心智圖資源庫 函數的極限
包含極限的基本概念、極限的計算方法、極限的性質與定理、無窮小的比較、極限的存在準則、特殊極限的計算。
編輯於2024-10-18 09:06:36Este modelo mostra a estrutura e a função do sistema reprodutivo na forma de um mapa mental. Ele apresenta os vários componentes dos órgãos genitais internos e externos e classifica o conhecimento claramente para ajudá -lo a se familiarizar com os principais pontos do conhecimento.
Este é um mapa mental sobre a interpretação e o resumo do e-book do campo de relacionamento, conteúdo principal: visão geral da interpretação da essência e visão geral do e-book do campo de relacionamento. "Campo de relacionamento" refere -se à complexa rede interpessoal na qual um indivíduo influencia outras pessoas através de comportamentos e atitudes específicos.
Este é um mapa mental sobre livros contábeis e registros contábeis.
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Este é um mapa mental sobre livros contábeis e registros contábeis.
函數的極限
極限的基本概念
數列的極限
定義:數列{a_n}當n趨於無窮大時,若存在實數L,使得a_n與L的差的絕對值可以任意小,則稱L為數列{a_n}的極限。
性質:唯一性、有界性、保號性、夾逼定理
函數的極限
定義:函數f(x)當x趨於某一點a時,若存在實數L,使得f(x)與L的差的絕對值可以任意小,則稱L為函數f(x)在x趨於a時的極限。
左極限與右極限
左極限:x從左側趨於a時f(x)的極限值
右極限:x從右側趨於a時f(x)的極限值
無窮小與無窮大
無窮小:極限為0的量
無窮大:絕對值無限增大的量
極限的計算方法
直接代入法
條件:函數在某點連續或極限形式簡單
應用:多項式、有理函數等
因式分解法
條件:分子分母同時為0的不定式極限
步驟:分解因式、約分、代入計算
洛必達法則
條件:0/0型或∞/∞型不定式極限
步驟:求導數、代入計算、重複應用至可直接計算
泰勒展開法
條件:複雜函數的極限計算
步驟:將函數在某點附近展開成泰勒級數、截取適當項、計算極限
夾逼定理
條件:兩個函數夾逼一個函數,且這兩個函數極限相同
步驟:找出夾逼函數、證明夾逼關係、計算極限
極限的性質與定理
極限的唯一性
定理:如果數列或函數的極限存在,則極限唯一
極限的局部有界性
定理:如果數列或函數在某點的極限存在,則在該點附近數列或函數有界
極限的保號性
定理:如果數列或函數的極限大於0(或小於0),則在極限點附近數列或函數保持同號
極限的四則運演算法則
定理:極限運算可以與加減乘除運算交換順序
複合函數的極限
定理:如果外函數在某點連續,內函數在某點的極限存在,則複合函數在該點的極限存在
無窮小的比較
高階無窮小
定義:當x趨於某一點時,若一個無窮小與另一個無窮小的比值趨於0,則稱前者為後者的高階無窮小
低階無窮小
定義:當x趨於某一點時,若一個無窮小與另一個無窮小的比值趨於無窮大,則稱前者是後者的低階無窮小
同階無窮小
定義:當x趨於某一點時,若一個無窮小與另一個無窮小的比值趨於一個非零常數,則稱兩者為同階無窮小
等價無窮小
定義:當x趨於某一點時,若兩個無窮小的比值趨於1,則稱兩者是等價無窮小
極限的存在準則
單調有界準則
定理:單調遞增(或遞減)且有上(或下)界的數列必定有極限
柯西收斂準則
定理:數列{a_n}收斂的充要條件是對任意正數ε,存在正整數N,使得當m,n>N時,a_m a_n < ε
海涅定理
定理:函數在某點的極限存在的充要條件是左極限和右極限都存在且相等
特殊極限的計算
指數函數的極限
e的定義:lim (1 1/n)^n 當n趨於無窮大時的極限
三角函數的極限
重要極限:lim (sinx)/x 當x趨於0時的極限
對數函數的極限
重要極限:lim (ln(1 x))/x 當x趨於0時的極限
反三角函數的極限
重要極限:lim (arctanx)/x 當x趨於0時的極限
極限的應用
連續性的判定
定理:如果函數在某點的極限存在且等於該點的函數值,則函數在該點連續
導數的定義
定義:導數是函數在某一點的瞬時變化率,可以用極限來定義
積分的定義
定義:定積分是函數在某區間上曲邊梯形面積的極限,可以用極限來定義
級數的收斂性判定
定理:級數的收斂性可以透過考察部分和序列的極限來判定