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Galleria mappe mentale Concetti di base della teoria della probabilità

Concetti di base della teoria della probabilità

Il capitolo 1 di Teoria della probabilità e statistica matematica, comprende principalmente fenomeni casuali ed esperimenti casuali, La relazione tra eventi casuali, frequenza e probabilità, probabilità condizionata, Indipendenza ecc.

Modificato alle 2024-04-09 22:58:09

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Profilo

Riepilogo del corso di teoria della probabilità
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Teoria della probabilità e statistica matematica
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Eventi casuali e probabilità

Fenomeno casuale ed esperimento casuale

studio randomizzato

Caratteristiche

Ripetibilità: può essere ripetuto nelle stesse condizioni

Prevedibilità: ogni esperimento ha più di un possibile risultato e tutti i possibili risultati dell'esperimento possono essere chiariti in anticipo

Incertezza: incertezza prima di condurre un esperimento su quale risultato si verificherà

spazio campionario, eventi casuali

Spazio campionario: tutti i possibili risultati dell'esperimento casuale E, indicato con S

Punto campione: elemento dello spazio campionario S, cioè ciascun risultato di E, indicato come ω

Eventi casuali: un sottoinsieme dello spazio campionario S, eventi inevitabili S, eventi impossibili ω

relazione di eventi casuali

rapporto di inclusione

Unione (e) relazione ⋃

Unione di n eventi

Relazione di intersezione (prodotto) ⋂

evento di intersezione di n eventi

Rapporto di differenza A-B

Eventi mutuamente esclusivi (eventi mutuamente esclusivi) =ØAB

eventi reciproci (eventi opposti)

Operazioni su eventi casuali

legge commutativa

A⋃B=B⋃A

A⋂B=B⋂A

diritto associativo

AU(BUC)=(AUB)UC

A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C

legge distributiva

AU(B⋂C)=(AUB)⋂(AUC)

A⋂(BUC)=(A⋂B)U(A⋂C)

Legge di DeMorgan

non (P e Q) = (non P) o (non Q)

non (P o Q) = (non P) e (non Q)

frequenza e probabilità

frequenza

Definizione: Nelle stesse condizioni, vengono condotti n esperimenti. In questi n esperimenti, il numero di volte in cui si verifica l'evento A nA è chiamato frequenza dell'evento A. Il rapporto nA/n è chiamato frequenza dell'evento A, indicato come fn(A)

natura:

Non negatività: 0≤fn(A)≤1

Normalizzazione: fn(S)=1

Additività finita: se A1, A2, ¼An sono eventi reciprocamente incompatibili, allora fn(A1UA2U¼UAk)=fn(A1) fn(A2) ¼ fn(Ak), cioè ci sono eventi incompatibili a coppie limitate. La somma delle probabilità degli eventi è pari alla somma delle probabilità di ciascun evento.

Probabilità

Definizione: supponiamo che E sia un esperimento casuale e S sia il suo spazio campionario. Per ogni evento A di E, viene assegnato un numero reale, indicato come P(A), che è chiamato probabilità dell'evento A.

natura

Non negatività: per ogni evento A c'è P(A)≥0

Normatività: per l'evento inevitabile S, esiste P(S)=1

Additività elencabile: Supponiamo che A1, A2,... siano eventi mutuamente esclusivi a coppie, ovvero per AiAj=Æ,i¹j,i,j=1,2,.... esiste P(A1UA2U... )=P (A1) P(A2) ...

proprietà importanti

(i) P(Æ)=O

(ii) (Additività limitata) A1, A2,...An sono eventi mutuamente esclusivi a coppie, allora P(A1UA2U...UAn)=P(A1) P(A2) ... P( An)

(iii) Supponiamo che A e B siano due cose. Se AÌB, allora P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)³P(A)

(iV) Per ogni evento A,P(A)£1

(v) Per ogni evento A, esiste l'inverso di P(A) = 1-P(A)

(Vi) Per due cose qualsiasi A e B, esiste P(AUB)=P(A) P(B)-P(AB)

Concetti ugualmente possibili (concetti classici)

Caratteristiche

Finitezza: lo spazio campionario del test contiene solo un numero limitato di elementi

Equiprobabilità: ogni evento fondamentale dell’esperimento ha la stessa probabilità che si verifichi

Probabilità condizionale

tre condizioni

Non negatività: per ogni evento B, c'è P(B|A)≥0

Normatività: per l'evento inevitabile S, esiste P(S|A)=1

teorema della moltiplicazione

Supponiamo che P(A)>0, allora c'è P(AB)=P(B|A)P(A) {formula di moltiplicazione}

Supponiamo che A, B, C siano eventi e P(AB)>0, allora esiste P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

Formula della probabilità totale e pubblicità bayesiana

formula di probabilità totale

Definizione; Sia S lo spazio campionario dell'esperimento E, B1B2..., Bn un insieme di eventi di E, se (i) BiBj=Ø,i≠j,i,j=1,2,...n (ii) B1UB2U··UBn=S. Allora B1, B2,.,Bn sono chiamate divisione dello spazio campionario S. Se B1,B2,...,Bn. è la divisione dello spazio campionario, allora per ogni prova deve verificarsi uno ed uno solo degli eventi B1B2,...,Bn.

Formula bayesiana

indipendenza

Teorema 1: Supponiamo che A e B siano due cose e P(A)>0. Se A e B sono indipendenti l'uno dall'altro, allora P(B|A)=P(B)

Teorema 2: Se gli eventi A e B sono indipendenti l'uno dall'altro, allora anche le seguenti coppie di eventi sono indipendenti l'una dall'altra: l'opposizione di A e B, l'opposizione di A e B, l'opposizione di A e l'opposizione di B

Definizione: siano A, B e C tre volte se l'equazione è soddisfatta

P(AB)=P(A)P(B)

P(BC)=P(B)P(C)

P(AC)=P(A)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

inferenza

Se gli eventi A1, A2, ....An (n≥2) sono indipendenti l'uno dall'altro, allora anche tutti gli eventi k (2≤k≤n) tra loro sono indipendenti l'uno dall'altro.

Se n eventi A1, A2,...An (n≥2) sono indipendenti l'uno dall'altro, sostituisci uno qualsiasi degli eventi in A1, A2,...An con i rispettivi eventi opposti, e gli n eventi risultanti saranno comunque indipendenti l'uno dall'altro.

Allora gli eventi A, B e C si dicono indipendenti tra loro.

Abbreviazione: Prova E