반폭 대체

기하학적 의미

동등한 표현

{f}(x)가 구간 I에서 미분 가능하다고 가정합니다.

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

{f} (x)가 \left ( a,b \right) 구간에서 미분 가능하다고 가정합니다.

모든 x \in \left ( a,b \right ) 에 대해 {f}' (x) \ge 0 ( \le 0) 이 있습니다.

{f}'(x) e \left( a,b \right )의 자체 구간에서 0

이 판단은 함수가 구간의 닫힌 쪽에서 단측이고 연속인 경우에도 적용됩니다.

\frac{0}{0} 유형 제한

\frac{a}{\infin} 유형 부정사 극한

법 로피다의 법칙#모방

파생 상품 정의

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

{f}가 x_0 지점에서 연속이고 특정 이웃 U ^ {\circ} (x_0; \delta)에서 미분 가능하다고 가정합니다.

(i) 만약 {f} '(x) \le 0 when x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ), {f when x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) }' (x) \ge 0이면 {f}는 x_0에서 최소값을 얻습니다.

(ii) x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) {f} '(x) \ge 0일 때 x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right ) {f }' (x) \le 0이면 {f}는 x_0에서 최대값을 얻습니다.

f가 x_0의 특정 이웃 U(x_0; \delta)에서 1차 미분 가능하고 x=x_0 및 {f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0)에서 2차 미분 가능하다고 가정합니다. e 0

{f}''(x_0) < 0이면 {f}는 x_0에서 최대값을 얻습니다.

{f}''(x_0) > 0이면 {f}는 x_0에서 최소값을 얻습니다.

{f}가 n-1 차수까지 도함수를 갖는 x_0의 특정 이웃에 존재하고 x_0에서 n 차수로 파생 가능하며 {f} ^{(k)} (x_0) = 0 (k=1,2)이라고 가정합니다. ,\dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

n이 짝수이면 {f}는 x_0에서 극한값을 취합니다.

n이 홀수인 경우 {f}는 x_0에서 극단값을 취하지 않습니다.

세 가지 충분조건은 모든 극단점을 결정하는 데 적용되지 않습니다(미분 가능하더라도).

최대점에는 단조롭게 만드는 왼쪽(오른쪽) 이웃이 없을 수 있습니다.

Lemma f는 I의 볼록 함수에 대한 필요 충분 조건입니다.

정리 f가 구간 I에서 미분가능한 함수라고 가정하면, 다음 명제는 서로 동일합니다.

미분 가능한 볼록 함수의 최소값에 대한 필요 충분 조건은 도함수가 0이라는 것입니다.

열린 구간의 볼록 함수는 최대값을 취하지 않습니다.

공식 Jensen(Jensen) 부등식

열린 구간 I의 볼록 함수는 I의 임의 지점에서 왼쪽 및 오른쪽 도함수를 갖습니다.

{f}는 열린 구간 I의 볼록 함수이고, {f}는 I의 닫힌 하위 구간 \left [ a, b \right ]에 국한됩니다.

비교를 위해 유리수를 무한소수로 변환

크기

∨

-무한대

두 극소량의 합과 차의 곱은 여전히 ​​극소량입니다

무한량과 유한량의 곱은 무한량이다

높은 수준/낮은 수준

같은 레벨

등가

첫 번째 종류의 불연속

유형 II 불연속성

경계정리

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \델타 x)-f(x_{0})}{\델타 x}

정의를 도출할 수 없습니다.

공식 유한 증분 공식

정리는 미분 가능\Rightarrow 연속형입니다(그러나 그 반대는 아님).

정리 {f}'(x_0)의 존재 조건

안정점 정의

페르마의 정리

결과 함수 {f}가 구간 I에서 미분 가능하고 {f}' (x) = 0, x \in I이면 {f}는 I에서 상수 함수입니다.

결과 함수 {f}와 {g}가 모두 구간 I에서 미분 가능하고 {f} '(x) = {g} '(x), x \in I이면 구간 I에서 {f} ( x) ={g} (x) c (c는 상수)

추론 정리 미분 극한 정리

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\초 x) '=\초 x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

공식 라이프니츠 공식

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (케이)}}

여기서 {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

1차 미분 형태의 불변성

노래를 직접 교체하려면

측정값의 오차 한계 x_0\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\델타 y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \대략 |{f} '(x_0) \델타 x| \le |{f} '(x_0)|

상대 오류 한계\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}|