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Galleria mappe mentale Mappa mentale di funzioni e limiti

Mappa mentale di funzioni e limiti

Questa è una mappa mentale sulle funzioni e sui limiti, inclusi i limiti delle funzioni, le regole operative sui limiti, la continuità delle funzioni, ecc. Spero che questo ti aiuti!

Modificato alle 2023-11-05 19:41:58

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Funzioni e limiti

funzioni elementari di base

Funzione costante: y=c (c è una costante)

Funzione potenza: y=x^a

Funzione esponenziale: y=a^x (a>0 e a≠1)

Funzione logaritmica: y=logax (a>0 e a≠1)

Funzioni trigonometriche

Funzione seno: y=sinx

Funzione coseno: y=cosx

Funzione tangente: y=tanx

Funzione cotangente: y=cotx

Funzione secante: y=secx

Funzione cosecante: y=cscx

limite di funzione

Definizione: Supponiamo che la funzione f(x) sia definita in un certo dominio decentrato U del punto x0 Se quando x→x0, il valore della funzione f(x) può avvicinarsi infinitamente a una certa costante A, allora si dice che quando x. → Quando x0, il limite della funzione f(x) è A, che viene registrato come lim[x→x0]f(x)=A.

Teorema: La condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite della funzione f(x) quando x→x0 è che il limite sinistro e il limite destro esistano contemporaneamente e siano equivalenti, cioè lim[x→x0-]f( x)=lim[x→x0 ]f( x)

Infinitamente piccolo e infinitamente grande

quantità infinitesimale

Definizione: una variabile il cui limite è zero è chiamata quantità infinitesima, o infinitesimale in breve.

lim[x→x0]f(x)=A→0

natura

La somma algebrica di un numero finito di quantità infinitesimali è ancora una quantità infinitesima

Il prodotto di un numero finito di quantità infinitesimali è ancora una quantità infinitesima

Il prodotto di una costante e di una quantità infinitesima è una quantità infinitesima

Il prodotto di una variabile limitata e di una quantità infinitesima è una quantità infinitesima

Confrontare

Infinitesimale di ordine superiore/infinitesimale di ordine inferiore

Se β/α=0, allora β è detto infinitesimo di ordine superiore di α, indicato come β=0(α).

(Esempio: quando x→0, x³ è l'infinitesimale di ordine superiore di x².)

infinitesimo dello stesso ordine

Se limβ/α=C (C≠0), allora β e α si dicono infinitesimi dello stesso ordine.

(Esempio: y=2x e y=x sono infinitesimi dello stesso ordine)

Equivalente all'infinitesimo

Soprattutto quando si dice che C=1, β e α siano equivalenti a infinitesimi. Indicato come α~β.

Formula di sostituzione (quando x → 0)

sinx~x

arcsinx~x

tanx~x

arctanxx~x

e^x-1~x

ln(1x)~x

1-cosx~1/2x²

(1αx)^β~αβx

quantità infinita

Definizione: durante un certo processo di cambiamento della variabile indipendente.

(Esempio: quando x→0, 1/x, 1/x², 1/sinx, 1/tanx sono tutte quantità infinite)

(Esempio: quando x→∞, x², e^x, ln(x 1) sono tutte quantità infinite.)

relazione con quantità infinitesime

Nello stesso processo di cambiamento, il reciproco dell'infinito è infinitesimale

Il reciproco degli infinitesimi che non è sempre uguale a zero è infinito

algoritmo estremo

Teorema: supponiamo che limf(x)=A, limg(x)=B, allora abbiamo

Le quattro regole aritmetiche sono ancora valide

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A B

lim[f(x)g(x)]=limf(x)·limg(x)=A×B

limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B（B≠0）

Corollario: Sia limf(x)=A

Se C è una costante, allora lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA

Se n è un intero positivo, allora lim[f(x)]ⁿ=Aⁿ

funzionamento estremo

Metodo di soluzione della formula 0/0

factoring

razionalizzare

Elimina i termini con denominatore pari a 0 per facilitare i calcoli

Metodo di soluzione della formula ∞/∞

Dividi contemporaneamente numeratore e denominatore per la potenza più alta di x

Due limiti importanti

lim[x→0]sinx/x=1

lim[x→0](1 x)^1/x=e oppure lim[x→∞](1 1/x)^x=e

continuità della funzione

La funzione f(x) è continua nel punto x0

Incremento: △x e △y

Definizione: lim[x→x0]f(x)=f(x0)

Determinare i passaggi successivi

f(x) è definita nel punto x0

lim[x→0]f(x) esiste

lim[x→x0]f(x)=f(x0)

Continuità di una funzione su un intervallo

lasciato continuo

giusto continuo

La funzione è discontinua o discontinua

Definizione: Se la funzione f(x) soddisfa una delle seguenti condizioni nel punto x0, allora il punto x0 è chiamato punto di discontinuità o punto di discontinuità della funzione f(x).

f(x) non è definita nel punto x0

lim[x→x0]f(x) non esiste

lim[x→x0]f(x)≠f(x0)

Classificazione delle discontinuità

Il primo tipo di punto di discontinuità (esistono sia il limite sinistro che quello destro)

I punti di discontinuità possono essere rimossi: se esistono entrambi lim[x→x0-]f(x) e lim[x→x0 ]f(x), e lim[x→x0-]f(x)=lim[x→x0 ] f(x), ma f(x) non è definita in x0. Allora il punto x0 si chiama punto discontinuo di f(x).

Punto di discontinuità del salto: Se esistono sia lim[x→x0-]f(x) che lim[x→x0 ]f(x), ma lim[x→x0-]f(x)≠lim[x→x0 ]f (x), allora il punto x0 è detto punto di discontinuità di salto della funzione f(x).

Il secondo tipo di punto di discontinuità (almeno uno dei limiti sinistro o destro non esiste)

Punto di discontinuità infinita: Se limf(x)=∞, o lim[x→x0-]f(x)=∞, o lim[x→x0]f(x)=∞, allora il punto x0 è chiamato funzione f (x ) di infinite discontinuità.

Punto di discontinuità di oscillazione: Se quando x→x0, il valore della funzione f(x) cambia all'infinito tra due numeri diversi, allora il punto x0 è chiamato punto di discontinuità di oscillazione della funzione f(x).

teorema del punto zero

Definizione: quando y=0, trova il valore di x

Passi di giudizio: f(a)·f(b)<0