マインドマップギャラリー 数学的分析
数理解析の主な研究内容は、関数、極限、微積分、級数などです。このうち微積分は微分積分と積分を総称したものです。微積分の理論的基礎は極限理論であり、極限理論の理論的基礎は実数理論です。
2024-11-03 21:00:54 に編集されましたルミ:精神的な目覚めの10次元。あなたが自分自身を探すのをやめるとき、あなたが探しているのはあなたを探しているので、あなたは宇宙全体を見つけるでしょう。あなたが毎日忍耐することは何でもあなたの精神の深みへの扉を開くことができます。沈黙の中で、私は秘密の領域に滑り込み、私は私の周りの魔法を観察するためにすべてを楽しんだが、何の騒ぎをしなかった。翼で生まれたときに、なぜcraいるのが好きですか?魂には独自の耳があり、心が理解できないことを聞くことができます。すべてへの答えを内向きに求めてください、宇宙のすべてがあなたの中にあります。恋人たちはどこかで会うことはなく、この世界には別れもありません。傷は光があなたの心に入るところです。
慢性心不全は、心拍数の速度の問題だけではありません!これは、心筋収縮と拡張期機能の減少によって引き起こされ、それが不十分な心拍出量につながり、肺循環の鬱血と全身循環のうっ血を引き起こします。原因、誘導、補償メカニズムまで、心不全の病態生理学的プロセスは複雑で多様です。浮腫を制御し、心臓の前面と後負荷を減らし、心臓の快適機能を改善し、基本的な原因を予防し、治療することにより、この課題に効果的に対応できます。心不全とマスタリング予防と治療戦略のメカニズムと臨床的症状を理解することによってのみ、心臓の健康をよりよく保護できます。
虚血再灌流損傷は、臓器や組織が血液供給を回復すると、細胞機能と代謝障害、構造的損傷が悪化する現象です。その主なメカニズムには、フリーラジカル生成の増加、カルシウム過負荷、および微小血管および白血球の役割が含まれます。心臓と脳は一般的な損傷した臓器であり、心筋の代謝と超微細構造の変化、心機能の低下などの変化として現れます。予防と制御の測定には、フリーラジカルの除去、カルシウム過負荷の減少、代謝の改善、低温、低温、低圧などの再灌流条件の制御が含まれます。これらのメカニズムを理解することは、効果的な治療オプションの開発に役立ち、虚血性損傷を軽減するのに役立ちます。
ルミ:精神的な目覚めの10次元。あなたが自分自身を探すのをやめるとき、あなたが探しているのはあなたを探しているので、あなたは宇宙全体を見つけるでしょう。あなたが毎日忍耐することは何でもあなたの精神の深みへの扉を開くことができます。沈黙の中で、私は秘密の領域に滑り込み、私は私の周りの魔法を観察するためにすべてを楽しんだが、何の騒ぎをしなかった。翼で生まれたときに、なぜcraいるのが好きですか?魂には独自の耳があり、心が理解できないことを聞くことができます。すべてへの答えを内向きに求めてください、宇宙のすべてがあなたの中にあります。恋人たちはどこかで会うことはなく、この世界には別れもありません。傷は光があなたの心に入るところです。
慢性心不全は、心拍数の速度の問題だけではありません!これは、心筋収縮と拡張期機能の減少によって引き起こされ、それが不十分な心拍出量につながり、肺循環の鬱血と全身循環のうっ血を引き起こします。原因、誘導、補償メカニズムまで、心不全の病態生理学的プロセスは複雑で多様です。浮腫を制御し、心臓の前面と後負荷を減らし、心臓の快適機能を改善し、基本的な原因を予防し、治療することにより、この課題に効果的に対応できます。心不全とマスタリング予防と治療戦略のメカニズムと臨床的症状を理解することによってのみ、心臓の健康をよりよく保護できます。
虚血再灌流損傷は、臓器や組織が血液供給を回復すると、細胞機能と代謝障害、構造的損傷が悪化する現象です。その主なメカニズムには、フリーラジカル生成の増加、カルシウム過負荷、および微小血管および白血球の役割が含まれます。心臓と脳は一般的な損傷した臓器であり、心筋の代謝と超微細構造の変化、心機能の低下などの変化として現れます。予防と制御の測定には、フリーラジカルの除去、カルシウム過負荷の減少、代謝の改善、低温、低温、低圧などの再灌流条件の制御が含まれます。これらのメカニズムを理解することは、効果的な治療オプションの開発に役立ち、虚血性損傷を軽減するのに役立ちます。
数学的分析
他の
最大値/最小値を定義する
ピンチ定理
実数の完全性の基本定理の証明
実数理論
異常積分
定積分の応用
定積分
8 つの不定積分
不定積分の概念と基本的な積分公式
オリジナル関数を定義する
定理: 関数が区間 で連続である場合、元の関数は に存在します。
定理 {F}(x) が区間 I 上の {f}(x) の原始関数であると仮定すると、区間 I 上の F(x) のすべての原始関数は F(x) {\color{red } C 、C \in R}
不定積分の定義
ポイント数
被積分関数
被積分関数式
量
基本ポイント表
置換による統合と部品による統合
定理置換法
1
2
部品による統合
有理関数は有理関数の不定積分に還元できる
有理関数の不定積分
有理関数
定義 有理関数
真分数/仮分数の定義
定義 三角有理式
半角置換
いくつかの単純な無理数式の不定積分
6. 微分平均値定理とその応用
ラグランジュの定理と関数の単調性
ロールの定理とラグランジュの定理
定理 ロールの定理
定理 ラグランジュの平均値定理
幾何学的な意味
同等の表現
{f} (b) -{f} (a) = {f} ' ( a \theta (b - a)) (b- a) , 0< \theta <1
{f} (a -h) -{f} (a) = {f} ' (a \theta h) h , 0< \theta <1
{f} (b) - {f} (a)= {f} ' ( \xi) (b - a) 、 a < \xi <b
単調関数
微分関数定理の単調性の判定
{f}(x) を区間 I で微分可能とする
{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)
微分関数定理の厳密な単調性の判定
{f} (x) を区間 \left ( a,b \right) で微分可能とする
すべての x \in \left ( a,b \right ) に対して、 {f}' (x) \ge 0 ( \le 0) があります。
{f}'(x) e \left ( a,b \right ) の任意の自己間隔で 0
この判断は、関数が区間の閉じた側で片側連続である場合にも当てはまります。
必然的に、関数 {f} が区間 I で微分可能であると仮定します。 {f}' (x) >0 ({f}' (x) < 0) の場合、{f} は I で厳密に増加 (減少) します。
定理 ダルブーの定理(微分関数の中間値定理)
必然的に、関数 {f} (x) が区間 I で {f}' (x) e 0 を満たすと仮定すると、{f} (x) は区間 I で厳密に単調になります。
コーシーの平均値定理と無限極限
コーシーの平均値定理
幾何学的な意味
\begin{vmatrix} {f} (a) & {f} (b) & {f} '( \xi) \\ {g} (a) & {g} (b) & {g} '( \xi ) \\ {h}(a) & {h} (b) & {h} '(\xi) \end{vmatrix} =0 if xxxx
不定限界
不定詞を定義する
ロピダの法則#模倣
\frac{0}{0} タイプの制限
\frac{a}{\infin} 型の不定詞の制限
テイラー式
ペアノ剰余を含む式テイラー多項式
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i o (x^n)
証明する
ロピダの法則#模倣
導関数の定義
フォーミュラ・マクローリン・フォーミュラ
{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i
ラグランジュ型剰余を含むテイラー公式
定理 テイラーの定理
{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}
近似計算への応用
関数の極値と最大 (小さい) 値
極値判定
フェルマーの定理
定理の極値に対する最初の十分条件
{f} が点 x_0 で連続で、特定の近傍 U ^ {\circ} (x_0; \delta) で微分可能であるとします。
(i) If {f} '(x) \le 0 when x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f when x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0 の場合、{f} は x_0 での最小値を取得します。
(ii) x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0 のとき、x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' の場合(x) \le 0 の場合、{f} は x_0 での最大値を取得します。
定理の極値に対する 2 番目の十分条件
f が x_0 の特定の近傍 U (x_0; \delta) で 1 階微分可能であり、x=x_0 および {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) で 2 階微分可能であるとします。 e 0
{f}''(x_0) < 0 の場合、{f} は x_0 での最大値を取得します。
{f}''(x_0) > 0 の場合、{f} は x_0 での最小値を取得します。
定理の極値に対する 3 番目の十分条件
{f} が n-1 次までの導関数を持つ x_0 の特定の近傍に存在し、x_0 で n 次導出可能であり、{f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0
n が偶数の場合、{f} は x_0 での極値をとる
{f}^{(n)}(x_0)<0のときの最大値を求める
{f}^{(n)}(x_0)>0のときの最小値を取得します。
n が奇数の場合、{f} は x_0 で極値をとらない
⚠️注意
3 つの十分条件は、すべての極値点を決定するために適用されるわけではありません (たとえ微分可能であっても)。
{f}(x)= \begin{cases} e ^{- \frac{1}{x^2}}& \text{if} x e 0 \\ 0 & \text{if} x=0 \終了{件}
最大点には、それを単調にする左 (右) 近傍が存在しない可能性があります。
{f}(x)=2-x^2(2 \sin \frac{1}{x})
最大値と最小値
有界定理
安定点
導出不可能な点
間隔のエンドポイント
関数の凸点と変曲点
凸関数
凸関数の定義
厳密な凸関数を定義する
補題 f は、I 上の凸関数の必要十分条件です。
定理 f が区間 I で微分可能な関数であると仮定すると、次のステートメントは互いに等価です。
f は I 上の凸関数です
{f} ' は I の増加関数です
定理 f が区間 I 上の 2 階微分可能な関数であると仮定すると、f が I 上の凸関数であるための必要十分条件は {f} ''(x) \ge 0, x \in I です。
I 上の任意の 2 点 x_1、x_2 については、{f}(x_2) \ge {f}(x_1) {f} '(x_1) (x_2-x_1) となります。
推論
微分可能な凸関数の最小値の必要十分条件は、導関数がゼロであることです。
関数 {f} が開区間 \left ( a, b \right ) 上で定義された導出可能な凸数の場合
{f} '(x_0)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \left ( a,b \right ) は f の最小点です
開区間の凸関数が最大値をとらない
ジェンセン式 (Jensen) 不等式
{f} が \left [ a, b \right ] の凸関数の場合
\forall x_i \in \left [ a, b \right ], \lambda _i > 0 (i =1, 2, \dots ,n), \sum _{i=1}^{n} \lambda _i =1
{f} (\sum_{i=1}^{n} \lambda _i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda _i {f}(x_i) があります。
開区間 I 上の凸関数は、I 上の任意の点で左右の導関数を持ちます。
左右の微分がある場合は微分がない場合もあります
{f} は開いた区間 I 上の凸関数であり、{f} は I の任意の閉じた部分区間 \left [ a, b \right ] で制限されます。
凹関数
凹関数の定義
厳密に凹関数を定義する
凸関数に似たプロパティ
ターニングポイント #未完成
変曲点を定義する
定理
定理
関数グラフの議論
関数のグラフを作成するための一般的な手順
1. 関数のドメインを見つけます。
2. 関数のパリティと周期性を検査します。
3. 2 つの座標軸との交点、不連続点、微分不可能な点など、関数の特別な点をいくつか見つけます。
4. 関数の単調区間、極値点、凸区間、および変曲点を決定します。
5. 漸近線を調べる。
6. 上記の議論結果に基づいて、関数グラフを描画します。
式の近似解
1. 実数と関数の集合
実数
自然
四則演算の締めについて
秩序
比較のために有理数を無限小数に変換します
有限小数を無限小数として表現
サイズ
x=y
x>y
x<y
負でない実数が負の実数よりも大きいことを指定します
幾何学的な意味
サイズは推移的です
アルキメデスの性質を満たす
密度
連続
数集合*有限限界主義
間隔と近傍
間隔
有限間隔
無限の間隔
∞
-∞
上限/次の境界を定義する
上限/無限限界を定義する
遠く離れた
7. 実数の完全性
実数の完全性定理に関する基本定理
確実性の原理
有限間隔
無限の間隔
単調有界定理
閉区間定理
有限被覆定理
集合点定理\コンパクトネス定理
コーシー収束基準
実数完全性定理は互いに同等です
上限と下限
シーケンスの集合点を定義する
定理 有界点列 (sequence)\left \{ x_n \right \} には少なくとも 1 つの集合点があり、最大集合点と最小集合点が存在します。
上限と下限を定義する
定理\forall \left \{ x_n \right \} は有界であり、 \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n \le \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n があります
定理\lim _{x \to \infty} x_n =A \Longleftrightarrow \overline{\lim} _{x \to \infty} x_n = \underline{\lim} _{x \to \infty} x_n= A
定理 \{x_n\} が有界シーケンスの場合
定理の上限と下限における不等式の保存
定理 \{x_n\} が有界シーケンスの場合
機能コンセプト
意味
表記
四則演算
複雑な
逆関数
初等関数
特定のプロパティを持つ関数
境界性
単調性
パリティ
周期的な
2 シーケンスの制限
シーケンス制限の概念
定義 1
定義1’
無限小数列
無限シーケンス
自然
独自性
境界性
番号の保持
不平等を維持する
強制
四則計算のルール
サブカラム
意味
数列が収束するための必要十分条件
数列の極限が存在する条件
原理 単調有界原理
削減の原理
定理コンパクト性定理
コーシーの定理収束基準
3つの機能制限
機能制限を定義する
自然
独自性
局所的境界性
番号の保持
保証された不平等
強制
四則計算のルール
機能制限の存在条件
削減の原理
3.9
単調な境界
コーシー基準
無限に大きい量と無限に小さい量
微量
自然
2 つの微小量の和と差の積は依然として無限微量です
無限微量と有界量の積は無限微量です
比較する
高レベル/低レベル
同レベル
等価
交換する
無限の量
意味
比較する
関係
曲線の漸近線
意味
決定方法
4. 機能の継続性
継続性の概念
ある点における関数の連続性
関数を 1 点で連続になるように定義する
左(右)連続
必要十分条件
不連続
ブレークポイントを定義する
分類
第一種の不連続性
不連続性を除去できる
ジャンプブレークポイント
タイプ II の不連続性
一定間隔での連続関数
区間上の連続関数を定義する
区分的連続
連続関数の性質
連続関数の局所的性質
局所的境界性
ローカル番号の保存
四則演算
複雑な
閉区間上の連続関数の基本特性
最大値と最小値の定理
有界定理
定理中間性定理
定理ルートの存在定理
逆関数の連続性
一貫した継続性
一貫した連続性を定義する
原則は原則に帰着する
一貫した連続定理
初等関数の連続性
指数関数の連続性
初等関数の連続性
定理: すべての基本的な初等関数は、その定義域上で連続関数です。
定理: すべての初等関数は、定義された区間で連続関数です。
5 微分と微分
デリバティブの概念
デリバティブの定義
導関数の定義
{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\デルタ x \to 0} \frac{\デルタ y}{\デルタ x}=\lim_{\デルタ x\to 0} \frac{f(x_{0} \デルタ x)-f(x_{0})}{\デルタ x}
定義は導出できません
有限増分の公式
定理は微分可能です\Rightarrow 連続です (ただし、その逆はありません)
片側導関数を定義する
定理 {f}'(x_0) の存在条件
微分関数
導関数/導関数を定義する
導関数の幾何学的意味
正接方程式 y-y_0= {f}'(x_{0})(x-x_0)
極値を定義する
安定点を定義する
フェルマーの定理
帰結 関数 {f} が区間 I で微分可能で、{f}' (x) = 0, x \in I の場合、{f} は I 上の定数関数です。
当然の帰結 関数 {f} と {g} が両方とも区間 I で微分可能であり、 {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I である場合、区間 I では {f} ( x) ={g} (x) c (c は定数)
系定理 微分極限定理
式導出ルール
基本的な導出ルール
四則演算
(u \pm v) '=u ' \pm v '
(uv) '=u 'v v 'u
(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}
( \frac{1}{v}) '=- \frac{v '}{v^2}
逆関数の導関数
f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }
複合関数の導関数
({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}
基本的な初等関数の微分公式
(c) ' =0
(x^a) '=ax^{a-1}
\デルタ
(\sin x) '=\cos x
(\cos x) '=-\sin x
(\tan x) '=\sec^2 x
(\cot x)'=-\csc ^2 x
(\sec x) '=\sec x \tan x
(\csc x) '=-\csc x \cot x
(a^x) '=a^x\ln a
(e^x) '=e^x
(\log_{a}{x}) '=\frac{1}{x\ln a}
(\ln x) '=\frac{1}{x}
スキル
対数微分
パラメトリック関数の導関数
平面曲線 C のパラメトリック方程式
滑らかな曲線
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{ \mathrm{d}x}
高次導関数
二次導関数 {f} を定義します''
2階微分可能性を定義する
高次導関数を定義する
{f}^{(n)}(x_0) {f}^{(n)}
{y}^{(n)}|_{x=x_0} {y}^{(n)}
\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}|_{x=x_0} \frac{\mathrm{d} ^n y}{\mathrm{d}x^ n}
演算後の高次導関数
足し算と引き算
[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}
乗算
ライプニッツの公式
({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}
ここで、{u}^{(0)}={u}、{v}^{(0)}={v}
差動
ディファレンシャルコンセプト
微分 \mathrm{d}y|_{x=x_0}=A\Delta x または \mathrm{d}{f}(x)|_{x=x_0}=A \Delta x を定義します
微分の幾何学的解釈
微分可能関数を定義する
自然
一階微分形式の不変性
微分の公式の算術規則
\mathrm{d}[{u}(x) \pm {v}(x)] = \mathrm{d} {u}(x) \pm \mathrm{d} {v}(x)
\mathrm{d}[{u}(x) {v}(x)] ={v}(x) \mathrm{d}{u}(x) {u}(x) \mathrm{d} {v }(x)
\mathrm{d} \frac{{u}(x)}{{v}(x)}= \frac{{v}(x) \mathrm{d} {u}(x) - {u} (x ) \mathrm{d} {v} (x)}{{v} ^2 (x)}
\mathrm{d} ({f }\circ {g} (x))= {f} '(u) g '(x) \mathrm{d} x ={f} ' ({u}) \mathrm{だ{う}
高次微分
2 階微分 \mathrm{d} ^2 y ={f} ''(x) \mathrm{d} {x^2} を定義します
高次微分 \mathrm{d}^n y = {f} ^{(n)} (x) \mathrm{d} x^n を定義します
もはや形式的不変性を持たない
微分計算の近似計算への応用
関数の近似計算
曲を直接置き換えるには
{f} (x_0 \Delta x) \およそ {f} (x_0) {f} ' (x_0) \Delta x 、\Delta x は非常に小さい
{f} (x) ={f} (x_0) {f} '(x_0) (x-x_0) ,x \およそ x_0
誤差推定
測定値の誤差限界 x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|
|\デルタ y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \およそ |{f} ' (x_0) \デルタ x|
相対誤差制限\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|
記号表記
\mathrm{d} ^2 x= \mathrm{d} (\mathrm{d} x)
\mathrm{d} x^2= (\mathrm{d} x)^2