心智圖資源庫 高數第一章 極限,函數,連續
考研數學,高數的極限計算,極限的性質、求極限常用的九種方法、函數極限題型等內容。
編輯於2023-12-13 20:26:39Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
中心主題
極限的性質
數列極限
定義
幾何意義:對於a點的任何ε鄰域即開區間(a−ε,a ε),一定存在N,當n>N即第N項以後的點x0都落在開區間(a−ε,a ε)內,而只有有限個(最多N個)在這區間之外.
數列極限是否存在/極限值等於多少與前有限項完全無關,修改/刪除數列的有限項不會影響其斂散性.
函數極限
定義
自變數趨於無窮:注意函數極限中的x→∞是指∣x∣→ ∞
自變數趨於有限值:這裡x是趨向於x0而不等於x0,極限值等於多少只與x=x0的去心鄰域內導數值有關
極限存在判定
左右極限存在且相等
需要討論左、右極限的三種情況:①分段函數在分界點的極限 ②e∞型極限 ③arctan∞型無窮
極限的三大性質
有界性
數列極限的有界性:xn收斂必有界,但有界不一定收斂。
函數極限的局部有界性:若limx→x0f(x)存在, 則f(x)在點x0處的去心鄰域內有界。
極限在一點存在可推出在該點局部有界,反推不成立。
記住反例sin1/x
保號性(數列極限與函數極限相對應) limx→x0f(x)=A
若A>0(<0),則在去心鄰域內f(x)>0(<0)
去心鄰域內f(x)≥0(≤0),則A≥0(≤0); 或去心鄰域內f(x)>0,亦可推出A≥0
連續函數的局部保號性:若函數f(x)在x=a點的某個去心鄰域內0<∣x−a∣<r有定義, f(x)在x=a點連續, 且f(a)>0(或<0), 則存在某(實心)鄰域∣x−a∣<δ, 對該去心鄰域內一切x恆有f(x)>0(或<0).
保序性:設limx→x0f(x)=a,limx→x0g(x)=b
函數值與極限值的關係
極限存在準則
夾逼準則
單調有界準則:單調有界數列必有極限
單調增、有上界的數列必有極限 單調減、有下界的數列必有極限
無窮小量
無窮小的概念
無窮小比階:設limα(x)=0,limβ(x)=0
無窮小的性質
有限個無窮小的和仍是無窮小 有限個無窮小的積仍是無限小 無窮小量與有界量的積仍為無限小
不能推廣至無限
無窮大量
無窮大的概念
數列極限常用的無窮大比較
函數極限常用的無窮大比較
無窮大的性質
兩個(也可推廣至有限個)無限大量的積仍為無限大量
兩個無窮大的和不一定為無窮大
無窮大量與有界變數總和仍為無窮大量
無窮大量與有界變數的積不一定是無限大
無窮大與無界變數的關係
無窮大一定是無界,但無界不一定無窮大。
無窮大x無窮大一定為無窮大,但無界x無界不一定為無界變量
無窮大與無窮小的關係
在同一極限中,若f(x)是無窮大,則1/f(x)是無窮小; 相反,若f(x)是無窮小,且f(x)不等於0,則1/f(x)是無窮大.
求極限常用的九種方法
①有理運演算法則
推論1:極限非零因子可以先求出來 推論2:若lim f(x)/g(x)存在,lim g(x)=0,則一定有lim f(x)=0
推論3:若lim f(x)/g(x) =A(A不為0,若limf(x)=0,則一定有lim g(x)=0
存在 ± 不存在 = 不存在 不存在 ± 不存在 = 不一定 存在 ×(÷)不存在=不一定 不存在 ×(÷)不存在=不一定
連續(連續±不連續=不連續,其餘不一定) 可導(可導±不可導=不可導,其餘不一定) 級數(收斂±發散=發散,其餘不一定)
基本極限
「1∞」型常用結論:若limα(x)=0,limβ(x)=∞,且limα(x)limβ(x)=A,則lim(1 α(x))β(x)=eA
等價無窮小替換
常用的等價無窮小(當x→0時)
替換原則
乘除因子可以隨便換
加法替換:兩個加項之比不為負一 減法替換:兩個減項之間不等價
透過加減項學會主動創造等價無窮小代換條件
變上限積分的等價代換
洛必達
洛必達法則的3個使用前提
若f(x)是n階可導,使用洛必達法則最多只能出現到f(x)的n−1階 如果f(x)有n階連續導數,使用洛必達法則可以出現到f(x)的n階
泰勒公式
夾逼準則
定積分定義
提1/n,求被積函數,確定積分上下限
中位數定理
拉格朗日中值定理
積分中值定理
推廣的積分中值定理
函數極限題型
七種未定式
0/0
洛必達
泰勒公式
等價無窮小替換
無窮比無窮
洛必達
分子分母同除以最高階數的項(找老大)
X趨向零時,低階是老大
X趨向無窮時,高階是老大
0⋅∞
化為0比0,或無窮比無窮
∞−∞
通分化為0比0型(適用於分式差)
根式有理化 (適用於根式差)
若開方方次較高,則考慮拉格朗日中值定理或(1 x)α−1∼αx
函數中沒有分母時
提無窮因子,湊等價無窮小代換
倒代換
泰勒公式
1∞
改寫成指數形式
湊第二類重要極限
∞0和00
這是冪指函數形式,改寫成指數形式e的ln
推廣結論:α(x)→0,α(x)β(x)→0,則(1 α(x))β(x)−1∼α(x)β(x)