Независимая переменная стремится к бесконечности: обратите внимание, что x→∞ в пределе функции относится к ∣x∣→ ∞

Независимая переменная стремится к конечному значению: здесь x стремится к x0 и не равна x0. Предельное значение связано только со значением производной в децентрированной окрестности x=x0.

Левый и правый пределы существуют и равны

Ограниченность предела последовательности: xn должна быть ограничена, чтобы сходиться, но ограниченность не обязательно означает, что она будет сходиться.

Локальная ограниченность предела функции: если limx→x0f(x) существует, Тогда f(x) ограничена в децентрированной окрестности точки x0.

Если A>0(<0), то f(x)>0(<0) в окрестности центроида

Если f(x)≥0 (≤0) в окрестности центроида, то A≥0 (≤0); Если f(x)>0 в окрестности центроида, также можно сделать вывод, что A≥0

Сохранение локального знака непрерывных функций: если функция f(x) определена в некоторой децентрированной окрестности x=точки 0<∣x−a∣<r, f(x) непрерывна в точке x=a и f(a)>0 (или <0), то существует некоторая (сплошная) окрестность∣x−a∣<δ, Для всех x в децентрированной окрестности всегда присутствует f(x)>0 (или <0).

Последовательность, монотонно возрастающая и имеющая верхнюю границу, должна иметь и предел. Последовательность, которая монотонно убывает и имеет нижнюю границу, должна иметь предел.

Сумма конечного числа бесконечно малых по-прежнему остается бесконечно малой. Произведение конечного числа бесконечно малых по-прежнему остается бесконечно малым. Произведение бесконечно малого количества и ограниченного количества по-прежнему бесконечно мало.

Произведение двух (также может быть расширено до конечных) бесконечных величин по-прежнему остается бесконечной величиной.

Сумма бесконечной величины и ограниченной переменной по-прежнему остается бесконечной величиной.

Бесконечность должна быть безграничной, но неограниченность не обязательно означает бесконечность.

В том же пределе, если f(x) бесконечно, то 1/f(x) бесконечно мало; И наоборот, если f(x) бесконечно мало и f(x) не равно 0, то 1/f(x) бесконечно.

Следствие 1. Предельный ненулевой множитель можно найти первым. Следствие 2. Если lim f(x)/g(x) существует и lim g(x)=0, то должно существовать lim f(x)=0.

Следствие 3: Если lim f(x)/g(x) =A (A не равно 0, если limf(x)=0, то должно существовать lim g(x)=0

Непрерывный (непрерывный ± прерывистый = прерывистый, остальное не обязательно) Дифференцируемый (дифференцируемый ± недифференцируемый = недифференцируемый, остальные не обязательно разные) Ряд (схождение ± расхождение = расхождение, остальное не обязательно)

Вы можете изменить коэффициенты умножения и деления по своему желанию.

Аддитивная замена: соотношение двух членов сложения не является отрицательным. Вычитание Замена: неравенство между двумя членами вычитания.

Если f(x) дифференцируемо до порядка n, использование правила Лопиды может происходить только до n−1 порядка f(x). Если f(x) имеет непрерывные производные n-го порядка, то, используя правило Л'Обитата, она может оказаться n-го порядка f(x)

Лопида

Формула Тейлора

Эквивалентная бесконечно малая замена

Лопида

Числитель и знаменатель делятся на член высшего порядка (найти босса)

Станьте от 0 до 0 или от бесконечности до бесконечности.

Передать дифференцирование в тип от 0 до 0 (применимо к дробной разнице)

Рационализация радикальных выражений (применимо к радикальным различиям)

Когда в функции нет знаменателя

переписано в экспоненциальной форме

Составьте второй важный предел

Это форма степенной функции, переписанная как ln в экспоненциальной форме e