半角代換

幾何意義

等價表示

設{f}(x)在區間I上可導

{f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

設{f} (x) 在區間 \left ( a,b \right)上可導

對一切x \in \left ( a,b \right ) ，有 {f}' (x) \ge 0 ( \le 0)

在 \left ( a,b \right ) 的任何自區間上 {f}'(x) e 0

此判定若在區間封閉側函數單側連續結論也成立

\frac{0}{0} 型極限

\frac{a}{\infin} 型不定式極限

法則洛必達法則#仿證

定義導數

{f} (x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(0)}{n!} (x)^i

{T} (x) =\sum_{i=0}^{n} \frac{{f}^{(i)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^i \frac{f^ {(n 1)}(\xi)}{(n 1)!} (x-x_0)^{n 1}

設{f}在點x_0連續，在某鄰域U ^ {\circ} (x_0; \delta)上可導

(i)若當x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) 時{f} '(x) \le 0，當x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right )時{f }' (x) \ge 0，則{f​​}在x_0取得極小值

(ii)若當x \in \left ( x_0 - \xi ,x_0 \right ) 時{f} '(x) \ge 0，當x \in \left( x_0 , x_0 \xi \right )時{f }' (x) \le 0，則{f​​}在x_0取得極大值

設f在x_0的某鄰域U (x_0 ; \delta )上一階可導，在x=x_0處二階可導，且{f} '(x_0)= 0, {f} '' (x_0) e 0

若{f}''(x_0) < 0，則{f​​}在x_0取得極大值

若{f}''(x_0) > 0，則{f​​}在x_0取得極小值

設{f}在x_0的某鄰域內存在直到n-1階導數，在x_0處n階可導，且{f} ^ {(k)} (x_0) = 0 (k=1,2,\dots ,n-1), {f}^{(n)} e 0

當n為偶數時，{f}在x_0取得極值

當n為奇數時，{f}在x_0處不取極值

三個充分條件並不適用於判斷所有極值點（即使是可導的）

極大值點未必存在使其單調的左(右)鄰域

引理f為I上凸函數的充要條件

定理設f為區間I上的可導函數，則下述論斷互相等價

可導凸函數極小值充要條件為導數為零

開區間上凸函數不取最大值

公式Jensen(詹森)不等式

開區間I上凸函數在I上任一點都存在左、右導數

{f}為開區間I上凸函數，則{f}在I的任一閉子區間\left [ a, b \right ]上都有界

有理數化為無限小數比較

大小

∞

-∞

兩個無窮小量的和差積仍為無窮小量

無窮小量與有界量的積為無限小量

高階/低階

同階

等價

第一類間斷點

第二類間斷點

定理有界性定理

{f}'( x_{0} ) =\lim _ { x \to x _ { 0 } } \frac { f ( x ) - f ( x _ { 0 } ) } { x - x _ { 0 } } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0} \Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}

定義不可導

公式有限增量公式

定理可導\Rightarrow連續 (反之不然)

定理{f}'(x_0)存在的條件

定義穩定點

定理費馬定理

推論 若函數{f}在區間I上可導，且{f}' (x) = 0, x \in I ，則{f}為I上的一個常數函數

推論若函數{f}和{g}皆在區間I上可導， 且{f} ' (x) = {g} ' (x) , x \in I，則在區間I上，{f} ( x) ={g} (x) c（c為某一常數）

推論 定理導數極限定理

(u \pm v) '=u ' \pm v '

(uv) '=u 'v v 'u

(\frac{u}{v}) '=\frac{u 'v-v 'u}{v^2}

f '(x_0)=\frac{1}{f^{-1}(y_0)}

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\frac{1}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} }

({f}\circ {\varphi}) '(x_0)={f '}(u_0){\varphi} '(x_0)

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{ \mathrm{d} x}

(\sin x) '=\cos x

(\cos x) '=-\sin x

(\tan x) '=\sec^2 x

(\cot x)'=-\csc ^2 x

(\sec x) '=\sec x \tan x

(\csc x) '=-\csc x \cot x

(e^x) '=e^x

(\ln x) '=\frac{1}{x}

[{u} \pm {v} ]^{(n)}={u}^{(n)} \pm {v}^{(n)}

公式萊布尼茲公式

({u}{v})^{(n)}= \sum_{k=0}^{n} {C_{n}^{k} {u}^{(n-k)}{v}V^{ (k)}}

其中 {u}^{(0)}={u},{v}^{(0)}={v}

一階微分形式的不變性

以直代曲

測量值x_0的誤差極限\delta _x \ge |x-x_0|=|\Delta x|

|\Delta y| = |{f} (x) -{f} (x_0)| \approx |{f} ' (x_0) \Delta x| \le |{f} '(x_0)| \delta_x

相對誤差極限\frac{ \delta_y}{|y_0|}=|\frac{{f} '(x_0)}{{f}(x_0)}| \delta_x