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Grundkenntnisse der Oberstufenmathematik (quadratische Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen)
Dies ist eine Mindmap über die Grundkenntnisse der Oberstufenmathematik (quadratische Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen), einschließlich der Eigenschaften von Gleichheit und Ungleichheit. Grundlegende Ungleichungen (mittlere Ungleichheit) usw.
Edited at 2024-03-13 23:01:30
Grundkenntnisse der Oberstufenmathematik (quadratische Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen)
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Quadratische Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen einer Variablen
Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen und Ungleichungen
Quadratische Funktion
Graph einer quadratischen Funktion
Die Beziehung zwischen dem Graphen der Funktion y=x² und der Funktion y=ax² (a≠0)
Das Bild von y=ax² (a≠0) wird erhalten, indem die Abszissenkoordinate jedes Punktes des Bildes von y=x² unverändert bleibt und die Ordinate zum a-fachen des ursprünglichen Werts wird.
a bestimmt die Richtung und Größe der Bildöffnung. Je größer a ist, desto kleiner ist die Bildöffnung.
Die Beziehung zwischen dem Graphen der Funktion y=ax² (a≠0) und der Funktion y=a(x h)² k (a≠0)
y=ax² geht durch {h>0, h-Einheitslänge nach links verschieben; h<0 h-Einheitslänge nach rechts verschieben}, um y=a(x h)² zu erhalten
y=a(x h)² geht durch {k>0, k Längeneinheiten nach oben verschieben; k<0, k Einheitslängen nach unten verschieben}, um y=a(x h)² k zu erhalten
Nachdem die Funktion y=ax² bx c (a≠0) in die Form y=a(x h)² k formuliert wurde, wird sie durch Verschieben des Bildes von y=ax² (a≠0) nach links und rechts erhalten
Eigenschaften quadratischer Funktionen
Drei Eigenschaften quadratischer Funktionen
Wenn die Scheitelpunktkoordinaten der quadratischen Funktion (-h, k) bekannt sind, kann die quadratische Funktion ausgedrückt werden als y=a(x h)² k (a≠0)
Wenn bekannt ist, dass die beiden Wurzeln der Gleichung ax² bx c=0 (a≠0) x1 und x2 sind (der Schnittpunkt der Parabel und der X-Achse der Abszisse), dann kann die quadratische Funktion als y= ausgedrückt werden a(x-x1)(x -x2)（a≠0）
Eigenschaften der Funktion y=ax² bx c (a≠0)
Funktion a>0
Öffnungsrichtung
hoch
Scheitelpunktkoordinaten
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Symmetrieachse
x=-b/(2a)
Maximal- und Minimalwertprobleme
Wenn x=-b/(2a), hat die Funktion einen Minimalwert (4ac-b²)/(4a); es gibt keinen Maximalwert
Funktion a<0
Öffnungsrichtung
runter
Scheitelpunktkoordinaten
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Symmetrieachse
x=-b/(2a)
Maximal- und Minimalwertprobleme
Wenn x=-b/(2a), hat die Funktion einen Maximalwert (4ac-b²)/(4a); es gibt keinen Minimalwert
Das Konzept der quadratischen Gleichung einer Variablen
Konzept
Eine Gleichung, bei der beide Seiten des Gleichheitszeichens ganze Zahlen sind, nur eine Unbekannte (unär) enthält und der höchste Grad der Unbekannten quadratisch ist.
Allgemeine Form: y=ax² bx c (a≠0)
Lösung der quadratischen Gleichung
Auch Wurzeln einer quadratischen Gleichung einer Variablen genannt
1. Wenn a≠0, kann man sagen, dass die Gleichung eine quadratische Gleichung ist. 2. Wenn im Text eindeutig angegeben ist, dass y=ax² bx c eine quadratische Gleichung ist, impliziert dies die Bedingung a≠0 3. c ist ein konstanter Term (oder kann als Koeffizient eines Termes nullter Ordnung betrachtet werden)
Lösung einer quadratischen Gleichung einer Variablen
Lösen Sie quadratische Gleichungen einer Variablen mithilfe der direkten Quadratwurzel
Im Allgemeinen wird die Methode, die Definition der Quadratwurzel zu verwenden, um die Quadratwurzel direkt zu ziehen und die Lösung einer quadratischen Gleichung zu finden, als direkte Quadratwurzelmethode bezeichnet.
Für eine quadratische Gleichung der Form (ax b)²=c (c≥0) ist die Lösung x=(±Ö(c) -b)/a
Hinweis: Wenn Sie die direkte Quadratwurzelmethode verwenden, ist c ≥ 0 und wenn Sie die Quadratwurzel ziehen, achten Sie auf ±√c
Lösen quadratischer Gleichungen einer Variablen mithilfe der Formelmethode
Definition
Eine quadratische Gleichung der Form ax² bx c=0 (a≠0) wird in eine vollständig quadratische Gleichung mit einer unbekannten Zahl am linken Ende und einer nichtnegativen Konstante am rechten Ende umgewandelt, die direkt durch gelöst werden kann Quadratwurzelmethode.
Allgemeine Schritte
Element verschieben
Stellen Sie sicher, dass die linke Seite der Gleichung nur quadratische und lineare Terme enthält und die rechte Seite konstante Terme enthält
Setzen Sie a auf 1
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Termes, um den Koeffizienten des quadratischen Termes auf 1 zu ändern
Formel
Addiere das halbe Quadrat des Koeffizienten des linearen Termes zu beiden Seiten der Gleichung (d. h. addiere [b/(2a)]² in der allgemeinen Form). Wandeln Sie die ursprüngliche Gleichung in die Form (x-n)²=m um (d. h. umgewandelt in: [x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²))
Wenn m≥0, verwenden Sie zur Lösung direkt die Quadratwurzelmethode
Wenn m<0, dann hat die ursprüngliche Gleichung keine reellen Wurzeln, das heißt, die Gleichung hat keine reellen Lösungen.
Lösen quadratischer Gleichungen einer Variablen mithilfe der Formelmethode
In ax² bx c=0 (a≠0), wenn b²-4ac≥0, setzen Sie a, b, c in die Formel x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) ein, um die Gleichung zu erhalten Wurzel
Der Ableitungsprozess der Wurzelformel einer quadratischen Gleichung wird durch Verfolgen der Quadratwurzelverschiebung der allgemeinen Schritte in der Koordinationsmethode erreicht.
Die Voraussetzung für die Verwendung der Formelmethode zur Lösung einer quadratischen Gleichung einer Variablen ist b²-4ac≥0, wobei Δ=b²-4ac als Diskriminante bezeichnet wird
Wenn Δ=b²-4ac>0, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln, x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
Wenn Δ=b²-4ac=0, dann hat die Gleichung zwei identische reelle Wurzeln, x1=x2=-b/(2a)
Wenn Δ=b²-4ac<0, dann gibt es keine echten Wurzeln
Die Rolle von Δ=b²-4ac 1. Bestimmung der Wurzeln ohne Lösung der Gleichung 2. Bestimmen Sie den Wertebereich des Buchstabenkoeffizienten gemäß der Gleichung 3. Besprechen und lösen Sie Probleme im Zusammenhang mit den Wurzeln quadratischer Gleichungen einer Variablen 4.Δ=0 bedeutet, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln anstelle nur einer Wurzel hat.
Allgemeine Schritte zum Lösen quadratischer Gleichungen einer Variablen mithilfe der Formelmethode
In die allgemeine Form ax² bx c=0 (a≠0) umwandeln
Bestimmen Sie die Werte von a, b, c
Berechnen Sie den Wert von Δ=b²-4ac
Bestimmen Sie die Wurzelsituation basierend auf dem Wert von Δ=b²-4ac
Wenn es reelle Wurzeln gibt, verwenden Sie die Formelmethode, um die Gleichung x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a) zu lösen.
1. Wenn die Gleichung unbekannte Buchstaben enthält, muss sie als Konstante betrachtet werden. Organisieren Sie die Gleichung zunächst in die allgemeine Form einer Gleichung über die Unbekannte und verwenden Sie dann die Wurzelfindungsformel unter der Voraussetzung, dass b²-4ac≥0 2. Achten Sie auf den Wertebereich der Buchstaben in der Frage und diskutieren Sie diesen.
Faktorisierungsmethode zur Lösung quadratischer Gleichungen einer Variablen
Definition von Factoring
Definition
Wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen, faktorisieren Sie sie zunächst, sodass die Gleichung eine Form annimmt, in der das Produkt zweier linearer Gleichungen gleich 0 ist, und machen Sie dann die beiden linearen Gleichungen jeweils gleich 0, wodurch eine Gradreduzierung erreicht wird Lösen einer quadratischen Gleichung Die Methode wird Faktorisierungsmethode genannt
Theoretische Basis
Das Produkt zweier Faktoren ist gleich Null, dann ist mindestens einer der beiden Faktoren gleich Null, das heißt, wenn ab=0, dann ist a=0 oder b=0
Hauptmethode
Methode zum Extrahieren gemeinsamer Faktoren
Verwenden Sie die quadrierte Differenzformel
a²-b²=(a b)(a-b)
Verwenden Sie die perfekte Quadratformel
a²±2ab b²=(a±b)²
Kreuzmultiplikation
Wenn in x² Cx D=0, können wir D=ab, C=a b finden, dann x² Cx D=(x a)(x b)
Die Beziehung zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten
Vedischer Satz
x1 x2=-b/a, x1·x2=c/a
Wichtige Folgerung zur Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten
Folgerung 1
Wenn die Gleichung x² px q=0, dann x1 x2=-p, x1·x2=q
Folgerung 2
Eine quadratische Gleichung einer Variablen mit zwei Zahlen x1 und x2 als Wurzeln (der Koeffizient des quadratischen Termes ist 1) kann ausgedrückt werden als: x²-(x1 x2)x x1·x2=0
Enthaltene Bedingungen
Die Gleichung ist eine quadratische Gleichung, das heißt, der Koeffizient des quadratischen Termes ist nicht Null, a≠0
Die Gleichung hat reelle Wurzeln, das heißt, wenn Δ=b²-4ac≥0
Folgevariante
x1² x2²=(x1² 2x1·x2 x2²)-2x1·x2=(x1 x2)²-2x1·x2
1/x1 1/x2=(x1 x2)/(x1·x2)
(x1 a)(x2 a)=x1·x2 a(x1 x2) a²
|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)
Besprechen Sie die Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten von Wurzeln
Wenn die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung ax² bx c=0 (a≠0) x1 und x2 sind, dann
Δ≥0 und x1·x2>0
x1 x2>0
Beide Wurzeln sind positive Zahlen
x1 x2<0
Beides sind negative Zahlen
Δ>0 und x1·x2<0
x1 x2>0
Die beiden Wurzeln haben unterschiedliche Vorzeichen und die positive Wurzel hat einen größeren Absolutwert.
x1 x2<0
Die beiden Wurzeln haben unterschiedliche Vorzeichen und die negative Wurzel hat einen größeren Absolutwert.
Lösungen zu Gleichungen und Gleichungssystemen
Im Allgemeinen wird die Menge aller Lösungskombinationen einer Gleichung als Lösungsmenge dieser Gleichung bezeichnet.
Der Schnittpunkt der Lösungsmengen jeder Gleichung ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems.
Quadratische Ungleichung einer Variablen
Konzept
Definition
Im Allgemeinen nennen wir eine Ungleichung, die nur eine unbekannte Zahl enthält und deren höchster Grad 2 ist, eine quadratische Ungleichung einer Variablen. Die allgemeine Form einer quadratischen Ungleichung einer Variablen ist ax² bx c>0 oder ax² bx c>0, wobei a, b, c alle Konstanten sind, a≠0
Ausdruck, wobei a, b, c alle Konstanten sind, a≠0
ax² bx c≤0
ax² bx c<0
ax² bx c≥0
ax² bx c>0
Lösungsmenge, wobei a, b, c alle Konstanten sind, a≠0
ax² bx c≥0
Die Wertemenge der unabhängigen Variablen x, sodass der Funktionswert von y=ax² bx c größer oder gleich 0 ist
ax² bx c>0
Die Wertemenge der unabhängigen Variablen x, sodass der Funktionswert von y=ax² bx c eine positive Zahl ist
ax² bx c≤0
Die Wertemenge der unabhängigen Variablen x, sodass der Funktionswert von y=ax² bx c kleiner oder gleich 0 ist
ax² bx c<0
Die Wertemenge der unabhängigen Variablen x, sodass der Funktionswert von y=ax² bx c eine negative Zahl ist
Nullpunkt der quadratischen Funktion
Im Allgemeinen nennen wir für die quadratische Funktion y=ax² bx c die reelle Zahl x, die ax² bx c=0 ergibt, den Nullpunkt von y=ax² bx c
Lösung der quadratischen Ungleichung einer Variablen
Δ=b²-4ac
Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac=0
Δ=b²-4ac<0
y=ax² bx c
y=ax² bx c>0
y=ax² bx c=0
y=ax² bx c<0
Kombinieren Sie die Ungleichheitsbeziehung zwischen der Diskriminante und der Funktion und lösen Sie die Lösung der Ungleichung durch Bildanalyse
Lösungen für gebrochene Ungleichungen
4 Formen und Lösungen gebrochener Ungleichungen
f(x)/g(x)>0 ⇔ f(x)·g(x)>0
f(x)/g(x)<0 ⇔ f(x)·g(x)<0
f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0, und g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)>0, und f(x)= 0
f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0, und g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)<0, und f(x)= 0
Die gleiche Lösungsbeziehung zwischen Ungleichungen und Ungleichheitsgruppen
f(x)·g(x)≥0
f(x)≥0 und g(x)≥0
Oder f(x)≤0 und g(x)≤0
f(x)·g(x)≤0
f(x)≥0 und g(x)≤0
Oder f(x)≤0 und g(x)≥0
Das Problem der ständigen Etablierung von Ungleichheiten
Die Bedingung, dass die Lösungsmenge der Ungleichung R ist (oder immer wahr ist)
y=ax² bx c
wenn a=0
b=0,c>0
y=ax² bx c>0 ist immer wahr
b=0,c<0
y=ax² bx c<0 ist immer wahr
Wenn a≠0
a>0, Δ<0
y=ax² bx c>0 ist immer wahr
a<0, Δ<0
y=ax² bx c<0 ist immer wahr
Eine Methode zum Ermitteln des Parameterwertebereichs, wenn die Ungleichung konstant ist
Für y=f(x)≤a gilt immer ⇔ f(x)max≤a
Für y=f(x)≥a gilt immer ⇔ f(x)min≥a
Verteilung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung einer Variablen
Voraussetzungen
Angenommen, die Gleichung ax² bx c=0 (Δ>0, a≠0) hat zwei ungleiche Wurzeln x1, x2 und x1＜x2, die entsprechende Funktion ist y=ax² bx c
Fall 1: Vergleichen Sie die Größe zweier Wurzeln mit 0, dh vergleichen Sie die positiven und negativen Bedingungen der Wurzeln
a>0
x1<x2<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < 0 ③f(0)>0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0＜x1＜x2
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > 0 ③f(0)>0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)<0
①a·f(0)<0
a<0
x1<x2<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < 0 ③f(0)<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < 0 ③a·f(0)>0
0＜x1＜x2
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > 0 ③f(0)<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
x1<0<x2
①f(0)>0
①a·f(0)<0
Situation 2: Vergleich der Größen zweier Wurzeln und k
a>0
x1<x2<k
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < k ③f(k)>0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < k ③a·f(k)>0
k<x1<x2
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > k ③f(k)>0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > k ③a·f(k)>0
x1<k<x2
①f(k)<0
①a·f(k)<0
a<0
x1<x2<k
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < k ③f(k)<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) < k ③a·f(k)>0
k<x1<x2
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > k ③f(k)<0
①Δ>0 ②Symmetrieachse-b/(2a) > k ③a·f(k)>0
x1<k<x2
①f(k)>0
①a·f(k)<0
Fall 3: Verteilung der Wurzeln auf dem Intervall, wobei m<n<p<q
a>0
m<x1<x2<n
①Δ>0 ②f(m)>0 ③f(n)>0 ④m＜Symmetrieachse-b/(2a)＜n
①Δ>0 ②f(m)·f(n)>0 ③m＜Symmetrieachse-b/(2a)＜n
m<x1<n<x2 oder x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)>0 ②f(n)<0 ③f(p)<0 ④f(q)>0 oder ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
a<0
m<x1<x2<n
①Δ>0 ②f(m)<0 ③f(n)<0 ④m＜Symmetrieachse-b/(2a)＜n
①Δ>0 ②f(m)·f(n)>0 ③m＜Symmetrieachse-b/(2a)＜n
m<x1<n<x2 oder x1<m<x2<n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m<x1<n<p<x2<q
①f(m)<0 ②f(n)>0 ③f(p)>0 ④f(q)<0 oder ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
Fall 4: Verteilung der Wurzeln im Intervall x1＜m, x2＞n
a>0
①f(m)<0 ②f(n)<0
a<0
①f(m)>0 ②f(n)>0
Besonderer Fall
ich
Wenn im gegebenen f(x)-Funktionsintervall (m,n) f(m)=0 oder f(n)=0 ist, dann ist f(m)·f(n)<0 aus f( m)=0 oder f(n)=0, es ist leicht zu wissen, dass m oder n eine der Lösungen der Gleichung ist, das heißt, die Gleichung kann in der Form ax² bx c=(x-m) geschrieben werden. ·(Ax B), was bedeutet, dass es einen Faktor (x-m) [oder (x-n)] gibt, Sie können die andere Wurzel der Gleichung finden und so bestimmen, ob sie zum Intervall (m, n) gehört, und finden Wert oder Bereich des Parameters
ii
Die obige Situation 1, Situation 2, Situation 3 und Situation 4 sind allesamt die Ergebnisse der Diskussion, wenn Δ> 0 ist, wobei die Situation von Δ = 0 ignoriert wird. Achten Sie bei der tatsächlichen Lösung des Problems darauf, zu prüfen, ob es eine Bedingung gibt, die erfüllt die Bedingung, wenn Δ=0 Parameterwert
Grundlegende Ungleichungen (mittlere Ungleichung)
wichtige Ungleichheiten
Wenn a, b∈R,
Dann a²≥0 (genau dann, wenn a=0, erhält man das Gleichheitszeichen)
|a|≥0, (das Gleichheitszeichen erhält man genau dann, wenn a=0)
(a-b)²≥0
a² b²≥2ab
[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²
(a b)²≥4ab
Erhalten Sie das Gleichheitszeichen genau dann, wenn a=b
grundlegende Ungleichheiten
Wenn a>0, b>0
Dann gilt: (2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)
Grundungleichung: harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel ≤ quadratisches Mittel
Speicher: Passen Sie die Zahl an und berechnen Sie die Formel
Um den optimalen Wert grundlegender Ungleichungen zu finden, müssen ein positives, zwei bestimmte und drei gleiche Ungleichungen erfüllt sein
Die Summe positiver Zahlen ist ein konstanter Wert, dann hat das Produkt positiver Zahlen den Maximalwert
Das Produkt positiver Zahlen ist ein konstanter Wert, dann hat die Summe positiver Zahlen einen Mindestwert
Erweiterungen grundlegender Ungleichungen
Arithmetisches Mittel dreier positiver Zahlen – geometrische Mittelungleichung
Wenn a, b, c∈R, dann: (a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn a=b=c
Arithmetisches Mittel von n positiven Zahlen – geometrische Mittelungleichung
Wenn A1, A2,...An∈R, dann: (A1 A2... An)/n ≥ (A1·A2·...An)^(1/n)
Gleichheits- und Ungleichheitseigenschaften
Gleichheit und Ungleichheit
Der Begriff der Gleichung
Ein Ausdruck, der ein Gleichheitszeichen enthält, wird Gleichung genannt
Das Konzept der Ungleichheit
Verwenden Sie mathematische Symbole ≠ ＞ ＜ ≥ ≤, um zwei Zahlen oder algebraische Ausdrücke zu verbinden, um die Ungleichheit zwischen ihnen auszudrücken. Ausdrücke, die diese Ungleichheitszeichen enthalten, werden Ungleichungen genannt.
Das Konzept der Ungleichheiten in die gleiche Richtung und der Ungleichheiten in entgegengesetzte Richtungen
Ungleichheit in die gleiche Richtung
Wenn die linke Seite zweier Ungleichungen größer (oder kleiner) als die rechte Seite ist, werden die beiden Ungleichungen als gleichsinnige Ungleichungen bezeichnet.
heterogene Ungleichheit
Wenn die linke Seite einer Ungleichung größer als die rechte Seite und die rechte Seite einer anderen Ungleichung größer als die linke Seite ist, heißen die beiden Ungleichungen entgegengesetzte Ungleichungen.
Häufig verwendete Ungleichheitszeichen
Größer als ＞, kleiner als ＜, größer oder gleich (mindestens, nicht weniger als) ≥, kleiner oder gleich (höchstens, nicht mehr als) ≤
Differenzenmethode vergleicht zwei reelle Zahlen (algebraische Ausdrücke)
a-b>0, dann a>b
a-b<0, dann a<b
a-b=0, dann a=b
Um zwei beliebige reelle Zahlen zu vergleichen, müssen Sie lediglich die Beziehung zwischen ihrer Differenz und 0 bestimmen.
Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen
Wenn a=b, dann ist b=a
Wenn a=b, b=c, dann a=c
Wenn a=b, dann a±c=b±c
Wenn a=b, dann ac=bc
Wenn a=b, dann a/c=b/c (c≠0)
Erweiterung: Wenn a=b, dann a^n=b^n (n∈N,N≥2)
Erweiterung: Wenn a=b>0, dann a^(1/n)=b^(1/n) (n∈N,N≥2)
Eigenschaften von Ungleichungen
1Symmetrie
a＞b⇔b＜a
Reversibel
2 Transitivität
a>b, b>c⇒a>c
In die gleiche Richtung
3 Additivität
a>b⇔a c>b c
Reversibel
Übertragungsregel
a b＞c⇔a＞c-b
Reversibel
4 Multiplikationsfähigkeit
a>b und c>0⇒ac>bc a>b und c<0⇒ac<bc
Achten Sie auf die Situation c>0 oder c<0
5 Additivität in die gleiche Richtung
a>b und c>d, ⇒a c>b d
Kann in die gleiche Richtung hinzugefügt werden
6 Multiplizierbarkeit gleicher Richtung und gleicher positiver Richtung
a>b>0 und c>d>0, ⇒ac>bd
Gleiche Richtung und gleiche Richtung können multipliziert werden
7 Exponentiabilität
a＞b>0，⇒a^n＞b^n（n∈N,N≥2）
Tongzheng kann potenziert werden
Ungleichungen in die gleiche Richtung können nicht subtrahiert und Ungleichungen in entgegengesetzte Richtungen nicht addiert werden.
Häufig verwendete Ungleichungen
gegenseitiges Eigentum
a>b, ab>0, ⇒(1/a)<(1/b)
Ungleichheitseigenschaft 4
a<0<b，⇒(1/a)<(1/b)
a>b>0 und 0<c<d, ⇒(a/c)>(b/d)
0＜a＜x＜b (oder a＜x＜b＜0), ⇒(1/b)＜(1/x)＜(1/a)
Brucheigenschaften
Wenn a>b>0, m>0, dann
Eigenschaften echter Brüche
(b/a)<[(b m)/(a m)]
(b/a)>[(b-m)/(a-m)], wobei b-m>0
Das heißt: Wenn zum Zähler und Nenner eines echten Bruchs gleichzeitig dieselbe positive Zahl addiert wird, wird der Wert des Bruchs größer.
Falsche Brucheigenschaften
(a/b)>[(a m)/(b m)]
(a/b)<[(a-m)/(b-m)], wobei b-m>0
Das heißt: Wenn zum Zähler und Nenner eines unechten Bruchs gleichzeitig die gleiche positive Zahl addiert wird, wird der Wert des Bruchs kleiner.