心智圖資源庫 三角函數的概念
這是一篇關於三角函數的概念的思維導圖,主要內容包括:三角函數的歷史,三角函數的擴展,三角函數的應用,三角恆等式,三角函數的圖像,三角函數的性質,單位圓,定義。
編輯於2024-12-13 17:37:24Find a streamlined guide created using EdrawMind, showcasing the Lemon 8 registration and login flow chart. This visual tool facilitates an effortless journey for American users to switch from TikTok to Lemon 8, making the transition both intuitive and rapid. Ideal for those looking for a user-centric route to Lemon 8's offerings, our flow chart demystifies the registration procedure and emphasizes crucial steps for a hassle-free login.
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三角函數的概念
定義
角度
度量角的大小
度數制
0到360度的範圍
每個圓週被分為360度
弧度製
基於圓的半徑
一個圓週等於2π弧度
直角三角形
一個角為90度
其他兩個角的和為90度
三角比
正弦(sine)
對邊與斜邊的比值
在直角三角形中
sin(θ) = 對邊長度 / 斜邊長度
餘弦(cosine)
鄰邊與斜邊的比值
在直角三角形中
cos(θ) = 鄰邊長度 / 斜邊長度
正切(tangent)
對邊與鄰邊的比值
在直角三角形中
tan(θ) = 對邊長度 / 鄰邊長度
單位圓
圓心在原點
半徑為1
定義三角函數
角度的終邊與單位圓相交
交點的座標
x座標對應餘弦值
y座標對應正弦值
正切值
y座標與x座標的比值
三角函數的性質
週期性
正弦和餘弦函數
週期為360度或2π弧度
sin(θ) = sin(θ 360°)
cos(θ) = cos(θ 360°)
正切函數
週期為180度或π弧度
tan(θ) = tan(θ 180°)
奇偶性
正弦函數
奇函數
sin(-θ) =sin(θ)
餘弦函數
偶函數
cos(-θ) = cos(θ)
正切函數
奇函數
tan(-θ) =tan(θ)
值域
正弦和餘弦函數
1, 1
正切函數
所有實數
三角函數的影像
正弦函數影像
波浪形曲線
週期性波動
振幅為1
餘弦函數影像
波浪形曲線
週期性波動
振幅為1
相位比正弦函數影像左移90度
正切函數影像
週期性曲線
在每個週期內從負無窮增加到正無窮
週期為π弧度
三角恆等式
基本恆等式
sin²θ cos²θ = 1
和差公式
sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ
倍角公式
sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ = cos²θ sin²θ = 2cos²θ 1 = 1 2sin²θ
半角公式
sin²(θ/2) = (1 cosθ)/2
cos²(θ/2) = (1 cosθ)/2
三角函數的應用
幾何學
解決與角度和距離相關的問題
物理學
波動分析
聲波、光波等
振動分析
簡諧運動等
工程學
訊號處理
濾波器設計等
結構分析
應力和應變的計算等
天文學
天體位置的計算
星體運動的預測等
電子學
交流電路分析
電壓和電流的相位差等
電腦科學
圖形學
3D建模和渲染等
演算法設計
快速傅立葉變換等
三角函數的擴展
反三角函數
反正弦(arcsin)
正弦函數的反函數
反餘弦(arccos)
餘弦函數的反函數
反正切(arctan)
正切函數的反函數
雙曲線函數
雙曲正弦(sinh)
雙曲三角函數的一種
雙曲餘弦(cosh)
雙曲三角函數的一種
雙曲正切(tanh)
雙曲三角函數的一種
複數三角函數
複數域上的三角函數
歐拉公式
e^(iθ) = cosθ i*sinθ
複數的指數形式與三角形式的轉換
利用歐拉公式進行轉換
三角函數的歷史
古希臘時期
希帕索斯
發現了無理數
歐幾裡得
《幾何原本》中對角度的討論
印度數學家
阿耶波多
三角函數的早期研究
伊斯蘭黃金時期
阿爾·巴塔尼
三角函數表的編制
歐洲文藝復興時期
雷格蒙塔努斯
三角學的系統化研究
勒內·笛卡爾
解析幾何的創立
三角函數與座標系的結合
現代數學
三角函數的嚴格定義
基於極限與無窮小量的概念
三角函數在高等數學的應用
微積分
複分析
傅立葉分析