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マインドマップギャラリー 高校数学の基礎知識（二次関数、方程式、不等式）
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高校数学の基礎知識（二次関数、方程式、不等式）
高校数学の基礎知識（二次関数、方程式、不等式）、等式、不等式の性質を含むマインドマップです。 基本的な不等式（平均不等式）など
2024-03-13 23:01:30 に編集されました
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1 変数の二次関数、方程式、不等式
二次関数、二次方程式、不等式
二次関数
二次関数のグラフ
関数 y=x² と関数 y=ax² (a≠0) のグラフの関係
y=ax² (a≠0) の画像は、y=x² の画像の各点の横座標をそのまま、縦軸を a 倍したものになります。
a は画像開口部の方向とサイズを決定します。a が大きいほど、画像開口部は小さくなります。
関数 y=ax² (a≠0) のグラフと関数 y=a(x h)² k (a≠0) の関係
y=ax² は、{h>0、h 単位の長さを左に変換、h<0、h 単位の長さを右に変換} を通過して、y=a(x h)² を取得します。
y=a(x h)² は、{k>0、k 単位長を上方向に変換、k<0、下方向に k 単位長を変換} を通過して、y=a(x h)² k を取得します。
関数 y=ax² bx c (a≠0) を y=a(x h)² k の形に定式化した後、y=ax² (a≠0) の画像を左右上下に移動すると得られます。
二次関数の性質
二次関数の 3 つの性質
二次関数の頂点座標 (-h, k) がわかっている場合、二次関数は y=a(x h)² k (a≠0) と表すことができます。
方程式 ax² bx c=0 (a≠0) の 2 つの根が x1 と x2 (放物線と横軸の X 軸の交点) であることがわかっている場合、二次関数は y= として表すことができます。 a(x-x1)(x -x2)（a≠0）
関数 y=ax² bx c (a≠0) の性質
関数 a>0
開く方向
上
頂点座標
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
対称軸
x=-b/(2a)
最大値と最小値の問題
x=-b/(2a) の場合、関数には最小値 (4ac-b²)/(4a) があり、最大値はありません。
関数 a<0
開く方向
下
頂点座標
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
対称軸
x=-b/(2a)
最大値と最小値の問題
x=-b/(2a) の場合、関数には最大値 (4ac-b²)/(4a) があり、最小値はありません。
1変数の2次方程式の概念
コンセプト
等号の両辺が整数であり、未知数 (単項) が 1 つだけ含まれ、未知数の最高次数が 2 次である方程式。
一般形式: y=ax² bx c (a≠0)
二次方程式の解法
1 変数の 2 次方程式の根とも呼ばれます。
1. a≠0のとき、この方程式は二次方程式であると言えます。 2. テキストで y=ax² bx c が二次方程式であると明確に述べられている場合、それは a≠0 の条件を意味します。 3. c は定数項 (または 0 次項の係数とみなすことができます)
1変数の2次方程式の解
直接平方根を使用して 1 変数の二次方程式を解く
一般に、平方根の定義を用いて直接平方根をとり、二次方程式の解を求める方法を直接平方根法といいます。
(ax b)²=c (c≥0) の形式の二次方程式の場合、解は x=(±Ö(c) -b)/a となります。
注: 直接平方根法を使用する場合は c ≥ 0、平方根を求める場合は ±√c に注意してください。
数式法を使用して 1 変数の 2 次方程式を解く
意味
ax² bx c=0 (a≠0) の形式の二次方程式は、左端に未知の数、右端に非負の定数を持つ完全な平方方程式に変換されます。これは次の式で直接解くことができます。平方根法。
一般的な手順
アイテムを移動する
方程式の左側に二次項と一次項のみを含め、右側を定数項にします。
aを1に設定します
方程式の両辺を二次項の係数で割って、二次項の係数を 1 に変更します。
式
線形項の係数の 2 乗の半分を方程式の両辺に加算します (つまり、一般形式で [b/(2a)]² を加算します)。 元の方程式を (x-n)²=m の形式に変換します (つまり、[x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²) に変換されます)。
m≥0 の場合は、平方根法を直接使用して解決します。
m<0 の場合、元の方程式には実根がありません。つまり、方程式には実数解がありません。
数式法を使用して 1 変数の 2 次方程式を解く
ax² bx c=0 (a≠0) において、b²-4ac≧0 のとき、式 x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) に a、b、c を代入すると、次の方程式が得られます。根
二次方程式の根公式の導出過程は、調整法の一般的なステップの平方根シフトに従うことによって得られます。
数式法を使用して 1 変数の 2 次方程式を解く前提は、b²-4ac≥0 です。ここで、Δ=b²-4ac は判別式と呼ばれます。
Δ=b²-4ac>0 の場合、方程式には 2 つの異なる実根 x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) が存在します。
Δ=b²-4ac=0 の場合、方程式には 2 つの同一の実根 x1=x2=-b/(2a) が含まれます。
Δ=b²-4ac<0 の場合、実根は存在しません。
Δ=b²-4acの役割 1. 方程式を解かずに根を求める 2. 式に従って文字係数の値の範囲を決定します。 3. 1 変数の 2 次方程式の根に関する問題を話し合って解決します。 4.Δ=0 は、方程式に 1 つの根だけではなく 2 つの同一の根があることを意味します。
数式法を使用して 1 変数の二次方程式を解く一般的な手順
一般形式 ax² bx c=0 (a≠0) に変換します。
a、b、cの値を決定します
Δ=b²-4acの値を計算します。
Δ=b²-4ac の値に基づいてルート状況を決定します。
実根がある場合は、数式法を使用して方程式 x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) を解きます。
1. 方程式中に未知の文字が含まれる場合、それを定数として扱う必要があります。まず、方程式を未知数に関する式の一般形に整理し、b²-4ac≧0 という前提の下で根を求める公式を使用します。 2. 質問内の文字の値の範囲に注意して議論します。
1変数の2次方程式を解く因数分解法
ファクタリングの定義
意味
二次方程式を解くときは、まず 2 つの一次方程式の積が 0 になる形になるように因数分解し、次に 2 つの一次方程式をそれぞれ 0 にすることで次数を削減します。二次方程式を解く方法を因数分解法といいます
理論的根拠
2 つの係数の積がゼロに等しい場合、2 つの係数の少なくとも 1 つがゼロに等しい、つまり、ab=0 の場合は、a=0、または b=0 になります。
メインメソッド
共通因子抽出法
二乗差の公式を使用する
a²-b²=(a b)(a-b)
完全二乗公式を使用する
a²±2ab b²=(a±b)²
相互乗算
x² Cx D=0 の場合、D=ab、C=a b、x² Cx D=(x a)(x b) を見つけることができます。
二次方程式の根と係数の関係
根と係数の関係
ヴェーダの定理
x1 x2=-b/a、x1・x2=c/a
根と係数の関係の重要な帰結
結果 1
方程式 x² px q=0 の場合、x1 x2=-p、x1·x2=q となります。
結果 2
2 つの数値 x1 と x2 を根とする 1 変数の 2 次方程式 (2 次項の係数は 1) は、x²-(x1 x2)x x1・x2=0 と表すことができます。
含まれる条件
方程式は二次方程式です。つまり、二次項の係数はゼロではなく、a≠0です。
方程式には実根があります。つまり、Δ=b²-4ac≥0 の場合です。
当然の変種
x1² x2²=(x1² 2x1・x2 x2²)-2x1・x2=(x1 x2)²-2x1・x2
1/x1 1/x2=(x1 x2)/(x1・x2)
(x1 a)(x2 a)=x1・x2 a(x1 x2) a²
|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)
根と係数の関係について説明します。
二次方程式 ax² bx c=0 (a≠0) の 2 つの根が x1 と x2 である場合、
Δ≧0かつx1・x2>0
x1 x2>0
どちらの根も正の数です
×1×2＜0
どちらも負の数です
Δ＞0かつx1・x2＜0
x1 x2>0
2 つの根の符号は異なり、正の根の方が絶対値が大きくなります。
×1×2＜0
2 つの根は符号が異なり、負の根の方が絶対値が大きくなります。
方程式および連立方程式の解法
一般に、方程式のすべての解の組み合わせの集合を、この方程式の解集合と呼びます。
各方程式の解セットの共通部分が方程式系の解セットです。
1 変数の二次不等式
コンセプト
意味
一般に、未知数が 1 つだけ含まれ、未知数の最高次数が 2 である不等式を 1 変数 2 次不等式と呼びます。 1 変数の 2 次不等式の一般形式は ax² bx c＞0、または ax² bx c＜0 です。ここで、a、b、c はすべて定数、a≠0
式。a、b、c はすべて定数、a≠0
ax² bx c≤0
ax² bx c＜0
ax² bx c≧0
ax² bx c>0
解セット、a、b、c はすべて定数、a≠0
ax² bx c≧0
y=ax² bx c の関数値が 0 以上となるような独立変数 x の値の集合
ax² bx c>0
y=ax² bx c の関数値が正の数となるような独立変数 x の値の集合
ax² bx c≤0
y=ax² bx c の関数値が 0 以下となるような独立変数 x の値の集合
ax² bx c＜0
y=ax² bx c の関数値が負の数となるような独立変数 x の値の集合
二次関数のゼロ点
一般に、二次関数 y=ax² bx c の場合、ax² bx c=0 を y=ax² bx c のゼロ点にする実数 x を呼びます。
1 変数の二次不等式の解
Δ=b²-4ac
Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac＝0
Δ=b²-4ac＜0
y=ax² bx c
y=ax² bx c>0
y=ax² bx c=0
y=ax² bx c＜0
判別式と関数の不等式関係を組み合わせ、画像解析により不等式の解を解きます。
部分不等式の解決策
分数不等式の 4 つの形式と解
f(x)/g(x)＞0 ⇔ f(x)・g(x)＞0
f(x)/g(x)＜0 ⇔ f(x)・g(x)＜0
f(x)/g(x)≧0 ⇔ f(x)・g(x)≧0 かつ g(x)≠0 ⇔ f(x)・g(x)＞0 かつ f(x)= 0
f(x)/g(x)≦0 ⇔ f(x)・g(x)≦0、かつ g(x)≠0 ⇔ f(x)・g(x)＜0、かつ f(x)= 0
不等式と不等式群の間の同じ解の関係
f(x)・g(x)≧0
f(x)≧0、かつg(x)≧0
または、f(x)≤0、および g(x)≤0
f(x)・g(x)≤0
f(x)≥0、かつ g(x)≤0
または、f(x)≤0、および g(x)≥0
不平等が恒常的に確立されるという問題
不等式の解集合が R である (または常に真である) という条件
y=ax² bx c
a=0の場合
b=0，c>0
y=ax² bx c>0 は常に true
b=0、c＜0
y=ax² bx c＜0 は常に true
a≠0の場合
a>0、Δ<0
y=ax² bx c>0 は常に true
a<0、Δ<0
y=ax² bx c＜0 は常に true
不等式が一定の場合のパラメータ値の範囲を求める方法
y=f(x)≤a 常に成り立つ ⇔ f(x)max≤a
y=f(x)≧a 常に成り立つ ⇔ f(x)min≧a
1変数の2次方程式の根の分布
前提条件
方程式 ax² bx c=0 (Δ＞0、a≠0) に 2 つの等しくない根 x1、x2、x1＜x2 があるとすると、対応する関数は y=ax² bx c となります。
ケース 1: 2 つの根の大きさを 0 と比較する、つまり、根の正負の条件を比較します。
a>0
x1＜x2＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < 0 ③f(0)>0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < 0 ③a・f(0)>0
0＜×1＜×2
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > 0 ③f(0)>0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > 0 ③a・f(0)>0
x1＜0＜x2
①f(0)＜0
①a・f(0)＜0
a<0
x1＜x2＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < 0 ③f(0)＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < 0 ③a・f(0)>0
0＜×1＜×2
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > 0 ③f(0)＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > 0 ③a・f(0)>0
x1＜0＜x2
①f(0)>0
①a・f(0)＜0
状況 2: 2 つの根と k の大きさの比較
a>0
x1＜x2＜k
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < k ③f(k)＞0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < k ③a・f(k)＞0
k＜x1＜x2
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > k ③f(k)＞0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > k ③a・f(k)＞0
x1＜k＜x2
①f(k)＜0
①a・f(k)＜0
a<0
x1＜x2＜k
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < k ③f(k)＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) < k ③a・f(k)＞0
k＜x1＜x2
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > k ③f(k)＜0
①Δ＞０ ②対称軸-b/(2a) > k ③a・f(k)＞0
x1＜k＜x2
①f(k)>0
①a・f(k)＜0
ケース 3: 区間上の根の分布 (m＜n＜p＜q)
a>0
m＜x1＜x2＜n
①Δ＞０ ②f(m)＞0 ③f(n)>0 ④m＜対称軸-b/(2a)＜n
①Δ＞０ ②f(m)・f(n)＞0 ③m＜対称軸-b/(2a)＜n
m＜x1＜n＜x2、またはx1＜m＜x2＜n
①f(m)・f(n) < 0
①f(m)・f(n) < 0
m＜x1＜n＜p＜x2＜q
①f(m)＞0 ②f(n)＜0 ③f(p)＜0 ④f(q)>0 または ①f(m)・f(n) < 0 ②f(p)・f(q) < 0
①f(m)・f(n) < 0 ②f(p)・f(q) < 0
a<0
m＜x1＜x2＜n
①Δ＞０ ②f(m)＜0 ③f(n)＜0 ④m＜対称軸-b/(2a)＜n
①Δ＞０ ②f(m)・f(n)＞0 ③m＜対称軸-b/(2a)＜n
m＜x1＜n＜x2、またはx1＜m＜x2＜n
①f(m)・f(n) < 0
①f(m)・f(n) < 0
m＜x1＜n＜p＜x2＜q
①f(m)＜0 ②f(n)>0 ③f(p)>0 ④f(q)＜0 または ①f(m)・f(n) < 0 ②f(p)・f(q) < 0
①f(m)・f(n) < 0 ②f(p)・f(q) < 0
ケース 4: 区間 x1＜m, x2＞n 上の根の分布
a>0
①f(m)＜0 ②f(n)＜0
a<0
①f(m)＞0 ②f(n)>0
特別なケース
私
与えられた f(x) 関数区間 (m,n) に f(m)=0 または f(n)=0 がある場合、f(m)・f(n)<0 は満たされません。 m)=0、または f(n)=0 の場合、m または n が方程式の解の 1 つであることは簡単にわかります。つまり、方程式は ax² bx c=(x-m) の形式で書くことができます。 ·(Ax B)、つまり A 因子 (x-m) [または (x-n)] があることを意味します。方程式のもう一方の根を見つけて、それが区間 (m, n) に属するかどうかを判断し、パラメータの値または範囲
ii
上記の状況 1、状況 2、状況 3、状況 4 は、いずれも Δ=0 の状況を無視して、Δ＞0 の場合に議論した結果です。実際に問題を解く際には、それを満たす条件があるかどうかを必ず考慮してください。 Δ=0の条件 パラメータ値
基本的な不等式 (平均不等式)
重要な不平等
a、b∈R の場合、
次に、a²≥0 (a=0 の場合に限り、等号が得られます)
|a|≥0、(等号は a=0 の場合にのみ取得されます)
(a-b)²≥0
a² b²≧2ab
[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²
(a b)²≥4ab
a=b の場合にのみ等号を取得します。
基本的な不平等
a>0の場合、b>0
すると: (2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)
基本不等式: 調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 算術平均 ≤ 平方平均
メモリ: 数値を調整し、式を計算します。
基本的な不等式の最適値を求める場合、1 つの正の条件、2 つの明確な条件、および 3 つの等しい条件を満たす必要があります。
正の数の合計は定数値であり、正の数の積は最大値になります。
正の数の積は定数値であり、正の数の合計には最小値があります。
基本的な不等式の拡張
3 つの正の数の算術平均 - 幾何平均不等式
a、b、c∈R の場合: (a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
等号は、a=b=c の場合にのみ有効です。
n 個の正の数の算術平均 - 幾何平均不等式
A1、A2、...An∈R の場合: (A1 A2...An)/n ≥ (A1·A2·...An)^(1/n)
等価性と不平等性のプロパティ
平等と不平等
方程式の概念
等号を含む式を方程式といいます
不平等の概念
数学記号 ≠ ＞ ＜ ≧ ≤ を使用して 2 つの数値または代数式を結び、これらの不等号を含む式を不等式と呼びます。
同じ方向の不平等と反対方向の不平等の概念
同じ方向の不平等
2 つの不等式の左側が右側より大きい (または小さい) 場合、2 つの不等式は同じ方向の不等式と呼ばれます。
異種不平等
1 つの不等式の左側が右側より大きく、別の不等式の右側が左側より大きい場合、2 つの不等式は反対の不等式と呼ばれます。
よく使われる不等号
＞より大きい、＜より小さい、以上（少なくとも、以上）≧、以下（最大、以下）≦
差分法は 2 つの実数 (代数式) を比較します。
a-b>0 の場合、a>b
a-b<0 の場合、a<b
a-b=0 の場合、a=b
2 つの実数を比較するには、その差と 0 との関係を判断するだけで済みます。
方程式の基本的な性質
a=b の場合、b=a
a=b、b=c の場合、a=c
a=b の場合、a±c=b±c
a=b の場合、ac=bc
a=b の場合、a/c=b/c (c≠0)
拡張: a=b の場合、a^n=b^n (n∈N,N≥2)
拡張: a=b>0 の場合、a^(1/n)=b^(1/n) (n∈N,N≥2)
不等式の性質
1対称性
a＞b⇔b＜a
可逆
2 推移性
a>b、b>c⇒a>c
同じ方向に
3 相加性
a＞b⇔a c＞b c
可逆
転送ルール
a b＞c⇔a＞c-b
可逆
4 乗算可能性
a>b、c>0⇒ac>bc a>b、および c<0⇒ac<bc
c>0 または c<0 の状況に注意してください。
5 同じ方向の相加性
a>b かつ c>d ⇒a c>b d
同方向に追加可能
6 同方向および同正方向の乗算性
a>b>0かつc>d>0、⇒ac>bd
同方向、同方向の乗算が可能
7 指数関数
a＞b＞0，⇒a^n＞b^n（n∈N,N≧2）
同正はべき乗できる
同じ方向の不等式は減算できず、逆方向の不等式は加算できません。
よく使われる不等式
互恵的な性質
a>b、ab>0、⇒(1/a)<(1/b)
不等式の性質 4
a＜0＜b，⇒(1/a)＜(1/b)
a>b>0、および 0<c<d、⇒(a/c)>(b/d)
0＜a＜x＜b (またはa＜x＜b＜0)、⇒(1/b)＜(1/x)＜(1/a)
分数特性
a>b>0、m>0 の場合、
固有分数の性質
(b/a)<[(b m)/(a m)]
(b/a)>[(b-m)/(a-m)]、ただし b-m>0
つまり、固有の分数の分子と分母に同じ正の数を同時に加えると、その分数の値は大きくなります。
仮分数の性質
(a/b)>[(a m)/(b m)]
(a/b)<[(a-m)/(b-m)]、ただし b-m>0
つまり、仮分数の分子と分母に同じ正の数を同時に加えると、分数の値は小さくなります。