Wondershare EdrawMind
マインドマップギャラリー Базовые знания школьной математики (квадратные функции, уравнения и неравенства)
- 3
Базовые знания школьной математики (квадратные функции, уравнения и неравенства)
Это интеллектуальная карта, отражающая базовые знания школьной математики (квадратные функции, уравнения и неравенства), включая свойства равенства и неравенства. Базовые неравенства (среднее неравенство) и т. д.
2024-03-13 23:01:30 に編集されました
Базовые знания школьной математики (квадратные функции, уравнения и неравенства)
- おすすめ
- アウトライン
Квадратичные функции, уравнения и неравенства одной переменной
Квадратные функции, квадратные уравнения и неравенства
Квадратичная функция
график квадратичной функции
Связь между графиком функции y=x² и функции y=ax² (a≠0)
Изображение y=ax² (a≠0) получается путем сохранения координаты абсцисс каждой точки изображения y=x² неизменной, а ордината становится умноженной на исходное значение.
a определяет направление и размер отверстия изображения. Чем больше значение a, тем меньше отверстие изображения.
Связь между графиком функции y=ax² (a≠0) и функции y=a(x h)² k (a≠0)
y=ax² проходит через {h>0, переводим длину единицы h влево; h<0 переводим длину единицы h вправо}, чтобы получить y=a(x h)²
y=a(x h)² проходит через {k>0, переводим вверх k длин единиц; k<0, переводим вниз k длин единиц}, чтобы получить y=a(x h)² k
После того, как функция y=ax² bx c (a≠0) сформулирована в виде y=a(x h)² k, она получается сдвигом изображения y=ax² (a≠0) влево и вправо.
Свойства квадратичных функций
Три свойства квадратичных функций
Если координаты вершины квадратичной функции (-h, k) известны, квадратичную функцию можно выразить как y=a(x h)² k (a≠0)
Если известно, что два корня уравнения ax² bx c=0 (a≠0) равны x1 и x2 (пересечение параболы и оси X абсцисс), то квадратичную функцию можно выразить как y= а(х-х1)(х-х2)(а≠0)
Свойства функции y=ax² bx c (a≠0)
Функция а>0
направление открытия
вверх
Координаты вершины
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Ось симметрии
х=-b/(2а)
Проблемы максимального и минимального значения
Когда x=-b/(2a), функция имеет минимальное значение (4ac-b²)/(4a) максимальное значение отсутствует;
Функция а<0
направление открытия
вниз
Координаты вершины
(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))
Ось симметрии
х=-b/(2а)
Проблемы максимального и минимального значения
Когда x=-b/(2a), функция имеет максимальное значение (4ac-b²)/(4a) минимальное значение отсутствует;
Понятие квадратного уравнения одной переменной
концепция
Уравнение, в котором обе части знака равенства являются целыми числами, содержит только одно неизвестное (унарное), а высшая степень неизвестного является квадратичной.
Общая форма: y=ax² bx c (a≠0)
Решение квадратного уравнения
Их еще называют корнями квадратного уравнения с одной переменной.
1. Когда a≠0, можно сказать, что уравнение является квадратным. 2. Если в тексте четко указано, что y=ax² bx c является квадратным уравнением, это подразумевает условие a≠0 3. c — постоянный член (или может рассматриваться как коэффициент при члене нулевого порядка)
Решение квадратного уравнения с одной переменной
Решите квадратные уравнения с одной переменной, используя прямой квадратный корень.
Как правило, метод использования определения квадратного корня для непосредственного извлечения квадратного корня для нахождения решения квадратного уравнения называется методом прямого квадратного корня.
Для квадратного уравнения вида (ax b)²=c (c≥0) решением является x=(±Ö(c) -b)/a
Примечание: при использовании метода прямого квадратного корня c ≥ 0 и при извлечении квадратного корня обратите внимание на ±√c
Решение квадратных уравнений одной переменной методом формул
определение
Квадратное уравнение вида ax² bx c=0 (a≠0) преобразуется в полностью квадратное уравнение с неизвестным числом на левом конце и неотрицательной константой на правом конце, которое можно решить непосредственно с помощью метод квадратного корня.
Общие шаги
Переместить элементы
Пусть левая часть уравнения будет содержать только квадратичные и линейные члены, а правая часть будет постоянными членами.
Установите значение 1
Разделите обе части уравнения на коэффициент при квадратичном члене, чтобы изменить коэффициент при квадратичном члене на 1.
формула
Прибавьте к обеим частям уравнения половину квадрата коэффициента линейного члена (т.е. прибавьте [b/(2a)]² в общем виде) Преобразуйте исходное уравнение в форму (x-n)²=m (то есть преобразуйте в: [x b/(2a)]²=(b²-4ac)/(4a²))
Если m≥0, то для решения напрямую используйте метод квадратного корня
Если m<0, то исходное уравнение не имеет вещественных корней, то есть уравнение не имеет вещественных решений.
Решение квадратных уравнений одной переменной методом формул
В ax² bx c=0 (a≠0), когда b²-4ac≥0, подставьте a, b, c в формулу x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a), чтобы получить уравнение корень
Процесс вывода формулы корня квадратного уравнения получается путем сдвига квадратного корня из общих шагов метода координации.
Предпосылкой использования метода формул для решения квадратного уравнения с одной переменной является b²-4ac≥0, где Δ=b²-4ac называется дискриминантом.
Если Δ=b²-4ac>0, то уравнение имеет два разных действительных корня: x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
Если Δ=b²-4ac=0, то уравнение имеет два одинаковых действительных корня x1=x2=-b/(2a)
Если Δ=b²-4ac<0, то действительных корней нет.
Роль Δ=b²-4ac 1. Определение корней без решения уравнения 2. Определить диапазон значений буквенного коэффициента по уравнению 3. Обсуждать и решать задачи, связанные с корнями квадратных уравнений одной переменной. 4.Δ=0 означает, что уравнение имеет два одинаковых корня вместо одного.
Общие этапы решения квадратных уравнений одной переменной методом формул
Преобразование к общему виду ax² bx c=0 (a≠0)
Определить значения a, b, c
Вычислите значение Δ=b²-4ac
Определите исходную ситуацию на основе значения Δ=b²-4ac.
Если имеются действительные корни, используйте метод формулы для решения уравнения x=[-b±Ö(b²-4ac)]/(2a)
1. Если уравнение содержит неизвестные буквы, его необходимо рассматривать как константу. Сначала приведите уравнение к общей форме уравнения о неизвестном, а затем используйте формулу поиска корня, исходя из того, что b²-4ac≥0. 2. Обратите внимание на диапазон значений букв в вопросе и обсудите его.
Метод факторизации для решения квадратных уравнений с одной переменной
Определение факторинга
определение
При решении квадратного уравнения сначала факторизуйте его, чтобы уравнение приняло форму, в которой произведение двух линейных уравнений равно 0, а затем сделайте два линейных уравнения равными 0 соответственно, тем самым достигая уменьшения степени. решение квадратного уравнения. Этот метод называется методом факторизации.
Теоретические основы
Произведение двух сомножителей равно нулю, тогда хотя бы один из двух сомножителей равен нулю, то есть если ab=0, то a=0 или b=0.
основной метод
Метод извлечения общих факторов
Используйте формулу квадрата разности
a²-b²=(a b)(a-b)
Используйте формулу идеального квадрата
a²±2ab b²=(a±b)²
перекрестное умножение
Если в x² Cx D=0 мы можем найти D=ab, C=a b, то x² Cx D=(x a)(x b)
Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
Связь между корнями и коэффициентами
Ведическая теорема
x1 x2=-b/a, x1·x2=c/a
Важное следствие связи между корнями и коэффициентами.
Следствие 1
Если уравнение x² px q=0, то x1 x2=-p, x1·x2=q
Следствие 2
Квадратное уравнение с одной переменной, корнями которого являются два числа x1 и x2 (коэффициент при квадратном члене равен 1), можно выразить как: x²-(x1 x2)x x1·x2=0
Включенные условия
Уравнение представляет собой квадратное уравнение, то есть коэффициент при квадратичном члене не равен нулю, a≠0
Уравнение имеет действительные корни, то есть если Δ=b²-4ac≥0
вариант следствия
x1² x2²=(x1² 2x1·x2 x2²)-2x1·x2=(x1 x2)²-2x1·x2
1/x1 1/x2=(x1 x2)/(x1·x2)
(х1 а)(х2 а)=х1·х2 а(х1 х2) а²
|x1-x2|=√((x1-x2)²)=√((x1 x2)²-4x1·x2)
Обсудите связь между корнями и коэффициентами.
Если два корня квадратного уравнения ax² bx c=0 (a≠0) равны x1 и x2, то
Δ≥0 и x1·x2>0
х1 х2>0
Оба корня являются положительными числами
х1 х2<0
Оба отрицательные числа
Δ>0 и x1·x2<0
х1 х2>0
Два корня имеют разные знаки, а положительный корень имеет большее абсолютное значение.
х1 х2<0
Два корня имеют разные знаки, а отрицательный корень имеет большее абсолютное значение.
Решения уравнений и систем уравнений
Обычно совокупность всех комбинаций решений уравнения называется множеством решений этого уравнения.
Пересечение множеств решений каждого уравнения является множеством решений системы уравнений.
Квадратное неравенство одной переменной
концепция
определение
Обычно мы называем неравенство, которое содержит только одно неизвестное число и высшая степень неизвестного числа равна 2, квадратичным неравенством одной переменной. Общая форма квадратного неравенства одной переменной: ax² bx c＞0 или ax² bx c<0, где a, b, c — все константы, a≠0.
Выражение, где a, b, c — все константы, a≠0
ax² bx c≤0
ax² bx c<0
ax² bx c≥0
ax² bx c>0
Множество решений, где a, b, c — константы, a≠0
ax² bx c≥0
Набор значений независимой переменной x такой, что значение функции y=ax² bx c больше или равно 0
ax² bx c>0
Набор значений независимой переменной x такой, что значение функции y=ax² bx c является положительным числом.
ax² bx c≤0
Набор значений независимой переменной x такой, что значение функции y=ax² bx c меньше или равно 0.
ax² bx c<0
Набор значений независимой переменной x такой, что значение функции y=ax² bx c является отрицательным числом.
нулевая точка квадратичной функции
Обычно для квадратичной функции y=ax² bx c мы называем действительное число x, которое делает ax² bx c=0 нулевой точкой y=ax² bx c.
Решение квадратного неравенства одной переменной
Δ=b²-4ac
Δ=b²-4ac>0
Δ=b²-4ac=0
Δ=b²-4ac＜0
y=ax² bx c
y=ax² bx c>0
y=ax² bx c=0
y=ax² bx c＜0
Объедините отношение неравенства между дискриминантом и функцией и решите решение неравенства посредством анализа изображений.
Решения дробных неравенств
4 формы и решения дробных неравенств
f(x)/g(x)＞0 ⇔ f(x)·g(x)＞0
f(x)/g(x)<0 ⇔ f(x)·g(x)<0
f(x)/g(x)≥0 ⇔ f(x)·g(x)≥0, и g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)＞0, и f(x)= 0
f(x)/g(x)≤0 ⇔ f(x)·g(x)≤0, и g(x)≠0 ⇔ f(x)·g(x)<0, и f(x)= 0
Та же связь решения между неравенствами и группами неравенств
f(x)·g(x)≥0
f(x)≥0 и g(x)≥0
Или f(x)⩽0 и g(x)⩽0
f(x)·g(x)≤0
f(x)≥0 и g(x)≤0
Или f(x)≤0 и g(x)≥0
Проблема постоянного установления неравенств
Условие того, что множество решений неравенства равно R (или всегда истинно)
y=ax² bx c
если а=0
б=0, с>0
y=ax² bx c>0 всегда верно
б=0, с<0
y=ax² bx c<0 всегда верно
Если а≠0
а>0, Δ<0
y=ax² bx c>0 всегда верно
а<0, Δ<0
y=ax² bx c<0 всегда верно
Метод определения диапазона значений параметра, когда неравенство постоянно.
y=f(x)≤a всегда выполняется ⇔ f(x)max≤a
y=f(x)≥a всегда выполняется ⇔ f(x)min≥a
Распределение корней квадратного уравнения одной переменной
Предварительные условия
Предположим, что уравнение ax² bx c=0 (Δ>0, a≠0) имеет два неравных корня x1, x2 и x1<x2, соответствующая функция равна y=ax² bx c.
Случай 1: сравнить величину двух корней с 0, то есть сравнить положительные и отрицательные состояния корней.
а>0
х1＜х2＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) <0 ③f(0)>0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) <0 ③a·f(0)>0
0＜x1＜x2
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > 0 ③f(0)>0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
х1＜0＜х2
①f(0)＜0
①a·f(0)＜0
а<0
х1＜х2＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) <0 ③f(0)＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) <0 ③a·f(0)>0
0＜x1＜x2
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > 0 ③f(0)＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > 0 ③a·f(0)>0
х1＜0＜х2
①f(0)>0
①a·f(0)＜0
Ситуация 2: Сравнение размеров двух корней и k
а>0
х1＜х2＜к
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) < k ③f(k)＞0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) < k ③a·f(k)＞0
к<x1<x2
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > k ③f(k)＞0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > k ③a·f(k)＞0
х1＜к＜х2
①f(k)＜0
①a·f(k)＜0
а<0
х1＜х2＜к
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) < k ③f(k)＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) < k ③a·f(k)＞0
к<x1<x2
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > k ③f(k)＜0
①Δ＞0 ②Ось симметрии-b/(2a) > k ③a·f(k)＞0
х1＜к＜х2
①f(к)>0
①a·f(k)＜0
Случай 3: Распределение корней на интервале, где m＜n＜p＜q
а>0
м＜x1＜x2＜n
①Δ＞0 ②f(м)>0 ③f(n)>0 ④m＜Ось симметрии-b/(2a)＜n
①Δ＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜Ось симметрии-b/(2a)＜n
m＜x1＜n＜x2 или x1＜m＜x2＜n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m＜x1＜n＜p＜x2＜q
①f(м)＞0 ②f(n)＜0 ③f(p)＜0 ④f(q)＞0 или ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
а<0
м＜x1＜x2＜n
①Δ＞0 ②f(м)＜0 ③f(n)＜0 ④m＜Ось симметрии-b/(2a)＜n
①Δ＞0 ②f(m)·f(n)＞0 ③m＜Ось симметрии-b/(2a)＜n
m＜x1＜n＜x2 или x1＜m＜x2＜n
①f(m)·f(n) < 0
①f(m)·f(n) < 0
m＜x1＜n＜p＜x2＜q
①f(м)＜0 ②f(n)>0 ③f(p)>0 ④f(q)＜0 или ①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
①f(m)·f(n) < 0 ②f(p)·f(q) < 0
Случай 4: Распределение корней на интервале x1＜m, x2＞n
а>0
①f(м)＜0 ②f(n)＜0
а<0
①f(м)＞0 ②f(n)>0
Особый случай
я
Если в заданном интервале функции f(x) (m,n) находится f(m)=0 или f(n)=0, то f(m)·f(n)<0 не выполняется. Из f( m)=0 или f(n)=0, легко узнать, что m или n является одним из решений уравнения, то есть уравнение можно записать в виде ax² bx c=(x-m) ·(Ax B), что означает, что существует коэффициент A (x-m) [или (x-n)], можно найти другой корень уравнения, тем самым определив, принадлежит ли он интервалу (m, n), и найти значение или диапазон параметра
ii
Вышеупомянутая ситуация 1, ситуация 2, ситуация 3 и ситуация 4 являются результатами обсуждения, когда Δ>0, игнорируя ситуацию Δ=0. При фактическом решении проблемы обязательно учитывайте, существует ли условие, которое удовлетворяет. состояние, когда Δ=0 Значение параметра
Базовые неравенства (среднее неравенство)
важные неравенства
Если а, ЬеR,
Тогда a²≥0 (тогда и только тогда, когда a=0, получается знак равенства)
|a|≥0, (знак равенства получается тогда и только тогда, когда a=0)
(а-б)²≥0
а² b²≥2ab
[(a² b²)/2]≥[(a b)/2]²
(а б)²≥4ab
Получить знак равенства тогда и только тогда, когда a=b
базовые неравенства
Если а>0, б>0
Тогда: (2ab)/(a b)≤(ab)^(1/2)≤(a b)/2≤[(a² b²)/2]^(1/2)
Основное неравенство: среднее гармоническое ≤ среднее геометрическое ≤ среднее арифметическое ≤ среднее квадратичное.
Память: отрегулируйте число и вычислите формулу.
При нахождении оптимального значения основных неравенств необходимо удовлетворять одному положительному, двум определенным и трем равным
Сумма положительных чисел является постоянной величиной, тогда произведение положительных чисел имеет максимальное значение.
Произведение положительных чисел является постоянной величиной, тогда сумма положительных чисел имеет минимальное значение.
Расширения основных неравенств
Среднее арифметическое трех положительных чисел — неравенство среднего геометрического
Если a, b, cεR, то: (a b c)/3 ≥ (abc)^(1/3)
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда a=b=c
Среднее арифметическое n положительных чисел - неравенство среднего геометрического
Если A1, A2,...An∈R, то: (A1 A2... An)/n ≥ (A1·A2·...An)^(1/n)
Свойства равенства и неравенства
Равенство и неравенство
Понятие уравнения
Выражение, содержащее знак равенства, называется уравнением
Концепция неравенства
Используйте математические символы ≠ ＞ ＜ ≥ ≤, чтобы соединить два числа или алгебраические выражения, чтобы выразить неравенство между ними. Выражения, содержащие эти знаки неравенства, называются неравенствами.
Понятие о неравенствах в одном направлении и неравенствах в противоположных направлениях.
Неравенство в одном направлении
Если левая часть двух неравенств больше (или меньше) правой, то эти два неравенства называются неравенствами одного направления.
гетерогенное неравенство
Если левая часть одного неравенства больше правой, а правая часть другого неравенства больше левой, то оба неравенства называются противоположными неравенствами.
Часто используемые знаки неравенства
Больше ＞, меньше ＜, больше или равно (по крайней мере, не меньше) ≥, меньше или равно (максимум, не более) ≤
Метод разностей сравнивает два действительных числа (алгебраических выражения).
a-b>0, тогда a>b
a-b<0, тогда a<b
a-b=0, тогда a=b
Чтобы сравнить любые два действительных числа, нужно лишь определить связь между их разностью и 0.
Основные свойства уравнений
Если а=б, то б=а
Если а=b, b=c, то а=с
Если a=b, то a±c=b±c
Если a=b, то ac=bc
Если a=b, то a/c=b/c (c≠0)
Расширение: если a=b, то a^n=b^n (nاN,N≥2)
Расширение: если a=b>0, то a^(1/n)=b^(1/n) (nاN,N≥2)
Свойства неравенств
1Симметрия
а＞б⇔б＜а
Двусторонний
2 Транзитивность
а>б, б>в⇒а>в
В том же направлении
3 Аддитивность
а＞b⇔a c＞b c
Двусторонний
правило передачи
а б＞в⇔а＞в-б
Двусторонний
4 Умножаемость
a>b и c>0⇒ac>bc a>b и c<0⇒ac<bc
Обратите внимание на ситуацию c>0 или c<0.
5 Аддитивность в том же направлении
a>b и c>d, ⇒a c>b d
Можно добавить в том же направлении
6. Повторяемость одного и того же направления и одного и того же положительного направления.
a>b>0 и c>d>0, ⇒ac>bd
Одно и то же направление и то же направление можно умножить
7 возведение в степень
a＞b＞0，⇒a^n＞b^n（nاN,N≥2）
Тунчжэн можно возвести в степень
Неравенства в одном направлении нельзя вычитать, а неравенства в противоположных направлениях нельзя складывать.
Часто используемые неравенства
взаимное имущество
а>b, ab>0, ⇒(1/a)<(1/b)
Свойство неравенства 4
а＜0＜b，⇒(1/a)＜(1/b)
a>b>0 и 0<c<d, ⇒(a/c)>(b/d)
0＜a＜x＜b (или a＜x＜b＜0), ⇒(1/b)＜(1/x)＜(1/a)
Дробные свойства
Если а>b>0, m>0, то
Свойства правильных дробей
(б/а)<[(б м)/(а м)]
(b/a)>[(b-m)/(a-m)], где b-m>0
То есть: если к числителю и знаменателю правильной дроби одновременно прибавить одно и то же положительное число, то значение дроби станет больше.
Неправильные свойства дроби
(a/b)>[(a m)/(b m)]
(a/b)<[(a-m)/(b-m)], где b-m>0
То есть: если к числителю и знаменателю неправильной дроби одновременно прибавить одно и то же положительное число, то значение дроби станет меньше.