Объект, рассматриваемый в предложении, называется индивидуумом.

Индивидуум – это нечто, существующее независимо. Индивидуумы могут быть конкретными, например, 5, 3, 2 и Чжан Сан также может быть абстрактным, например, человеком.

Конкретные и конкретные индивиды называются индивидуальными константами.

Неопределенные индивиды называются индивидуальными переменными.

При обсуждении отдельных лиц обычно необходимо указать объем индивидуального обсуждения, который называется индивидуальной областью и обозначается буквой D. Обычно предполагается, что D не пусто

Мы берем все мыслимые объекты в мире, например, всех животных, все растения. Набор, состоящий из объектов, всех букв, всех цифр и т. д., называется полным индивидуальным доменом, просто Называемый глобальным доменом, это самый большой индивидуальный домен.

Слова, выражающие отдельные свойства и отношения между людьми, называются предикатами. предикат - это отношение

Предикат, выражающий свойства индивида, называется одноэлементным предикатом, который выражает свойства n индивидов. Предикат связи между называется n-арным предикатом.

Для любого n-арного предиката, чтобы выразить предикат и его арность одновременно, Как и выражение n-арной функции, оно выражается в виде P(x1, x2, · · · , xn).

И G(x, y) : x > y, это функция относительно предложений, называемая пропозициональными функциями.

Выбор предиката связан с индивидуальным доменом.

Другой способ сделать P(x) предложением — дать количественную оценку отдельным переменным x.

Слова, выражающие отдельные количественные характеристики, называются кванторами.

Текущая количественная оценка выполняется только для отдельных лиц, а не для предикатов, поэтому ее называют предикатами первого порядка. словесная логика

За квантором должен следовать Переменные объема, такие как ∀x, ∀y, · · ·, ∀δ, ∃x, ∃y, · · ·, ∃δ. Следовательно, ∀x, ∃x — это общий. Отдельные переменные, следующие за квантором, называются направляющими переменными.

Если все отдельные переменные в пропозициональной функции имеют количественную оценку, мы получаем предложение вопрос

Роль или юрисдикция квантора ∀x или ∃x называется областью действия или областью действия ∀x или ∃x, а отдельная переменная x в пределах области действия называется переменной ограничения.

Чтобы выразить «отец Чжан Саня», «сумму квадратов двух чисел» и т. д., нам нужно использовать функции Числа обычно называют функциями в логике предикатов.

Формулой предиката (формулой предиката) называют формулу, которая совпадает с пониманием формулы предложения. Таким образом, если это правильно написанная символьная строка или выражение с ясным смыслом (включая предикаты) это формула предиката

Соответствует любому натуральному числу n, n-арному предикату P и n произвольным индивидам. t1,t2, · · · ,tn, P(t1,t2, · · · ,tn) – формула предиката.

A — формула предиката, тогда ¬A — формула предиката.

Если A и B — формулы предикатов, то A ⋆ B — формула предиката, где ⋆ — двоичная формула. Логические связи.

Если A — формула предиката, то ∀xA, ∃xA — формулы предиката.

Строка символов, полученная с помощью (1)(2)(3)(4) выше конечного числа раз, является единственным предикатом формула.

Если A и B — формулы предикатов, то A ⋆ B — формула предиката, где ⋆ — двоичная формула. Логические связи.

Шаги по символизации предложений в логике предикатов следующие:

Существует бесконечно много интерпретаций формулы предиката, и каждая интерпретация (интерпретация) I состоит из 5 Состоит из частей,

Логическая эквивалентность двух исключающих кванторов

Формула предиката, которая истинна при любой интерпретации, называется постоянной истинной или действительной формулой.

Существует как интерпретация 1, так и предикат, который имеет интерпретацию 0. Формула называется нейтральной или случайной.

Формула нейтрального предиката не может быть определена за конечное число шагов, формула всегда истинного (или всегда ложного) предиката может быть определена за; Решение в рамках ограниченных шагов.

Предположим, что H1, H2, · · · , Hn и C являются пропозициональными формулами. Если все H1, H2, · · · , Hn истинны, то Можно заключить, что C обязательно истинно, тогда говорят, что вывод C выводится из H1, H2, · · · ,Hn Форма действительна (форма действительна аргумента), обозначается как H1, H2, · · · ,Hn ⇒ C.

Предположим, что H1, H2, · · · ,Hn и C – пропозициональные формулы, тогда заполнение H1,H2, · · · ,Hn ⇒ C Необходимым условием является то, что H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn → C — постоянная формула, То есть H1 ∧ H2 ∧ · · · ∧ Hn ⇒ C

Имеет место следующее логическое следствие: (1) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)). (2) ∃x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃xA(x) ∧ ∃xB(x).

Предположим, что A — формула предиката, если A = Q1x1Q2x2 · · · Qnxn(· · · B · · ·)(n ≥ 0), Если Qi равно ∀ или ∃ и в B нет компонента, его называют A = Q1x1Q2x2 · · · Qnxn(· · · B · · ·) – прямая нормальная форма A

1. Свести логические связки к формулам-предикатам, содержащим только ¬, ∧, ∨.

2. Используйте следующие два эквивалентных выражения, чтобы переместить отрицательную связку внутрь. (1) ¬∀xA(x) = ∃x¬A(x) (2) ¬∃xA(x) = ∀x¬A(x)

3. Используйте эквивалентные выражения, чтобы переместить все квантификаторы вперед, при необходимости используя методы переименования.

Предположим, что A и B являются формулами-предикатами. Если A и B имеют одинаковое значение при любой интерпретации, Тогда A и B называются логически эквивалентными и обозначаются как A = B.

Необходимым и достаточным условием A = B является то, что формула предиката A ↔ B всегда истинна.

¬∀xA(x) = ∃x¬A(x).

¬∃xA(x) = ∀x¬A(x).

∀x(A(x) ∧ B) = ∀xA(x) ∧ B

∀x(A(x) ∨ B) = ∀xA(x) ∨ B

∃x(A(x) ∧ B) = ∃xA(x) ∧ B

∃x(A(x) ∨ B) = ∃xA(x) ∨ B.

∀x(A(x) ∧ B(x)) = ∀xA(x) ∧ ∀xB(x)

∃x(A(x) ∨ B(x)) = ∃xA(x) ∨ ∃xB(x)

слово с двойным весом