Bảng gồm mxn số

Xếp thành m dòng, n cột

Hai ma trận có cùng cỡ

Các phần tử tương ứng bằng nhau

Các phần tử đều bằng 0

Có số dòng bằng số cột

Là ma trận vuông

Các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1

Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

Kí hiệu: I

Đổi cột thành dòng

Kí hiệu: A^T

Chỉ có một cột (dòng)

Là ma trận vuông

Các phần tử dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0

Là ma trận vuông

Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

Là ma trận vuông

Các phần tử đối xứng qua đường chéo chính thì bằng nhau

A=A^T

Cộng (trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng

Tính chất

Nhân mọi phần tử với số đó

Điều kiện: số cột của A = số dòng của B

Tính phần tử ở vị trí cột i dòng j của AB bằng cách nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại

Tính chất

Điều kiện: ma trận vuông

A^n = A.A.A...A (n lần)

Tính chất

B là ma trận nghịch đảo của A

Ma trận A khả đảo (khả nghịch) <-> detA ≠ 0

[A^(-1)]^(-1) = A

(AB)^(-1) = B^(-1).A^(-1)

[A^(-1)]^T = (A^T)^(-1)

Bước 1: Tính det(A)

Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A

Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A'

Bước 4: Tính ma trận

Tìm ma trận X để AX = B (A khả đảo)

Tìm ma trận X để XA = B (A khả đảo)

Các dòng khác 0 nằm phía trên các dòng bằng 0

Phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới nằm về bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên

di <-> dj

kdi -> di

kdi + dj <-> dj

Là ma trận gồm các phần tử nằm trên giao của k dòng, k cột của A

Là định thức của ma trận con cấp k của A

Định thức con cấp k của A = 0 <=> Định thức con cấp (k+1) của A = 0

Là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A

Kí hiệu: rankA, r(A)

r(A) = k

Ma trận bậc thang dòng

Phép biến đổi sơ cấp

1 ≤ r(A) ≤ min(m,n)

r(A) = 0 <=> A = 0

r(A^T) = r(A)

r(A) = n

Nếu n=1, det(A)=a

Nếu n>1, det(A)=a11A11+a12A12+....+a1nA1n

det(A^n) = det(A...A) = detA.detA...detA = (detA)^N

det(A) = 0

det(A) = 1

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Vectơ n chiều

Hai vectơ bằng nhau

Vectơ không

Vectơ đối

Cộng, trừ 2 vectơ cùng chiều

Nhân 1 số với 1 vectơ

Tập hợp tất cả các vectơ n chiều được trang bị 2 phép toán nói trên gọi là không gian vectơ R^n

Nếu V là không gian vectơ

Vectơ x gọi là tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ a1, a2,..., amnếu có m số thực u1, u2,..., um sao cho x = u1.a1 + u2.a2 +... + um.am

Vectơ x = (x1, x2,..., xn) luôn là tổ hợp tuyến tínhcủa {ei} và x = x1.e1 + x2.e2 + ... + xn.en

Hệ chứa vecto 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

Hệ {e1, e2,..., en} độc lập tuyến tính

r{a1, a2,..., an} = k

Hạng của hệ vectơ là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ con

m là số vectơ của hệ

n là số chiều mỗi vectơ

r(A) = m: Hệ độc lập tuyến tính

r(A) < m: Hệ phụ thuộc tuyến tính

Khi m = n

Tập con L của R^n gọi là không gian con của R^n

R^n, {Ø} là không gian con của R^n

Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn là không gian con của R^n. Nếu thay "hệ phương trình tuyến tính thuần nhất" bởi "hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất", tính chất đó không còn đúng.

Định nghĩa

Tính chất

Định nghĩa

Cách tìm cơ sở, số chiều

Định nghĩa

Cách tìm hệ nghiệm cơ bản

Tọa độ của 1 vectơ đối với 2 cơ sở khác nhau là khác nhau

Định nghĩa

Cách tìm

Tính chất

Trong đó x1,x2,...,xn là các ẩn

Nghiệm của hệ phương trình là bộ n số (x1,x2,...,xn) thỏa mãn hệ phương trình đó

Hai hệ phương trình có cùng số ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Với n là số ẩn

: hệ vô nghiệm

: hệ có nhiệm duy nhất

: hệ có vô số nghiệm, phụ thuộc (n - r) tham số

Phương pháp Gauss

AX = 0

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm (0, 0,..., 0) gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác (0, 0,..., 0) gọi là nghiệm không tầm thường

r(A) = n: hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

r(A) < n: hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường)

detA ≠ 0: hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường

detA = 0: hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường)

Số phương trình = số ẩn

Định thức của ma trận các hệ số khác 0