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心智圖資源庫高中數學基礎（一元二次函數、方程式和不等式）

高中數學基礎（一元二次函數、方程式和不等式）

這是一篇關於高中數學基礎（一元二次函數、方程式與不等式）的心智圖，包含等式性質與不等式性質、基本不等式(均值不等式)等。

編輯於2024-03-13 23:01:30

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高中數學基礎（一元二次函數、方程式和不等式）

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大綱

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一元二次函數、方程式與不等式

二次函數與一元二次方程式、不等式

二次函數

二次函數的圖象

函數y=x²與函數y=ax²（a≠0）的圖象間的關係

y=ax²（a≠0）的圖象由y=x²的圖象各點橫座標不變，縱座標變成原來a倍得到

a決定圖象開口方向和開口大小，a越大圖象開口越小

函數y=ax²（a≠0）與函數y=a(x h)² k（a≠0）的圖象間的關係

y=ax²經過{h＞0，向左平移h個單位長度；h＜0向右平移h個單位長度}得到y=a(x h)²

y=a(x h)²經過{k＞0，向上平移k個單位長度；k＜0，向下平移k個單位長度}得到y=a(x h)² k

函數y=ax² bx c（a≠0）配方化為y=a(x h)² k的形式後，再透過y=ax²（a≠0）圖象左右上下平移得到

二次函數的性質

二次函數的三種性質

若已知二次函數的頂點座標（-h，k），則二次函數可以表示為y=a(x h)² k（a≠0）

若已知方程式ax² bx c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2（拋物線與橫座標X軸的交點），則二次函數可以表示為y=a(x-x1)(x -x2)（a≠0）

函數y=ax² bx c（a≠0）的性質

函數a＞0

開口方向

向上

頂點座標

（-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)）

對稱軸

x=-b/(2a)

最大值、最小值問題

當x=-b/(2a)時，函數有最小值(4ac-b²)/(4a)；無最大值

函數a＜0

開口方向

向下

頂點座標

（-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)）

對稱軸

x=-b/(2a)

最大值、最小值問題

當x=-b/(2a)時，函數有最大值(4ac-b²)/(4a)；無最小值

一元二次方程式的概念

概念

等號兩邊都是整數，只含有一個未知數（一元），且未知數的最高次為二次的方程

一般形式：y=ax² bx c （a≠0 ）

一元二次方程式的解

也叫一元二次方程式的根

1. a≠0 時才可以說方程式是一元二次方程 2. 若文字表述明確y=ax² bx c為一元二次方程，即隱含 a≠0 的條件 3. c為常數項（或可視為零次項的係數）

一元二次方程式的解法

直接開平方解一元二次方程

一般的，運用平方根的定義直接開平方求出一元二次方程式的解的方法叫做直接開平方法

對於形如(ax b)²=c（c≥0）的一元二次方程，解得x=(±Ö(c) -b)/a

注意：直接開平方法時c≥0，開平方時要注意±√c

配方法解一元二次方程

定義

形如ax² bx c=0（a≠0）的一元二次方程式變形成為左端是一個含有未知數的完全平方式，右端是一個非負常數，進而可以直接開平方法來求解

一般步驟

移項

使方程式左端只含有二次項和一次項，右端為常數項

化a為1

方程式兩邊同除以二次項係數，化二次項係數為1

配方

方程式兩邊都加上一次項係數一半的平方（即：加上一般形式下的[b/(2a)]² ）把原方程式化為(x-n)²=m的形式（即轉化為：[x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²)）

若m≥0，則直接開平方法解

若m＜0，則原方程式無實數根，即方程式無實數解

公式法解一元二次方程

ax² bx c=0（a≠0）中，當b²-4ac≥0時，將a，b，c帶入式子x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)得到方程式的根

一元二次方程式的求根公式的推導過程有配方法中一般步驟配方後開平方移項得到

使用公式法解一元二次方程式的前提是b²-4ac≥0，其中∆=b²-4ac稱為判別式

若∆=b²-4ac＞0，則方程式有兩個不相同的實數根，x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)

若∆=b²-4ac=0，則方程式有兩個相同的實數根，x1=x2=-b/(2a)

若∆=b²-4ac＜0，則沒有實數根

∆=b²-4ac的作用 1.不解方程式判斷根的情況 2.根據方程式的情況決定字母係數的取值範圍 3.討論並解決與一元二次方程式的根有關的問題 4.∆=0說明方程式有兩個相同的根，而不是只有一個根

公式法解一元二次方程式的一般步驟

化成一般形式ax² bx c=0（a≠0）

確定a，b，c的值

計算∆=b²-4ac的值

根據∆=b²-4ac的值來判斷根的情況

若有實數根，則使用公式法解方程式x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)

1.方程式中含有未知的字母時，需要將其看作常數，先將方程式整理成關於未知數的方程式的一般形式，再在b²-4ac≥0的前提下使用求根公式 2.要注意考慮題目中字母的取值範圍，進行討論

因式分解法解一元二次方程

因式分解法的定義

定義

解一元二次方程式時，先因式分解，使得方程式化為兩個一次式的乘積等於0的形式，再使這兩個一次式分別等於0，從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法

理論依據

兩個因式的積等於零，那麼這兩個因式至少有一個等於零，即若ab=0，則a=0，或b=0

主要方法

提取公因式法

利用平方差公式

a²-b²=(a b)(a-b)

利用完全平方公式

a²±2ab b²=(a±b)²

十字相乘法

若x² Cx D=0中，能夠找到D=ab，C=a b，則x² Cx D=(x a)(x b)

一元二次方程式的根與係數的關係

根與係數之間的關係

韋達定理

x1 x2=-b/a，x1·x2=c/a

根與係數之間關係的重要推論

推論1

若方程式x² px q=0,則x1 x2=-p，x1·x2=q

推論2

以兩個數x1，x2為根的一元二次方程式(二次項係數為1)可以表示為：x²-(x1 x2)x x1·x2=0

包含的條件

方程式為一元二次方程，即二次項係數不為零，a≠0

方程式有實數根，即若∆=b²-4ac≥0

推論變式

x1² x2²=(x1² 2x1·x2 x2²)-2x1·x2=(x1 x2)²-2x1·x2

1/x1 1/x2=(x1 x2)/(x1·x2)

(x1 a)(x2 a)=x1·x2 a(x1 x2) a²

|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)

根與係數的關係進行討論根的符號

若一元二次方程式ax² bx c=0 （a≠0）的兩根是x1，x2 則

∆≥0，且x1·x2＞0

x1 x2＞0

兩根同為正數

x1 x2＜0

兩根同為負數

∆＞0，且x1·x2＜0

x1 x2＞0

兩根異號且正根絕對值較大

x1 x2＜0

兩根異號且負根絕對值較大

方程式及方程組的解集

一般的，把一個方程式所有的解組合的集合稱為這個方程式的解集

各方程式的解集的交集即為方程組的解集

一元二次不等式

概念

定義

一般的我們把只含有一個未知數，而未知數的最高次是2的不等式，稱為一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式為ax² bx c＞0，或ax² bx c＜0，其中a、b、c均為常數，a≠0

表達式，其中a、b、c均為常數，a≠0

ax² bx c≤0

ax² bx c＜0

ax² bx c≥0

ax² bx c＞0

解集，其中a、b、c均為常數，a≠0

ax² bx c≥0

使得y=ax² bx c的函數值大於或等於0的自變數x的值集合

ax² bx c＞0

使得y=ax² bx c的函數值為正數的自變數x的取值集合

ax² bx c≤0

使得y=ax² bx c的函數值小於或等於0的自變數x的值集合

ax² bx c＜0

使得y=ax² bx c的函數值為負數的自變數x的取值集合

二次函數的零點

一般的，對於二次函數y=ax² bx c，我們把使ax² bx c=0的實數x叫做y=ax² bx c的零點

一元二次不等式的解法

∆=b²-4ac

∆=b²-4ac＞0

∆=b²-4ac＝0

∆=b²-4ac＜0

y=ax² bx c

y=ax² bx c＞0

y=ax² bx c=0

y=ax² bx c＜0

結合判別式和函數的不等式關係，透過圖象分析來解不等式的解

分式不等式的解法

分式不等式的4種形式及解法

f(x)/g(x)＞0 ⇔ f(x)·g(x)＞0

f(x)/g(x)＜0 ⇔ f(x)·g(x)＜0

f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0，且g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)＞0，且f(x)= 0

f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0，且g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)＜0，且f(x)= 0

不等式與不等式組的同解關係

f(x)·g(x)≥0

f(x)≥0，且g(x)≥0

或f(x)≤0，且g(x)≤0

f(x)·g(x)≤0

f(x)≥0，且g(x)≤0

或f(x)≤0，且g(x)≥0

不等式的恆成立問題

不等式的解集為R（或恆成立）的條件

y=ax² bx c

若a=0

b=0，c＞0

y=ax² bx c＞0恆成立

b=0，c＜0

y=ax² bx c＜0恆成立

若a≠0

a＞0，∆＜0

y=ax² bx c＞0恆成立

a＜0，∆＜0

y=ax² bx c＜0恆成立

不等式恆成立求參數取值範圍的方法

y=f(x)≤a恆成立 ⇔ f(x)max≤a

y=f(x)≥a恆成立 ⇔ f(x)min≥a

一元二次方程式根的分佈情形

前提條件

設方程式ax² bx c=0(∆＞0，a≠0)有兩個不相等的根 x1，x2，且x1＜x2，對應的函數為y=ax² bx c

情況一：兩根與0的大小比較，即根的正負情況比較

a＞0

x1＜x2＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ 0 ③f(0)＞0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ 0 ③a·f(0)＞0

0＜x1＜x2

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ 0 ③f(0)＞0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ 0 ③a·f(0)＞0

x1＜0＜x2

①f(0)＜0

①a·f(0)＜0

a＜0

x1＜x2＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ 0 ③f(0)＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ 0 ③a·f(0)＞0

0＜x1＜x2

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ 0 ③f(0)＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ 0 ③a·f(0)＞0

x1＜0＜x2

①f(0)＞0

①a·f(0)＜0

情況二：兩根與k的大小比較

a＞0

x1＜x2＜k

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ k ③f(k)＞0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ k ③a·f(k)＞0

k＜x1＜x2

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ k ③f(k)＞0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ k ③a·f(k)＞0

x1＜k＜x2

①f(k)＜0

①a·f(k) ＜ 0

a＜0

x1＜x2＜k

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ k ③f(k)＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＜ k ③a·f(k)＞0

k＜x1＜x2

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ k ③f(k)＜0

①∆＞0 ②對稱軸-b/(2a) ＞ k ③a·f(k)＞0

x1＜k＜x2

①f(k)＞0

①a·f(k) ＜ 0

情況三：根在區間上的分佈，其中m＜n＜p＜q

a＞0

m＜x1＜x2＜n

①∆＞0 ②f(m)＞0 ③f(n)＞0 ④m＜對稱軸-b/(2a) ＜n

①∆＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜對稱軸-b/(2a) ＜n

m＜x1＜n＜x2，或x1＜m＜x2＜n

①f(m)·f(n) ＜ 0

m＜x1＜n＜p＜x2＜q

①f(m)＞0 ②f(n)＜0 ③f(p)＜0 ④f(q)＞0 或 ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0

①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0

a＜0

m＜x1＜x2＜n

①∆＞0 ②f(m)＜0 ③f(n)＜0 ④m＜對稱軸-b/(2a) ＜n

①∆＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜對稱軸-b/(2a) ＜n

m＜x1＜n＜x2，或x1＜m＜x2＜n

①f(m)·f(n) ＜ 0

m＜x1＜n＜p＜x2＜q

①f(m)＜0 ②f(n)＞0 ③f(p)＞0 ④f(q)＜0 或 ①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0

①f(m)·f(n) ＜ 0 ②f(p)·f(q) ＜ 0

情況四：根在區間上的分佈，x1＜m，x2＞n

a＞0

①f(m)＜0 ②f(n)＜0

a＜0

①f(m)＞0 ②f(n)＞0

特殊情況

若在給定的f(x)函數區間(m,n)中，存在f(m)=0，或f(n)=0，此時不滿足f(m)·f(n)＜0.由f(m)=0，或f(n)=0易知m或n為方程式其中一個解，即方程式可以寫成ax² bx c=(x-m)·(Ax B)的形式，即表示方程式中存在一個因式(x-m)【或(x-n)】,則可以求出方程式的另一個根，從而判斷是否屬於區間(m，n)，求出參數的值或範圍

以上情況一、情況二、情況三及情況四都是在∆＞0時進行的討論得出的結果，忽略了∆=0的情況，實際解題時務必考慮∆=0時是否存在滿足條件的參數取值

基本不等式(均值不等式)

重要不等式

若a、b∈R，

則a²≥0（當且僅當a=0時取到等號的情況）

|a|≥0，（當且僅當a=0時取到等號的情況）

(a-b)²≥0

a² b²≥2ab

[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²

(a b)²≥4ab

當且僅當a=b時取到等號的情況

基本不等式

若a＞0，b＞0

則：(2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)

基本不等式：調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

記憶：調幾算方

基本不等式求最值問題時需滿足一正二定三相等

正數和為定值，則正數之積有最大值

正數之積為定值，則正數和有最小值

基本不等式的拓展

三個正數的算術平均數－幾何平均數不等式

若a，b，c∈R，則：(a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)

當且僅當a=b=c時，等號成立

n個正數的算術平均數－幾何平均數不等式

若A1，A2，……An∈R，則：(A1 A2 …… An)/n ≥ (A1·A2·……An)^(1/n)

等式性質與不等式性質

等式與不等式

等式的概念

含有等號的式子叫做等式

不等式的概念

用數學符號≠ ＞＜ ≥ ≤連接兩個數字或代數式，以表示它們之間的不等關係，含有這些不等號的式子叫做不等式

同向不等式與異向不等式的概念

同向不等式

若兩個不等式的左邊都大於（或小於）右邊，則稱這兩個不等式為同向不等式

異向不等式

若一個不等式的左邊大於右邊，另一個不等式的右邊大於左邊，則稱這兩個不等式為異向不等式

常用的不等號

大於＞，小於＜，大於等於(至少，不少於) ≥，小於等於(至多，不多於) ≤

作差法比較兩實數（代數式）大小

a-b＞0，則a＞b

a-b＜0，則a＜b

a-b=0，則a=b

比較任兩個實數，只需要確定它們的差值與0的大小關係即可

等式的基本性質

若a=b，則b=a

若a=b，b=c，則a=c

若a=b，則a±c=b±c

若a=b，則ac=bc

若a=b，則a/c=b/c （c≠0）

拓展：若a=b，則a^n=b^n （n∈N,N≥2）

拓展：若a=b＞0，則a^(1/n)=b^(1/n) （n∈N,N≥2）

不等式的性質

1對稱性

a＞b⇔b＜a

可逆

2傳遞性

a＞b，b＞c⇒a＞c

同向

3可加性

a＞b⇔a c＞b c

可逆

移項法則

a b＞c⇔a＞c-b

可逆

4可乘性

a＞b，且c＞0⇒ac＞bc a＞b，且c＜0⇒ac＜bc

注意c＞0或c＜0的情況

5同向可加性

a＞b，且c＞d，⇒a c＞b d

同向可加

6同向同正可乘性

a＞b＞0，且c＞d＞0，⇒ac＞bd

同向同正可乘

7可乘方性

a＞b＞0，⇒a^n＞b^n （n∈N,N≥2）

同正可乘方

同向不等式不能相減，異向不等式不能相加

常用的不等式關係

倒數性質

a＞b，ab＞0，⇒(1/a)＜(1/b)

不等式性質4

a＜0＜b，⇒(1/a)＜(1/b)

a＞b＞0，且0＜c＜d，⇒(a/c)＞(b/d)

0＜a＜x＜b（或a＜x＜b＜0），⇒(1/b)＜(1/x)＜(1/a)

分數性質

若a＞b＞0，m＞0，則

真分數性質

(b/a)＜[(b m)/(a m)]

(b/a)＞[(b-m)/(a-m)]，其中b-m＞0

即：真分數分子分母同時加上同一個正數，分數的值變大

假分數性質

(a/b)＞[(a m)/(b m)]

(a/b)＜[(a-m)/(b-m)]，其中b-m＞0

即：假分數分子分母同時加上同一個正數，分數的值變小