Substituição de meia largura

Significado geométrico

Representação equivalente

Seja {f}(x) diferenciável no intervalo I

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

Seja {f} (x) diferenciável no intervalo \left ( a,b \right)

Para todo x \in \left ( a,b \right ) , existe {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f}'(x) e 0 em qualquer intervalo próprio de \left ( a,b \right )

Este julgamento também é válido se a função for unilateral e contínua no lado fechado do intervalo.

limite de tipo \frac{0}{0}

\frac{a}{\infin} tipo limite infinitivo

Lei Lei de Lópida#Imitação

Definir derivada

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

Seja {f} contínuo no ponto x_0 e diferenciável em uma certa vizinhança U ^ {\circ} (x_0; \delta)

(i) Se {f} '(x) \le 0 quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0, então {f} obtém o valor mínimo em x_0

(ii) Se quando x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0, quando x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0, então {f} obtém o valor máximo em x_0

Suponha que f seja diferenciável de primeira ordem em uma certa vizinhança U (x_0; \delta) de x_0, e diferenciável de segunda ordem em x=x_0, e {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

Se {f}''(x_0) <0, então {f} obtém o valor máximo em x_0

Se {f}''(x_0) > 0, então {f} obtém o valor mínimo em x_0

Suponha que {f} exista em uma certa vizinhança de x_0 com derivadas até a ordem n-1, e seja derivável até a ordem n em x_0, e {f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2 ,\pontos ,n-1), {f}^{(n)} e 0

Quando n é um número par, {f} assume o valor extremo em x_0

Quando n é um número ímpar, {f} não assume um valor extremo em x_0

As três condições suficientes não se aplicam para determinar todos os pontos extremos (mesmo que sejam diferenciáveis)

O ponto máximo pode não ter uma vizinhança esquerda (direita) que o torne monotônico.

Lema f é a condição necessária e suficiente para a função convexa em I

Teorema Suponha que f seja uma função diferenciável no intervalo I, então as seguintes afirmações são equivalentes entre si

A condição necessária e suficiente para o valor mínimo de uma função convexa diferenciável é que a derivada seja zero

A função convexa no intervalo aberto não assume o valor máximo

Desigualdade de Fórmula Jensen (Jensen)

Uma função convexa no intervalo aberto I tem derivadas à esquerda e à direita em qualquer ponto de I

{f} é uma função convexa no intervalo aberto I, então {f} é limitado em qualquer subintervalo fechado \left [ a, b \right ] de I

Converta números racionais em decimais infinitos para comparação

tamanho

∞

-∞

O produto da soma e da diferença de duas quantidades infinitesimais ainda é uma quantidade infinitesimal

O produto de uma quantidade infinitesimal e uma quantidade limitada é uma quantidade infinitesimal

Alto nível/baixo nível

Mesmo nível

equivalência

Descontinuidades do primeiro tipo

Descontinuidades tipo II

teorema da limitação

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

A definição não é derivável

fórmula fórmula de incremento finito

O teorema é diferenciável\Rightarrow contínuo (mas não vice-versa)

Condições para a existência do teorema {f}'(x_0)

Definir ponto estável

Teorema de Fermat

Corolário Se a função {f} é diferenciável no intervalo I, e {f}' (x) = 0, x \in I, então {f} é uma função constante em I

Corolário Se as funções {f} e {g} são ambas diferenciáveis ​​no intervalo I, e {f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I, então no intervalo I, {f} (x) ={g} (x) c (c é uma constante)

Teorema do Corolário Teorema do Limite Derivado

(você \pm v) '=você ' \pm v '

(uv) '= você 'v v 'você

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \matrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\seg^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

Fórmula Fórmula Leibniz

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(nk)}{v}V^{ (k)}}

onde {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

Invariância de formas diferenciais de primeira ordem

para substituir a música diretamente

Limite de erro do valor medido x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \aprox |{f} ' (x_0) \Delta x| \le |{f} '(x_0)|

Limite de erro relativo\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|