マインドマップギャラリー 多変数関数の微分法とその応用
多変量関数の微分積分とその応用: 二重極限: p (x, y) 何らかの方法で特定の点に近づくと、 f (x, y) は A に無限に近づきます。 、 f (x 、y) が異なる値になる傾向がある場合、関数の制限は存在しません。
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1変数関数の微分の概念と計算
多変数関数の微分法とその応用
微分積分のマインドマップ
本旨
1 つの変数から 2 つの変数、さらに複数の変数への関数の一般化
二項関数を研究する主な方法は、二項関数を単項関数に変換することです。
一部のプロパティは一方向と多方向で異なります
基本的な考え方
限界と継続
ダブルリミット
p (x, y) が何らかの点に近づくと、f (x, y) は A に限りなく近づきます。
さまざまな方法で特定の点に近づくと、f(x,y) は異なる値になる傾向があり、関数の制限は存在しません
制限演算は 1 変数関数に似ています。証明はありません。例を見つけてください。
連続
制限が存在し、関数の値と等しい
複数の変数のすべての初等関数は、その領域内で連続です。
有界閉領域上の連続関数の性質
最大値定理
中間値定理
関数は制限されています
中間値定理の帰結
偏導関数
どの変数の偏導関数を求め、他の変数を定数として扱います
本質は 1 変数関数の導出です
幾何学的意味: 表面と定平面の交点における、この点における独立変数軸の接線の傾き
微分可能性
意味
フルデルタ
2 項関数の合計増分は部分増分の合計に等しい
状態
必要な条件: すべての偏導関数が存在する
十分条件: z=f(x,y) の各偏導関数は点 (x,y) で連続です。
アプリケーション: 近似計算
方向導関数
z=f(x,y) は、(x,y) の方向 l に沿って速度を変更します
接続する
サブトピック
計算する
レベル1
ある連続点で
使用定義
最初に導関数を見つけてから値を取得します
第一世代の値とその後の導出
ある不連続点で
定義を使用して検索する
高度な
導出公式を使用する
多変数複合関数
連鎖法則
外側の関数は微分可能であり、内側の関数も微分可能です (中間変数はすべて単項です)。
外側の関数は微分可能であり、内側の関数は連続偏導関数を持ちます。
中間変数は単変量と多変量の両方です
高次の偏導関数
純粋なたわみ
混合偏導関数
暗黙的な関数
暗黙的な関数の存在を確認する方法
数式法
方程式の両辺を使用して、変数に関する導関数または偏導関数を同時に導出します。
一次全微分形式の不変性を利用する
連立方程式の陰関数の導関数
合計差額
裁判官
定義を使用して偏微分を求め、次に合計微分を求めます。
一次全微分形式の不変性
du=Pdx Qdy であることが知られており、u を見つけます
総微分の幾何学的意味
応用
ある点における曲線の接線ベクトル/法線平面
ある点における表面の法線ベクトル/接平面
方向性導関数と勾配
正の x 軸に沿った方向導関数が存在する場合、それはこの点での x に関する関数の偏導関数と等しくなければなりません。
関数が微分可能な場合、方向導関数 = fx (x, y) cos α + fy (x, y) cos β
勾配方向に沿って最も速く増加します (方向導関数の最大値は勾配のモジュールに等しい)
全微分の幾何学的意味: 接平面上の点の垂直座標の増分
多変量関数の極値
無条件の極値
幾何学的意味を使用して極値を見つける
2 つの変数の定常点を求め、2 次偏導関数は連続です
AC-B²>0 は極値をとり、A>0 は最大値をとり、A<0 は最小値をとります。
AC-B²<0は極値をとらない
AC-B²=0 は回帰定義または幾何学的意味を決定できません
条件付き極値
条件を代入してみる
ラグランジュ乗数法
多変量関数の最大値
領域内の静止点
境界上の最大点