La variabile indipendente tende all'infinito: si noti che x→∞ nella funzione limite si riferisce a ∣x∣→ ∞

La variabile indipendente tende ad un valore finito: qui x tende a x0 e non è uguale a x0 Il valore limite è relativo solo al valore della derivata nell'intorno decentrato di x=x0

I limiti sinistro e destro esistono e sono uguali

La limitatezza del limite di una successione: xn deve essere limitato per convergere, ma limitato non significa necessariamente che convergerà.

Limite locale del limite della funzione: se limx→x0f(x) esiste, Allora f(x) è limitata nell'intorno decentrato del punto x0.

Se A>0(<0), allora f(x)>0(<0) nell'intorno del baricentro

Se f(x)≥0 (≤0) nell'intorno del baricentro, allora A≥0 (≤0); Oppure f(x)>0 nell'intorno del baricentro, si può anche dedurre che A≥0

Conservazione locale del segno delle funzioni continue: Se la funzione f(x) è definita in un certo intorno decentrato di x=a punto 0<∣x−a∣<r, f(x) è continua nel punto x=a, e f(a)>0 (o <0), allora esiste un certo intorno (solido)∣x−a∣<δ, Per tutti gli x nell'intorno decentrato, f(x)>0 (o <0) è sempre presente.

Una sequenza che aumenta monotonicamente e ha un limite superiore deve avere un limite. Una sequenza monotonicamente decrescente e con limite inferiore deve avere un limite.

La somma di un numero finito di infinitesimi è ancora infinitesima Il prodotto di un numero finito di infinitesimi è ancora infinitesimo Il prodotto di una quantità infinitesima e di una quantità limitata è ancora infinitesimo

Il prodotto di due quantità infinite (può anche essere esteso a finite) è ancora una quantità infinita

La somma di una quantità infinita e di una variabile limitata è ancora una quantità infinita

L’infinito deve essere illimitato, ma illimitato non significa necessariamente infinito.

Nello stesso limite, se f(x) è infinito, allora 1/f(x) è infinitesimale; Viceversa, se f(x) è infinitesimo e f(x) non è uguale a 0, allora 1/f(x) è infinito.

Corollario 1: Il fattore limitante diverso da zero può essere trovato per primo Corollario 2: Se lim f(x)/g(x) esiste e lim g(x)=0, allora deve esserci lim f(x)=0

Corollario 3: Se lim f(x)/g(x) =A (A non è 0, se limf(x)=0, allora deve esserci lim g(x)=0

Continuo (continuo ± discontinuo = discontinuo, il resto non lo è necessariamente) Differenziabile (differenziabile ± non differenziabile = non differenziabile, il resto non è necessariamente diverso) Serie (convergenza ± divergenza = divergenza, il resto non lo è necessariamente)

Puoi modificare i fattori di moltiplicazione e divisione a piacimento

Sostituzione additiva: il rapporto tra i due termini di addizione non è negativo Sostituzione per sottrazione: due termini di sottrazione non sono equivalenti

Se f(x) è differenziabile all'ordine n, l'uso della regola di Lópida può verificarsi solo fino all'n−1 ordine di f(x). Se f(x) ha derivate continue di ordine n, utilizzando la regola di L’Obitat, può apparire all’ordine n di f(x)

Lópida

Formula di Taylor

Sostituzione infinitesima equivalente

Lópida

Il numeratore e il denominatore sono entrambi divisi per il termine di ordine più alto (trova il capo)

Diventa da 0 a 0 o da infinito a infinito

Passa la differenziazione nel tipo da 0 a 0 (applicabile alla differenza frazionaria)

Razionalizzazione delle espressioni radicali (applicabile alle differenze radicali)

Quando non c'è denominatore nella funzione

riscritto in forma esponenziale

Componi il secondo limite importante

Questa è la forma della funzione potenza, riscritta come ln nella forma esponenziale e