Wondershare EdrawMind
마인드 맵 갤러리 Высшая математика Глава 1. Предел, функция, непрерывность
- 1
Высшая математика Глава 1. Предел, функция, непрерывность
Математика вступительных экзаменов в аспирантуру, вычисление пределов расширенных чисел, свойства пределов, девять часто используемых методов поиска пределов, типы вопросов о предельных функциях и т. д.
2023-12-13 20:26:39에 편집됨
Высшая математика Глава 1. Предел, функция, непрерывность
- 추천 사항
- 개요
центральная тема
свойства пределов
предел последовательности
определение
Геометрический смысл: для любой ε-окрестности точки a, то есть открытого интервала (a−ε, a ε), должно существовать N. Когда n>N, то есть все точки x0 после N-го элемента попадают в открытый интервал (a−ε, aε), и только ограниченное число (не более N) находится вне этого интервала.
Существует ли предел последовательности/чему равно предельное значение, совершенно не зависит от предыдущего конечного члена. Изменение/удаление конечного члена последовательности не повлияет на ее сходимость.
предел функции
определение
Независимая переменная стремится к бесконечности: обратите внимание, что x→∞ в пределе функции относится к ∣x∣→ ∞
Независимая переменная стремится к конечному значению: здесь x стремится к x0 и не равна x0. Предельное значение связано только со значением производной в децентрированной окрестности x=x0.
Определение наличия лимитов
Левый и правый пределы существуют и равны
Необходимо обсудить три случая левого и правого пределов: ①Предел кусочной функции в точке разделения ②предел типа e∞ ③arctan∞ тип бесконечности
Три свойства пределов
Ограниченность
Ограниченность предела последовательности: xn должна быть ограничена, чтобы сходиться, но ограниченность не обязательно означает, что она будет сходиться.
Локальная ограниченность предела функции: если limx→x0f(x) существует, Тогда f(x) ограничена в децентрированной окрестности точки x0.
Если предел существует в какой-то точке, можно сделать вывод, что он локально ограничен в этой точке, но обратное неверно.
Помните контрпример sin1/x
Сохранение числа (предел последовательности соответствует пределу функции) limx→x0f(x)=A
Если A>0(<0), то f(x)>0(<0) в окрестности центроида
Если f(x)≥0 (≤0) в окрестности центроида, то A≥0 (≤0); Если f(x)>0 в окрестности центроида, также можно сделать вывод, что A≥0
Сохранение локального знака непрерывных функций: если функция f(x) определена в некоторой децентрированной окрестности x=точки 0<∣x−a∣<r, f(x) непрерывна в точке x=a и f(a)>0 (или <0), то существует некоторая (сплошная) окрестность∣x−a∣<δ, Для всех x в децентрированной окрестности всегда присутствует f(x)>0 (или <0).
Сохранение порядка: пусть limx→x0f(x)=a, limx→x0g(x)=b
Связь между значениями функции и предельными значениями
предельный критерий существования
Критерий зажима
Монотонный ограниченный критерий: монотонная ограниченная последовательность должна иметь предел.
Последовательность, монотонно возрастающая и имеющая верхнюю границу, должна иметь и предел. Последовательность, которая монотонно убывает и имеет нижнюю границу, должна иметь предел.
бесконечно малая сумма
бесконечно малая концепция
Бесконечно малое отношение: предположим, что limα(x)=0, limβ(x)=0.
свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых по-прежнему остается бесконечно малой. Произведение конечного числа бесконечно малых по-прежнему остается бесконечно малым. Произведение бесконечно малого количества и ограниченного количества по-прежнему бесконечно мало.
Невозможно расширить до бесконечности
бесконечное количество
понятие бесконечности
Часто используемые бесконечные сравнения пределов последовательности
Общие сравнения пределов функций с бесконечностью
свойства бесконечности
Произведение двух (также может быть расширено до конечных) бесконечных величин по-прежнему остается бесконечной величиной.
Сумма двух бесконечностей не обязательно бесконечна
Сумма бесконечной величины и ограниченной переменной по-прежнему остается бесконечной величиной.
Произведение бесконечной величины и ограниченной переменной не обязательно бесконечно.
Связь между бесконечностью и неограниченными переменными
Бесконечность должна быть безграничной, но неограниченность не обязательно означает бесконечность.
Бесконечность x бесконечность должна быть бесконечностью, но неограниченная x неограниченная не обязательно является неограниченной переменной.
Связь между бесконечностью и бесконечно малым
В том же пределе, если f(x) бесконечно, то 1/f(x) бесконечно мало; И наоборот, если f(x) бесконечно мало и f(x) не равно 0, то 1/f(x) бесконечно.
Девять часто используемых методов поиска пределов
①Правила рациональной эксплуатации
Следствие 1. Предельный ненулевой множитель можно найти первым. Следствие 2. Если lim f(x)/g(x) существует и lim g(x)=0, то должно существовать lim f(x)=0.
Следствие 3: Если lim f(x)/g(x) =A (A не равно 0, если limf(x)=0, то должно существовать lim g(x)=0
существует ± не существует = не существует Не существует ± не существует = не обязательно существует × (÷) не существует = не обязательно Не существует × (÷) не существует = не обязательно
Непрерывный (непрерывный ± прерывистый = прерывистый, остальное не обязательно) Дифференцируемый (дифференцируемый ± недифференцируемый = недифференцируемый, остальные не обязательно разные) Ряд (схождение ± расхождение = расхождение, остальное не обязательно)
базовый лимит
Общие выводы типа «1∞»: если limα(x)=0, limβ(x)=∞ и limα(x)limβ(x)=A, то lim(1 α(x))β(x) =еА
Эквивалентная бесконечно малая замена
Обычно используемый эквивалент бесконечно малого (когда x → 0)
принцип замещения
Вы можете изменить коэффициенты умножения и деления по своему желанию.
Аддитивная замена: соотношение двух членов сложения не является отрицательным. Вычитание Замена: неравенство между двумя членами вычитания.
Научитесь активно создавать эквивалентные бесконечно малые условия замены посредством сложения и вычитания.
Эквивалентная замена переменного верхнего предела интеграла
Лопида
3 обязательных условия для использования закона Лопиды
Если f(x) дифференцируемо до порядка n, использование правила Лопиды может происходить только до n−1 порядка f(x). Если f(x) имеет непрерывные производные n-го порядка, то, используя правило Л'Обитата, она может оказаться n-го порядка f(x)
Формула Тейлора
Критерий зажима
Определенное интегральное определение
Поставьте 1/n, найдите подынтегральную функцию и определите верхнюю и нижнюю границы интеграла.
Теорема о среднем значении
Теорема Лагранжа о среднем значении
Теорема об интегральном среднем значении
Обобщенная теорема интегралов о среднем значении
Тип вопроса о лимите функции
семь инфинитивов
0/0
Лопида
Формула Тейлора
Эквивалентная бесконечно малая замена
Бесконечность лучше бесконечности
Лопида
Числитель и знаменатель делятся на член высшего порядка (найти босса)
Когда X стремится к нулю, нижний уровень является боссом.
Когда X стремится к бесконечности, боссом является более высокий порядок.
0⋅∞
Станьте от 0 до 0 или от бесконечности до бесконечности.
∞−∞
Передать дифференцирование в тип от 0 до 0 (применимо к дробной разнице)
Рационализация радикальных выражений (применимо к радикальным различиям)
Если степень квадратного корня выше, рассмотрим теорему Лагранжа о среднем значении или (1 x)α−1∼αx
Когда в функции нет знаменателя
Добавьте бесконечные множители и создайте эквивалентную бесконечно малую замену.
Замена
Формула Тейлора
1∞
переписано в экспоненциальной форме
Составьте второй важный предел
∞0 и 00
Это форма степенной функции, переписанная как ln в экспоненциальной форме e
Вывод обобщения: α(x)→0, α(x)β(x)→0, тогда (1 α(x))β(x)−1∼α(x)β(x)