MindMap Gallery 概统第二章 随机变量及其分布
概统第二章随机变量及其分布(无答案),设随机变量是随机试验E的样本空间为S={e},如果对于每一个样本点,都有确定的实数值X(e)与之对应,则取值为实数的函数X=X(e)称为随机变量,简记为X。
Edited at 2023-10-25 23:30:07Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Einhundert Jahre Einsamkeit ist das Meisterwerk von Gabriel Garcia Marquez. Die Lektüre dieses Buches beginnt mit der Klärung der Beziehungen zwischen den Figuren. Im Mittelpunkt steht die Familie Buendía, deren Wohlstand und Niedergang, interne Beziehungen und politische Kämpfe, Selbstvermischung und Wiedergeburt im Laufe von hundert Jahren erzählt werden.
Projektmanagement ist der Prozess der Anwendung von Fachwissen, Fähigkeiten, Werkzeugen und Methoden auf die Projektaktivitäten, so dass das Projekt die festgelegten Anforderungen und Erwartungen im Rahmen der begrenzten Ressourcen erreichen oder übertreffen kann. Dieses Diagramm bietet einen umfassenden Überblick über die 8 Komponenten des Projektmanagementprozesses und kann als generische Vorlage verwendet werden.
概统第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
定义
设随机试验E的样本空间为S={e},如果对于每一个样本点,都有确定的实数值X(e)与之对应,则取值为实数的函数X=X(e)称为随机变量,简记为X。
(1)通常用 或希腊字母 等表示随机变量。
(2) 随机变量X是定义在样本空间S={e}上的一个单值实值函数。
(3) 随机变量X是一个确定性函数。 (不确定性是针对一个样本点发生与否)
对每一可能的结果e,都有一实数X(e)与之对应。
引入随机变量后,随机事件就用随机变量的取值来表示。随机事件的概率转化为随机变量取值的概率。
2.2 随机变量的分布函数
为了研究随机变量X在整个实数轴上的任意区间内取值的概率规律。我们引进随机变量的分布函数的概念。
定义
设X为随机变量,对于任意实数x,令 称F(x)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数。记为
分布函数 F(x)具有以下基本性质:
(1)取值范围: ,且
(2)单调不减: 即
(3)右连续,
(4)
(5)
2.3 离散型随机变量及其概率分布
根据取值的不同特点,随机变量分为离散型和非离散型随机变量。非离散型随机变量中,主要研究连续性随机变量.
离散随机变量的定义:若随机变量X只可能取有限个或可数个实数值: 则称X为离散型随机变量。 X取各个可能值的概率 称为离散型随机变量X的概率分布(或分布律,或分布列)。
离散型随机变量的分布律:
描述离散型随机变量取值的概率规律.
具有分布函数的相同作用,
比分布函数更直接简便地描述随机变量取值的概率规律.
离散型随机变量X的分布律的表示方法:
(1)公式法:
(2)列表法或矩阵法 :
离散型随机变量X的分布律具有下列基本性质:
(1)
(2)
定理:设离散型X分布律
(1) X的分布函数
(2)对于任意区间I,有
(3) 分布律可由分布函数确定
2.4 常用离散型随机变量的分布
两点分布
定义
若随机变量X的分布律为 ,则称X为服从参数为p的两点分布,或称(0-1)分布.
一般来说,凡是只有两个可能结果的随机试验,都可用服从两点分布的随机变量来描述.
二项分布
二项分布来源于n重贝努里(Bernoulli)试验。
(1) n次相互独立的试验:某种试验重复做n次.如果每次试验的结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的.
(2)n重Bernoulli试验:设试验E只有两个可能结果: , .将试验E独立地重复做n次,则这n次独立重复试验称为n重Bernoulli试验.
贝努里试验是一种非常重要的数学模型,不但理论上有重要意义,而且在实际中也有广泛应用。
分布律
n重Bernoulli试验中,设事件A发生的次数为随机变量X,则X的所有可能取值为0,1,2,…,n.
随机变量X的分布律: P{X=k} (k=0,1,2,…,n).
二项分布的定义
如果随机变量X的分布律为 则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
两点分布是二项分布的特殊形式,即X~B(1,p) 。
小概率原理具有两面性:小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的;小概率事件在很多次实验中几乎是一定会发生的.
泊松分布
定义
若随机变量X的分布律为 ,其中λ>0则称X服从参数为λ的泊松分布,记作 .
适于描述:单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。
Poisson定理
Poisson定理说明:
若X ~ B( n, p), 则当 n 较大,p 较小,而np=λ适中,则可以用近似公式
当n很大而p很小时, 二项分布与泊松分布具近似关系,一般地,当n>=10, p<=0.1时,有近似公式:
泊松分布查表:
超几何分布
设一批产品中有M件正品,N件次品.从中任意取n件,则取到的次品数X是一个离散型随机变量,它的概率分布为: 。这个分布称为超几何分布。
2.5 连续型随机变量及其概率密度函数
定义
设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个定义在(-∞, ∞)上非负可积函数f(x),使得对任何实数x,恒有,则称X为连续型随机变量,称函数f(x)为随机变量X的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.
概率密度函数f(x)的性质
(1) 对一切x∈(-∞, ∞), f(x)≥0,
(2)
反之,任何一个具有性质(1)和(2)的实数域上可积函数f(x),可成为某个连续型随机变量的概率密度函数.
分析性质
设X为连续型随机变量, 分布函数为F(x),概率密度为f(x),则有
(1)
(2) 若f(x)在x0点连续,则F(x)在x0点可导,且 ,若f(x)是分段连续函数,只有有限个不连续点,则 。
(3) 连续型随机变量取任何特定值的概率都是0。
(4) 连续型随机变量在任一区间上取值的概率:此区间上概率密度函数曲线下方的曲边梯形的面积。
2.6 常用的连续型随机变量分布
均匀分布
如果连续型随机变量X,它的概率密度函数为: 则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记做X~U[a,b].
指数分布
若随机变量X的概率密度为 则X称服从参数为λ的指数分布,计为 X~e(λ)
子主题
韦布尔(Weibull)分布
伽马分布
正态分布
定义
若X为连续型随机变量,且其概率密度为 ,其中 均为常数,那么称X为服从参数为μ,σ的正态分布。记作:
正态分布的概率密度曲线具有如下性质:
(1)曲线关于直线x=μ对称; (-∞,μ] 严增, [μ, ∞) 严减 当x=μ时,f(x)达到最大值
(2) 所以曲线以x轴为渐近线;
(3)曲线在x=μ σ及x=μ-σ处有拐点.
标准正态分布
参数μ=0,σ=1的正态分布,即N(0,1),称为标准正态分布,其概率密度和分布函数分别用φ(x) 和Φ(x)表示,即有
子主题
Φ(x) 可查表
标准正态分布N(0,1)的下侧α分位点
一般正态分布 与标准正态分布N(0,1)的关系
判断函数是否为某一随机变量的分布函数:若定义在 上的实函数F(x)满足性质(1)-(3),则F(x)一定是某随机变量X的分布函数。