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数学分析-实数集与函数思维导图
这是一篇关于数学分析-实数集与函数思维导图，包含实数集与函数，函数概念、复合函数、函数的四则运算等。希望对你有所帮助！
編輯於2023-11-04 21:13:22
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数学分析
第一章 实数集与函数
§1 实数
一.实数及其性质
实数的分类
有理数
整数
正整数
0
自然数
负整数
分数
有限小数
无限循环小数
形如p/q(其中q≠0，且p、q均为整数）
无理数
实数的大小关系
注意，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示
规定任何非负实数大于任何负实数
大于、等于或小于
x的n位不足近似和过剩近似
不足近似当n增大时不减
过剩近似当n增大时不增
注
x>y的等价条件：存在非负整数n，使得x的n位不足近似大于y的n位过剩近似
实数的六个性质实
封闭性
任意两个实数的和差积商(除数不为0）仍是实数
有序性
即任意两个实数a、b必须满足下述三个关系之一
a＜b,a＞b,a=b
传递性
即若有a＞b,b＞c,则有a＞c
阿基米德性
对任何a，b∈R，若b＞a＞0,则存在正整数n，使得na＞b
稠密性
任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。
实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系
二.绝对值与不等式
实数a的绝对值定义
│a│=
a, a≥0
-a, a＜0
实数的绝对值的性质
│a│=│-a│≥0,当且仅当a=0时，有│a│=0
-│a│≤a≤│a│
│a│＜h等价于-h＜a＜h ，│a│≤h等价于-h≤a≤h
│ab│=│a││b│
│a/b│=│a│/│b│（b≠0）
对于任何a,b∈R,都有如下的三角形不等式│a│-│b│≤│a±b│≤│a│ │b│
§2数集·确界原理
一、区间与邻域
区间的分类
设a,b∈R且a＜b,则称数集{x|a<x<b}为开区间，记作（a,b）
数集{x|a≤x≤b}为闭区间，记作[a，b]
满足不等式a≤X<b或a<X≤b的所有实数X所组成的集合叫半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]
有限区间
（-∞,a]={x|x≤a},(a, ∞)={x|x＞a}
（-∞,a）={x|x＜a},(-∞, ∞)={x|-∞＜x＜ ∞}=R
无限区间
区间
邻域的分类
点a的δ邻域：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a δ）称为点a的δ邻域，记作U（a；δ）={x││x-a│＜ δ},点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。
δ点a的空心邻域：U⁰（a；δ）={x│0＜│x-a│＜δ}
a的δ左邻域U₋（a；δ）=(a-δ,a],简记为U₋（a）
a的δ右邻域U₊（a；δ）=[a,a δ),简记为U₊（a）
∞邻域U（∞）={x││x│＞M}
∞邻域U（ ∞）={x│x＞M}
-∞邻域U（-∞）={x│x＜-M}
二、有界集·确界原理
上界（下界）定义
设S为R中一个数集，若存在数M（L）,使得对一切x∈S,都有x≤M（x≥L）,则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）
上（下）确界定义
上确界是一个集合的最小上界，下确界是一个集合的最大下界。
A是S的子集，则A的上确界（亦称最小上界）supA定义为满足以下条件的元素：
Ⅰ.supA∈S
Ⅱ.∀a∈A ⇒ a ≤ supA
Ⅲ.∀a∈S，若a满足∀b∈A ⇒ b ≤ a，则supA≤ a。
1
即设有一实数集A⊂R，实数集A的上确界supA被定义为如下的数：
（1）∀a∈A ⇒ a ≤ supA（即supA是A的上界）
（2）∀ ε＞0，∃a₀∈A⇒ a₀ ＞ supA-ε（即再小一点就不是上界）
2
上确界
设给定一数集E。若存在这样一个数α ，适合以下两个条件：
（i）集E中的一切数 x≥α 即α 是E的一个下界)；
（ii）对任意给定的正数ε，至少存在一个数x₀∈E，使得x₀＜α ε （即比α 再大一点就不是下界）， 则α 叫做E的下确界，记为α= infE
下确界
确界
注1：若数集存在上下确界，则一定是唯一的，且infS≤supS
注2：数集S的确界可能属于S,也可能不属于S
有界集定义
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
无界集定义
若S不是有界集，则称S为无界集。
只有上界没有下界
只有下界没有上界
既没有上界也没有下界
确界原理
设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界
非正常的确界
若数集S无上界，则定义 ∞为S的非正常上确界,记作supS= ∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界,记作infS=-∞
推广的确界原理
任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）
§3函数概念
一，函数的定义
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，称它们为常量。
我们常用y=f（x）,x∈D表示一个函数，由此，我们说两个函数相同＜=＞它们有相同的定义域和对应法则。
函数的定义域长常取使该运算式子有意义的自变量值的全体通常称为存在域，可以简单地说“函数y=f（x）或函数f”
函数的定义域长常取使该运算式子有意义的自变量值的全体通常称为存在域，可以简单地说“函数y=f（x）或函数f”
函数的定义域长常取使该运算式子有意义的自变量值的全体通常称为存在域，可以简单地说“函数y=f（x）或函数f”
函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应，也称为映射。对于a∈D,f（a）称为映射f下a的象，a则称为f（a）的原象
在函数定义中，对每一个x∈D,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为单值函数，若同一个x值可以对应多于一个的y值，则称这种函数为多值函数。
补充
二，函数的表示法
符号函数
狄利克雷函数
黎曼函数
三，函数的四则运算
给定两个函数f,x∈D₁和g,x∈D₂.记D=D₁∩D₂，并设D≠∅,我们定义f与g在D上的四则运算如下
F(x)=f(x) g(x),x∈D
G(x)=f(x)-g(x),x∈D
H(x)=f(x)g(x),x∈D
L(x)=f(x)/g(x),x∈D*
其中D*=D₁∩{x│g(x)≠0,x∈D₂}≠∅
注：若D=D₁∩D₂=∅,f与g 不能进行四则运算
四，复合函数
y=f(g(x)),x∈E*称为函数f和g的复合函数，并称为f的外函数，g的内函数，u为中间变量。
复合函数也可由多个函数相继复合而成。
注：当且仅当E*≠∅(即D∩g(E)≠∅)时，函数f与g才能进行复合
五，反函数
设函数y=f(x),x∈D满足：对于值域f(D)上的每一个y,D中有且只有一个x,使得f(x)=y,则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称这个函数为f的反函数,记作f -1：f(D)→D(yl→x)
注1：函数f有反函数，意味着f是D与f(D)之间的一个一一映射，我们称f-1为映射f的逆映射
注2：y=f-1(x),x∈f(D)
六，初等函数
常量函数 y=c(c是常数)
幂函数 y=x的α次方(α为实数)
指数函数 y=a的x次方(a＞0,a≠1)
对数函数 y=logₐx(a＞0,a≠1)
三角函数 y=sinx(正弦函数)y=cosx(余弦函数)y=tanx(正切函数)y=cotx(余切函数)
反三角函数 y=arcsinx(反正弦函数)y=arccosx(反余弦函数)y=arctanx(反正切函数)y=arccotx(反余切函数)
六类基本初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算得到的函数统称为初等函数。不是初等函数的函数，称为非初等函数。
给定实数a＞0,a≠1,设x为无理数，我们规定a的x次方=
sup｛aᵏ│k为有理数｝(k＜x),a＞1
inf｛aᵏ│k为有理数｝(k＜x),0＜a＜1
§4具有某些特性的函数
一、有界函数
定义1 设f为定义在D上的函数,若存在数M(L),使得对每一个x∈D,有f(x)≤M(f(x)≥L),则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上一个上(下)界
定义2 设f为定义在D上的函数，若存在正数M,使得对每一个x∈D,有│f(x)│≤M则称f为D上的有界函数。
(i)inff(x)(x∈D) infg(x)(x∈D)≤inf│f(x) g(x)│(x∈D)
(ii)sup│f(x) g(x)│(x∈D)≤supf(x)(x∈D) supg(x)(x∈D)
二、单调函数
设y=f(x) ,x∈D为严格增(减)函数，则f必有反函数f-1，且f-1在定义域f(D)上也是严格递增(减)函数
三、奇函数和偶函数
设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个x∈D,有f(-x)=-f(x) 则称f为D上的奇(偶)函数
四、周期函数
设f为定义在数集D上的函数，若存在σ>0，使得对一切x∈D,x σ∈D,有f(x±σ)=f(x),则称f为周期函数, σ称为f的一个周期