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Galerie de cartes mentales Concetti e calcoli del calcolo differenziale di funzioni di una variabile
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Concetti e calcoli del calcolo differenziale di funzioni di una variabile
Questa è una mappa mentale sui concetti e sui calcoli del calcolo differenziale delle funzioni di una variabile. Il contenuto principale include concetti, calcoli di derivate e differenziali, domande del test e 1.000 domande.
Modifié à 2022-07-03 07:56:52
Concetti e calcoli del calcolo differenziale di funzioni di una variabile
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Concetto e calcolo del calcolo differenziale di funzioni di una variabile
concetto
Citazioni
tasso di cambiamento istantaneo
dA/dB è chiamato tasso di variazione istantaneo da A a B
Valore Lemney
pendenza della retta tangente
Il concetto di derivata
Due espressioni di derivate importanti
Incrementale
forma della differenza di funzione
4.1
Tre modi per dire che i derivati sono equivalenti
y=f(x) è differenziabile nel punto x0
La derivata di y=f(x) esiste nel punto x0
f'(x0)=A (A è un numero finito)
Condizioni necessarie e sufficienti affinché la funzione f(x) sia differenziabile in x0
Sia la derivata sinistra che quella destra esistono e sono uguali
f'-(x0)＝f' (x0)＝A
Il derivato non esiste
Studia il problema della tangente di y=lxl in x=0
Punto acuto, la derivata al punto di svolta non esiste
Studia y = 1/3 potenza di x
Derivati infiniti. Il derivato non esiste
Normale
Reciproco negativo della derivata
Il concetto di derivate di ordine superiore
generalizzazione incrementale
Domande d'esame
Definizione di derivato
Si smonta perché si dice che si possa ricavare dalla frazione 4.1. Si smonta smontandolo e dando un'occhiata. È vero che il limite esiste dopo essere stato smontato.
4.2, prima cambia l'elemento, rendilo più semplice e poi trova il limite
Operazione estrema in corso
Proporre fattori tempestivi il cui limite non è zero
Non può essere scomposto perché parla solo di tipi di domande in condizioni continue 4.3 continue.
Creare condizioni senza condizioni
Dividi un termine per un termine
4.11
Teorema importante 4.3
Supponiamo che f(x) sia continua in x=x0 e soddisfi che quando x tende a x0, limf(x)/x-x0=A, allora f(x0)=0, f'(x0)=A
Deriva un numero pari di volte e la parità rimane invariata. Guida un numero dispari di volte, scambia la parità
4.6
Dimostrazione sullo scambio di parità e uniformità dopo la derivazione e sull'invarianza della periodicità dopo la derivazione
4.4 e 4.5
Il concetto di calcolo differenziale
△y＝A△x o(x)
A△x è detta anche parte principale lineare, detta anche differenziale di y
A△x＝dy＝f′(x)△x＝f′(x)dx
△x＝dx
A＝f′(x)
4.74.8
Se può essere differenziabile, deve essere differenziabile. Se può essere condotto, deve essere differenziabile.
Giudizio differenziabile
Il rapporto ultimo di ordine superiore △x=0
Uguale alla funzione multivariata
Calcolo dei derivati e dei differenziali
Aritmetica
Scrivi il lato destro delle quattro operazioni aritmetiche e spingi il lato sinistro
Lo stesso vale per la derivata del quoziente
Moltiplica più di 3 espressioni
4.9
Moltiplica 100 termini e convertili in due termini
Derivate di funzioni a tratti
Derivazione utilizzando la definizione della derivata nei punti di segmentazione
difficoltà
Utilizza la formula della derivata per trovare la derivata nei punti non segmentati
Derivata di lnlxl=1/x
Derivato di lnlg(x)l=g′(x)/g(x)
Derivata di a alla potenza x
a elevato a x lna
Derivata di a alla potenza u(x).
u(x) potenza di a×lna×u′(x)
4.12
Derivato di funzioni composte
un viaggio alla volta
invarianza della forma differenziale
df porta=f'(porta)d porta
Prestare attenzione alla posizione del simbolo di derivazione
Prestare attenzione all'osservazione Non è necessario trovare la derivata e quindi aggiungere il valore.
4.14
Derivazione della funzione inversa
Supponiamo che y=f(x) sia differenziabile e f′(x)≠0
Allora f'(x) deve essere sempre positivo o sempre negativo
Supponiamo che y=f(x) sia continua e f'(x)≠0
Allora f(x) deve essere sempre positivo o sempre negativo
derivata prima della funzione inversa
La derivata della funzione inversa = il reciproco della derivata della funzione originale
derivata seconda della funzione inversa
Y′′xx＝-X′′yy/(X′y)3
X′′yy＝-Y′′xx/(Y′x)3
Domande d'esame complete con punti bancomat
4.17 La funzione inversa dà il valore di y e richiede che x venga introdotto.
Assicurati di prestare attenzione se il valore preso quando si deriva la derivata è x o y
Derivate di equazioni parametriche
Derivata prima di equazioni parametriche
Trovare la derivata seconda di un'equazione parametrica
La derivata del secondo ordine e la derivata del secondo ordine della funzione inversa non sono ben comprese.
Derivazione di funzioni implicite
y è una funzione di x
Derivare direttamente da entrambi i lati
Derivazione logaritmica
Quando si moltiplicano, dividono, iniziano ed elevano a potenza più elementi
Generalmente si prende prima il logaritmo e poi si ricava la derivata
Dopo aver calcolato il logaritmo, porta in primo piano l'esponente del logaritmo.
Quando si prende il logaritmo, se l'intervallo non è specificato, è necessario aggiungere il valore assoluto
Metodo di derivazione della funzione esponenziale di potenza
Prima convertilo in una funzione esponenziale e poi ricava la derivata
Prendere il logaritmo significa trovare la derivata su entrambi i membri, ma prendere l'esponente significa calcolare la derivata su un solo membro
y=x elevato alla potenza di x
Immagine, metodo dell'immagine, metodo derivato
y=x elevato alla potenza di 1/x
Immagine, metodo dell'immagine, metodo derivato
derivate di ordine superiore
Trova la derivata n-esima di a elevata alla potenza x-esima
a elevato a x × (lna) elevato a n
Usa l'induzione
8 formule di derivata di ordine n
La derivata n-esima di (xe elevato a x) = (x n)e elevato a x
Utilizzo delle derivate di ordine superiore per trovare formule di derivazione
Triangolo Yang Hui
Simile all'espansione binomiale
Usa la formula di Taylor🐻
Prima scrivi la formula di Taylor o la formula di McLaughlin di y=f(x), quindi confronta i coefficienti per ottenere la derivata di ordine n di f (X0)
1. Qualsiasi funzione differenziabile di ordine infinito può essere scritta come espansione di Taylor e espansione di Maclaurin.
2. La domanda fornisce una specifica funzione differenziabile di ordine infinito y=f(x), che può essere espansa in una serie di potenze tramite una formula. p61
3. Secondo l'unicità della formula di espansione, confrontando l'n-esimo coefficiente di potenza di (x-x0) in 1.2, possiamo ottenere la derivata di ordine n di f (X0)
4.27
5! =120
Domande d'esame
Esistono limiti importanti e ≠0
La madre è 0, il fader è 0
4.1
Il bambino è 0 e la madre è 0
Componi il limite. Le molecole hanno fisica. Quando vedi la radice quadrata, devi ricordare che le molecole hanno fisica.
4.3 La formula di Taylor dimostra che è differenziabile
E' normale, ma non si può fare
Dimostrare che è differenziabile, continuo e quando esiste il limite
Basta trovare quello più forte e dimostrarlo direttamente.
Esercizio 4.2 Il valore assoluto può essere considerato limitato
g''(0) esiste
g'(x) esiste in un certo intorno di 0
g(x) è differenziabile del secondo ordine in x=0. Esercizio 4.4★★★
Non è possibile utilizzare Lupida per trovare la derivata seconda
Lópida può essere utilizzato se la funzione può essere definita nel quartiere decentrato
Dice solo che esiste una derivata seconda in un punto e non è possibile utilizzare Lupida per la derivata seconda. Perché non ci sono indicazioni altrove
g′′(0) esiste, si può dedurre che g′(x) esiste nel suo campo decentralizzato.
⭐❤️Quindi usa la definizione di derivato per trovare
❤️Oppure usa l'espansione della formula di Taylor con il resto di Peiano per trovare
Definizione della derivata nei punti di segmentazione
Derivati trovati direttamente nei punti non segmentati
La funzione a tratti, zero a sinistra e a destra sono la stessa espressione
Non c’è bisogno di dividere la discussione tra destra e sinistra
Derivata della funzione potenza
Il risultato deve essere il più semplice possibile
Trova le derivate di ordine superiore
Nessuna regola, semplifica le difficoltà
Decomporre prima
Abbassare nuovamente la potenza
Quindi utilizzare la formula della derivata di ordine superiore
Ad esempio, la derivata di ordine n di (xe elevato a x)
(x n)e elevato alla potenza di
Trova dy/d(x2)
visto direttamente come la forma di divisione
Ad esempio, la derivata di una funzione come y=arcsinx consiste nel scrivere prima la funzione inversa. Quindi utilizzare la regola di derivazione della funzione inversa per trovarlo.
y＝1-x/1 x Funzionamento semplificato＝-1 2/1 x
Per formule contenenti più di e, prima il logaritmo e poi la derivazione 4.7
1000 domande
Taylor può trovare le derivate di ordine superiore solo a 0 punti
Derivate di ordine superiore all'ennesima potenza di (x-a), la derivata n-esima = n! e il resto = ni(x-a)
5. Quando si cerca la derivata di ordine superiore di una funzione a tratti, anche la derivata viene derivata direttamente nel punto a tratti senza definire la derivata.
Dopo aver calcolato la derivata del secondo ordine, abbiamo trovato arctan1/x nella formula, quindi abbiamo utilizzato la definizione di derivata e quindi derivato il risultato.
6. Comprendendo gli incrementi di funzione e i disegni differenziali, la situazione è diversa quando la derivata seconda è maggiore di zero e minore di zero.
12.13 Per le derivate di funzioni complesse, considera prima il logaritmo. Per la derivazione di una funzione logaritmica, portare la potenza in primo piano e quindi eseguire la derivazione.
15. Per la formula di espansione di questa domanda non è necessario il segno negativo.
Derivate di ordine superiore
Lemnitz
Per trovare la derivata n-esima di f(1)
Formula di Taylor
Per trovare la derivata n-esima di f(0)
Induzione
Per la derivata n-esima di f(x)
16. Trova il valore dopo aver cambiato lo yuan. Fai attenzione se le lettere nella domanda sono le stesse.
Quando si usa Lemnitz, la derivazione di chi diventa zero viene scritta per prima.
Funzionerà anche l’induzione
Il reciproco di 2/2 sotto la radice = radice quadrata 2
Sulla formula della derivata seconda delle equazioni parametriche
Se la derivata prima è complicata, puoi usare la formula per trovare la derivata seconda
Formula: y"t×x′t-y′t×x"t/(x′t)3
Differenziale dy = derivata × dx
24. Trova la derivata di ordine n in f(0)
=g′(x) deduce che è n del 1° ordine
Quando si deriva la derivata, n 1 deve essere moltiplicato in avanti.
g(x)=e elevato a x-1/x Ne consegue che la potenza di e elevato a x viene espansa a n elevato a 2/x=n elevato a 1.