半角置換

幾何学的な意味

同等の表現

{f}(x) を区間 I で微分可能とする

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f} (x) を区間 \left ( a,b \right) で微分可能とする

すべての x \in \left ( a,b \right ) に対して、 {f}' (x) \ge 0 ( \le 0) があります。

{f}'(x) e \left ( a,b \right ) の任意の自己間隔で 0

この判断は、関数が区間の閉じた側で片側連続である場合にも当てはまります。

\frac{0}{0} タイプの制限

\frac{a}{\infin} 型の不定詞の制限

ロピダの法則#模倣

導関数の定義

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

{f} が点 x_0 で連続で、特定の近傍 U ^ {\circ} (x_0; \delta) で微分可能であるとします。

(i) If {f} '(x) \le 0 when x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f when x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0 の場合、{f} は x_0 での最小値を取得します。

(ii) x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0 のとき、x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' の場合(x) \le 0 の場合、{f} は x_0 での最大値を取得します。

f が x_0 の特定の近傍 U (x_0; \delta) で 1 階微分可能であり、x=x_0 および {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) で 2 階微分可能であるとします。 e 0

{f}''(x_0) < 0 の場合、{f} は x_0 での最大値を取得します。

{f}''(x_0) > 0 の場合、{f} は x_0 での最小値を取得します。

{f} が n-1 次までの導関数を持つ x_0 の特定の近傍に存在し、x_0 で n 次導出可能であり、{f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2, \dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

n が偶数の場合、{f} は x_0 での極値をとる

n が奇数の場合、{f} は x_0 で極値をとらない

3 つの十分条件は、すべての極値点を決定するために適用されるわけではありません (たとえ微分可能であっても)。

最大点には、それを単調にする左 (右) 近傍が存在しない可能性があります。

補題 f は、I 上の凸関数の必要十分条件です。

定理 f が区間 I で微分可能な関数であると仮定すると、次のステートメントは互いに等価です。

微分可能な凸関数の最小値の必要十分条件は、導関数がゼロであることです。

開区間の凸関数が最大値をとらない

ジェンセン式 (Jensen) 不等式

開区間 I 上の凸関数は、I 上の任意の点で左右の導関数を持ちます。

{f} は開いた区間 I 上の凸関数であり、{f} は I の任意の閉じた部分区間 \left [ a, b \right ] で制限されます。

比較のために有理数を無限小数に変換します

サイズ

∞

-∞

2 つの微小量の和と差の積は依然として無限微量です

無限微量と有界量の積は無限微量です

高レベル/低レベル

同レベル

等価

第一種の不連続性

タイプ II の不連続性

有界定理

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\デルタ x \to 0} \frac{\デルタ y}{\デルタ x}=\lim_{\デルタ x\to 0} \frac{f(x_{0} \デルタ x)-f(x_{0})}{\デルタ x}

定義は導出できません

有限増分の公式

定理は微分可能です\Rightarrow 連続です (ただし、その逆はありません)

定理 {f}'(x_0) の存在条件

安定点を定義する

フェルマーの定理

帰結 関数 {f} が区間 I で微分可能で、{f}' (x) = 0, x \in I の場合、{f} は I 上の定数関数です。

当然の帰結 関数 {f} と {g} が両方とも区間 I で微分可能であり、 {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I である場合、区間 I では {f} ( x) ={g} (x) c (c は定数)

系定理 微分極限定理

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

ライプニッツの公式

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

ここで、{u}^{(0)}={u}、{v}^{(0)}={v}

一階微分形式の不変性

曲を直接置き換えるには

測定値の誤差限界 x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\デルタ y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \およそ |{f} ' (x_0) \デルタ x|

相対誤差制限\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|