \in \left ( a,b \right ) , existe {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
{f}'(x) e 0 em qualquer intervalo próprio de \left ( a,b \right )
Este julgamento também é válido se a função for unilateral e contínua no lado fechado do intervalo.
Corolário Suponha que a função {f} seja diferenciável no intervalo I. Se {f}' (x) >0 ({f}' (x) < 0) , então {f} estritamente aumenta (diminui) em I
Teorema Teorema de Darboux (teorema do valor intermediário de funções derivadas)
Corolário Suponha que a função {f} (x) satisfaça {f}' (x) e 0 no intervalo I, então {f} (x) é estritamente monotônico no intervalo I
Teorema do valor médio de Cauchy e limites infinitivos
Teorema do valor médio de Cauchy
Significado geométrico
\begin{vmatrix} {f} (a) & {f} (b) & {f} '( \xi) \\ {g} (a) & {g} (b) & {g} '( \xi ) \\ {h}(a) & {h} (b) & {h} '(\xi) \end{vmatrix} =0 se xxxx
limite infinitivo
definir infinitivo
Lei Lei de Lópida#Imitação
limite de tipo \frac{0}{0}
\frac{a}{\infin} tipo limite infinitivo
Fórmula de Taylor
Polinômio de Fórmula Taylor com resto de Peano
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i o (x^n)
provar
Lei Lei de Lópida#Imitação
Definir derivada
Fórmula Fórmula Maclaurin
{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i
Fórmula de Taylor com resto do tipo Lagrange
Teorema Teorema de Taylor
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}
Aplicações em cálculos aproximados
Extremos de função e valores máximos (pequenos)
Julgamento de valor extremo
Teorema de Fermat
A primeira condição suficiente para o valor extremo do teorema
Seja {f} contínuo no ponto x_0 e diferenciável em uma certa vizinhança U ^ {\circ} (x_0; \delta)
(i) Se {f} '(x) \le 0 quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, então {f} obtém o valor mínimo em x_0
(ii) Se quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, então {f} obtém o valor máximo em x_0
A segunda condição suficiente para o valor extremo do teorema
Suponha que f seja diferenciável de primeira ordem em uma certa vizinhança U (x_0; \delta) de x_0, e diferenciável de segunda ordem em x=x_0, e {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0
Se {f}''(x_0) <0, então {f} obtém o valor máximo em x_0
Se {f}''(x_0) > 0, então {f} obtém o valor mínimo em x_0
A terceira condição suficiente para o valor extremo do teorema
Suponha que {f} exista em uma certa vizinhança de x_0 com derivadas até a ordem n-1, e seja derivável até a ordem n em x_0, e {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2 ,\pontos ,n-1), {f}^{(n)} e 0
Quando n é um número par, {f} assume o valor extremo em x_0
Obtenha o valor máximo quando {f}^{(n)}(x_0)<0
Obtenha o valor mínimo quando {f}^{(n)}(x_0)>0
Quando n é um número ímpar, {f} não assume um valor extremo em x_0
⚠️Atenção
As três condições suficientes não se aplicam para determinar todos os pontos extremos (mesmo que sejam diferenciáveis)
{f}(x)= \begin{casos} e ^{- \frac{1}{x^2}}& \text{if} x e 0 \\ 0 & \text{if} x=0 \ fim{casos}
O ponto máximo pode não ter uma vizinhança esquerda (direita) que o torne monotônico.
{f}(x)=2-x^2(2 \sin \frac{1}{x})
Valores máximos e mínimos
teorema da limitação
ponto estável
ponto não derivável
Ponto final do intervalo
O ponto convexo e o ponto de inflexão da função
função convexa
Definir função convexa
Definir funções estritamente convexas
Lema f é a condição necessária e suficiente para a função convexa em I
Teorema Suponha que f seja uma função diferenciável no intervalo I, então as seguintes afirmações são equivalentes entre si
f é uma função convexa em I
{f} 'é uma função crescente em I
Teorema Suponha que f seja uma função diferenciável de segunda ordem no intervalo I, então a condição necessária e suficiente para f ser uma função convexa em I é {f} ''(x) \ge 0, x \in I
Para quaisquer dois pontos x_1, x_2 em I, temos {f}(x_2) \ge {f}(x_1) {f} '(x_1) (x_2-x_1)
inferência
A condição necessária e suficiente para o valor mínimo de uma função convexa diferenciável é que a derivada seja zero
Se a função {f} é um número convexo derivável definido no intervalo aberto \left ( a, b \right )
{f} '(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \left ( a,b \right ) é o ponto mínimo de f
A função convexa no intervalo aberto não assume o valor máximo
Desigualdade de Fórmula Jensen (Jensen)
Se {f} é uma função convexa em \left [ a, b \right ]
\forall x_i \in \left [ a, b \right ], \lambda _i > 0 (i =1, 2, \dots ,n), \sum _{i=1}^{n} \lambda _i =1
Existem {f} (\sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {f}(x_i)
Uma função convexa no intervalo aberto I tem derivadas à esquerda e à direita em qualquer ponto de I
Se houver derivadas à esquerda e à direita, pode não haver derivadas
{f} é uma função convexa no intervalo aberto I, então {f} é limitado em qualquer subintervalo fechado \left [ a, b \right ] de I
função côncava
Definir função côncava
Defina uma função estritamente côncava
Propriedades semelhantes às funções convexas
ponto de viragem #inacabado
Definir ponto de inflexão
teorema
teorema
Discussão de gráficos de funções
Procedimento geral para construção de gráficos de funções
1. Encontre o domínio da função;
2. Examine a paridade e periodicidade da função;
3. Encontre alguns pontos especiais da função, como pontos de intersecção com dois eixos coordenados, pontos descontínuos, pontos não diferenciáveis, etc.;
4. Determinar o intervalo monotônico, ponto extremo, intervalo de convexidade e ponto de inflexão da função;
5. Examine as assíntotas;
6. Com base nos resultados da discussão acima, desenhe o gráfico da função.
Solução aproximada para a Eq.
1. Conjuntos de números reais e funções
números reais
natureza
Sobre o fechamento de quatro operações aritméticas
Ordem
Converta números racionais em decimais infinitos para comparação
Decimal finito expresso como decimal infinito
tamanho
x = y
x>y
x<y
Especifica que qualquer número real não negativo é maior que um número real negativo
Significado geométrico
tamanho é transitivo
satisfazer a propriedade arquimediana
densidade
continuidade
Conjunto de números * princípio de limite definido
Intervalos e vizinhanças
intervalo
intervalo finito
intervalo infinito
∞
-∞
Definir limite superior/próximo limite
Definir limite supremo/infinito
distante
7. Completude dos Números Reais
Teorema fundamental sobre o teorema da completude dos números reais
princípio da certeza
intervalo finito
intervalo infinito
teorema limitado monotônico
Teorema do intervalo fechado
teorema da cobertura finita
Teorema do Ponto de Reunião\Teorema da Compactação
Critério de Convergência de Cauchy
Os teoremas de completude dos números reais são equivalentes entre si
limite superior e limite inferior
Definir o ponto de encontro de uma sequência
Teorema A sequência de pontos limitados (sequência)\left \{ x_n \right \} tem pelo menos um ponto de encontro, e há um ponto de encontro máximo e um ponto de encontro mínimo
Definir limites superiores e inferiores
Teorema\forall \left \{ x_n \right \} é limitado, existem \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n \le \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n
Teorema\lim _{x \to \infty} x_n =A \Longleftrightarrow \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n = \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n= A
Teorema Se \{x_n\} é uma sequência limitada
Preservação da desigualdade nos limites superior e inferior do teorema
Teorema Se \{x_n\} é uma sequência limitada
Conceito de função
definição
Notação
Quatro operações aritméticas
complexo
função inversa
funções elementares
funções com certas propriedades
Limite
Monotonicidade
paridade
cíclico
2 Limites de Sequência
O conceito de limites de sequência
Definição 1
Definição 1'
sequência infinitesimal
sequência infinita
natureza
singularidade
Limite
Retenção de números
Preservar a desigualdade
compulsão
quatro regras aritméticas
subcoluna
definição
Condições necessárias e suficientes para convergência de sequência
Condições para a existência do limite de uma sequência
Princípio Princípio Monotônico Limitado
princípio da redução
Teorema da compacidade
Critério de convergência do teorema de Cauchy
Três limites de função
Definir limites de função
natureza
singularidade
limitação local
Retenção de números
desigualdade garantida
compulsão
quatro regras aritméticas
Condições para a existência de limites de função
princípio da redução
3.9
Limitada monótona
Critério de Cauchy
Quantidades infinitamente grandes e infinitamente pequenas
quantidade infinitesimal
natureza
O produto da soma e da diferença de duas quantidades infinitesimais ainda é uma quantidade infinitesimal
O produto de uma quantidade infinitesimal e uma quantidade limitada é uma quantidade infinitesimal
Comparar
Alto nível/baixo nível
Mesmo nível
equivalência
substituir
quantidade infinita
definição
Comparar
relação
assíntota da curva
definição
Método de determinação
4. Continuidade de função
conceito de continuidade
Continuidade de uma função em um ponto
Defina a função como contínua em um ponto
Esquerda (direita) contínua
condições necessárias e suficientes
descontinuidade
Definir pontos de interrupção
Classificação
Descontinuidades do primeiro tipo
Pode remover descontinuidades
ponto de interrupção do salto
Descontinuidades tipo II
Funções contínuas em intervalos
Definir funções contínuas em intervalos
contínuo por partes
Propriedades de funções contínuas
Propriedades locais de funções contínuas
limitação local
Preservação de número local
Quatro operações aritméticas
complexo
Propriedades básicas de funções contínuas em intervalos fechados
Teoremas de valor máximo e mínimo
teorema da limitação
Teorema Teorema da Intermediação
Teorema da Existência das Raízes do Teorema
Continuidade de funções inversas
continuidade consistente
Defina continuidade consistente
Princípio se resume a princípio
teorema da continuidade consistente
Continuidade de funções elementares
Continuidade de funções exponenciais
Continuidade de funções elementares
Teorema: Todas as funções elementares básicas são funções contínuas em seu domínio.
Teorema: Qualquer função elementar é uma função contínua em seu intervalo definido.
5 Derivados e Diferenciais
O conceito de derivada
Definição de derivada
Definir derivada
{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}
A definição não é derivável
fórmula fórmula de incremento finito
O teorema é diferenciável\Rightarrow contínuo (mas não vice-versa)
Definir derivada unilateral
Condições para a existência do teorema {f}'(x_0)
função derivada
Definir funções/derivadas derivadas
O significado geométrico das derivadas
Equação tangente y-y_0= {f}'(x_{0})(x-x_0)
Definir valores extremos
Definir ponto estável
Teorema de Fermat
Corolário Se a função {f} é diferenciável no intervalo I, e {f}' (x) = 0, x \in I, então {f} é uma função constante em I
Corolário Se as funções {f} e {g} são ambas diferenciáveis no intervalo I, e {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, então no intervalo I, {f} (x) ={g} (x) c (c é uma constante)
Teorema do Corolário Teorema do Limite Derivado
Regra de derivação de fórmula
Regras básicas de derivação
Quatro operações aritméticas
(você \pm v) '=você ' \pm v '
(uv) '= você 'v v 'você
(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}
(\frac{1}{v}) '=- \frac{v '}{v^2}
derivada da função inversa
f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
Derivadas de funções compostas
({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \matrm{d} x}
Fórmulas derivadas de funções elementares básicas
(c)' =0
(x^a) '=ax^{a-1}
\Delta
(\sin x) '=\cos x
(\cos x) '=-\sin x
(\tan x) '=\seg^2 x
(\cot x)'=-\csc ^2 x
(\sec x) '=\sec x \tan x
(\csc x) '=-\csc x \cot x
(a^x) '=a^x\ln a
(e^x) '=e^x
(\log_{a}{x}) '=\frac{1}{x\ln a}
(\ln x) '=\frac{1}{x}
Habilidade
Derivação logarítmica
Derivadas de funções paramétricas
Equação paramétrica da curva plana C
curva suave
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{ \matrm{d}x}
derivadas de ordem superior
Defina a segunda derivada {f}''
Definir diferenciabilidade de segunda ordem
Definir derivadas de ordem superior
{f}^{(n)}(x_0) {f}^{(n)}
{y}^{(n)}|_{x=x_0} {y}^{(n)}
\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}|_{x=x_0} \frac{\mathrm{d} ^n y}{\mathrm{d}x^ n}
Derivadas de ordem superior após operação
Adição e subtração
[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}
multiplicação
Fórmula Fórmula Leibniz
({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(nk)}{v}V^{ (k)}}
onde {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}
diferencial
Conceito diferencial
Defina diferencial \mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta x ou \mathrm{d}{f}(x)|_{x=x_0}=A \Delta x
Interpretação Geométrica de Diferenciais
Definir funções diferenciáveis
natureza
Invariância de formas diferenciais de primeira ordem
Regras aritméticas de diferenciação de fórmulas
\mathrm{d}[{u}(x) \pm {v}(x)] = \mathrm{d} {u}(x) \pm \mathrm{d} {v}(x)
\mathrm{d}[{u}(x) {v}(x)] ={v}(x) \mathrm{d}{u}(x) {u}(x) \mathrm{d} {v }(x)
\mathrm{d} \frac{{u}(x)}{{v}(x)}= \frac{{v}(x) \mathrm{d} {u}(x) - {u} (x ) \mathrm{d} {v} (x)}{{v} ^2 (x)}
\mathrm{d} ({f }\circ {g} (x))= {f} '(u) g '(x) \mathrm{d} x ={f} ' ({u}) \mathrm{ d}{você}
Diferenciais de ordem superior
Defina o diferencial de segunda ordem \mathrm{d} ^2 y ={f} ''(x) \mathrm{d} {x^2}
Defina diferencial de ordem superior \mathrm{d}^n y = {f} ^{(n)} (x) \mathrm{d} x^n
não tem mais invariância formal
Aplicação de Cálculo Diferencial em Cálculos Aproximados
Cálculo aproximado de funções
para substituir a música diretamente
{f} (x_0 \Delta x) \approx {f} (x_0) {f} ' (x_0) \Delta x , \Delta x é muito pequeno
{f} (x) ={f} (x_0) {f} '(x_0) (x-x_0) ,x \aprox x_0
estimativa de erro
Limite de erro do valor medido x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|
|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \aprox |{f} ' (x_0) \Delta x| \le |{f} '(x_0)|
Limite de erro relativo\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|
Notação de símbolo
\mathrm{d} ^2 x= \mathrm{d} (\mathrm{d} x)
\mathrm{d} x^2= (\mathrm{d} x)^2