có các phần tử đều bằng 0

chỉ có một cột (hay dòng)

có số cột và dòng bằng nhau

là MT vuông

các phần từ dưới (hay trên) đường chéo chính đều bằng 0

là MT vuông

các phần từ nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

là MT vuông

các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1

các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

kí hiệu: I

các phần từ đối xứng nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau

đổi cột thành dòng

kí hiệu: A^T

ĐK: hai MT cùng cấp

cộng (hay trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng

Tính chất

nhân mọi phần tử cho hàng số a

ĐK: số cột của MT A = số dòng của MT B (với A.B)

tính phần tử ở vị trí cột i dòng j của AB bằng cách nhân các phần tử ở dòng i của ma trận A lần lượt với các phần tử ở cột j ở ma trận B rồi cộng các kết quả lại

Tính chất

ĐK: MT vuông

A^n=A.A...A (n lần)

Tính chất

di<->dj

di:=adj

di:=di+adj

dòng bằng 0 (nếu có) nằm dưới dòng khác 0

ở dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên phải nằm bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

Thuật toán khử Guass

là số dòng khác 0 của MT

kí hiệu: r(A)

0≤r(A)≤min{m;n}

r(A)=0<=>A=0

r(A^T)=r(A)

qua biến đổi sơ cấp, thu được MT A từ MT B -> r(A)=r(B)

MT A khả nghịch

MT A ko khả nghịch -> MT A suy biến

A khả nghịch

A suy biến

Biến đổi sơ cấp

Định thức

Nếu n=1, det(A)=a

Nếu n>1, det(A)=a11A11+a12A12+....+a1nA1n

Nếu các phần tử của một hàng có thừa số chungthì ta có thể đưa thừa số đó ra ngoài dấu định thức.

det(λA)=(λ^n).det(A)

Nếu A có một hàng bằng 0 thì định thức bằng 0.

Nếu A có 2 hàng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0.

định thức bằng 0

định thức bằng 0

định thức bằng 1

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

Sub Topic

Cho ma trận A ∈ Mn(R). Vectơ v ∈ Rn \ {0} được gọi là vectơ riêng (vectơ đặc trưng) của A.Nếu Av=λv thì v là vector riêng của A và λ là trị riêng của A

Nghiệm tầm thường: λ là trị riêng của A

Nghiệm tầm thường: λ ko là trị riêng của A

4.Ma trận tam giác nhận các phần tử trên đường chéo làm trị riêng. Các vector {ei} là các vectơ.

PA((λ)=det(A-λI) với A thuộc Mn(R)

λ là trị riêng của A

B1: Viết MT (A-λI)

B2: Tính định thức của MT

B3: Tìm nghiệm khi cho định thức bằng 0

Xác định đa thức đặc trưng

Giải phương trình PA(λ)=det(A-λI)=0 để tìm các trị riêng.

Giải (A − Iλi)v=0. Tất cả các nghiệm khác 0 của hệ là tất cả các véctơ riêng của A ứng với trị riêng λi.

Với mỗi số thực λ, tập hợp E(λ) := {v ∈ Rn| Av = λv} là không gian vector con của Rn.

λ là một trị riêng của A

λ là một trị riêng của A => 1<= E(λ) <= m; m là số mũ của (λ- λ* ) trong phân tích đa thức đặc trưng thành nhân tử P

Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo. Tức: A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận không suy biến P sao cho: P^{-1}AP = D , với D là 1 ma trận chéo

P: ma trận làm chéo hóa ma trận A, D: dạng chéo của ma trận A

Quá trình chéo hóa ma trận vuông A: Quá trình tìm P và D

Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính

Nếu ma trận A vuông cấp n có đủ n GTR đôi một khác nhau thì A chéo hóa được.

Mỗi GTR bội k phải có đủ k VTR độc lập tuyến tính (Cơ sở của không gian con riêng ứng với GTR đó phải có k vecto)

n=n-r(A-λI)=dimE(λ)

Cho tập V ko rỗngNếu u+v thuộc V và αu thuộc V (với mọi u,v thuộc V) thì V được gọi là không gian vecto

Nếu V là không gian vecto

αu=0

(-1)u=-u

-(αu)=(-α)u=α(-u)

αu=αv

αu=βu

Cho V là KGVT và u, u1, u2, ..., um thuộc V. Ta nói u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, ... un nếu tồn tại các số thực α1, α2,…, αm sao cho u = u1. α1 + u2.α2 + ⋯ + um.αm

Lập ma trận à =[u1^T u2^T ··· u^T | uT]= [A|u^T].

Họ các vectơ u1,u2,...,um được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1.u1+α2.u2 + ... + αm.um = 0, ta suy ra được α1=α2=...=0.

Họ vecto ko độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Một họ các vecto phụ thuộc tuyến tính thì có một vecto trong họ này là tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại.

Một họ các vecto độc lập tuyến tính thì bất kì các vecto trong họ này đều ko thể viết thành tổ hợp tuyến tính của các vecto còn lại

Hệ chứa vecto 0 thì phụ thuộc tuyến tính.

Kronecker Corpelli

Cramer

Cho hệ m vecto V={v1,...v vm} là hệ con của R^n.Số vecto trong một hệ độc lập tuyến tính tối đại là hạng của hệ vecto V.

Ký hiệu: r(v1,...,vm) hay rank(v1,..,vm)

Cho hệ các vecto S={ u1,u2,...,um}Khi đó r(u1,u2,..,uN) = r(A) với A=[u1^T, u2^T, ..., um^T]

Định nghĩa

Định lý

Cách xác định

Định nghĩa

Định lý

Cho ma trận A = (ai, j) ∈ Mm×n(R). Đặt ui = (ai1, ai2, ..., ain), là dòng thứ i của ma trận A, ∀i = 1,...m, và VA = hu1, u2, ..., umi. Khi đó ta nói VA là không gian dòng của ma trận A.

Không gian dòng của ma trận của không thay đổi thông qua các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

Về số chiều, ta có thể dùng định nghĩa để tìm ra bộ các vectơ độc lập tuyến tính từ tập sinh. Mỗi vectơ sắp xếp thành cột, sau đó dùng thuật toán khử Gauss hoặc Thuật toán Gauss-Jordan để đưa về ma trận bậc thang để tìm hạng ma trận. Tuy nhiên, cách làm này chỉ trả lời câu hỏi về số chiều và không cung cấp cơ sở cho không gian.

Cho A, B ∈ Mm×n(R).

Cho A ∈ Mm×n(R). Đặt W = {X ∈ Rn: AX = 0}.

Dùng phương pháp khử Gauss, ta đưa ma trận A về dạng bậc thang. Hệ phương trình AX = 0 có n−r(A) ẩn tự do. Ta lần lượt chọn ẩn tự do thứ i bằng 1, các ẩn tự do còn lại bằng 0. Sau quá trình này, ta sẽ thu được một cơ sở của W.

r(A)=r(Ã)=n -> duy nhất nghiệm

r(A)=r(Ã)<n -> vô số nghiệm

r(A)<r(Ã) -> vô nghiệm

r(A)=n -> duy nhất nghiệm

r(A)<n -> vô số nghiệm

det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm

det(A)=∆j=0 -> vô số nghiệm

det(A)=0;∆j≠0 -> vô nghiệm

det(A)≠0 -> duy nhất nghiệm

det(A)=0 -> vô số nghiệm