MindMap Gallery 7.3 Chain rule of composite functions and derivation of implicit functions
This is a mind map about the chain rule of 7.3 composite functions and the derivation of implicit functions. It is necessary to share the review materials for review and preview to improve learning efficiency. I hope it will be helpful to everyone in preparing for the exam.
Edited at 2024-04-10 09:25:34Mappa mentale per l’analisi del controllo della gestione del portata di progetto. Tre sezioni principali: 1. WBS Scope Breakdown – scomposizione gerarchica del lavoro con dettaglio dello Scopo del progetto. 2. Scope Boundary / Exclusions – definizione chiara dei confini del progetto e di ciò che è escluso per evitare scope creep. Strumento ideale per project manager e team di controllo per mantenere allineamento e ridurre rischi.
Questo template, ideato con EdrawMind, è un modello completo per il miglioramento continuo del sistema di gestione della qualità, con una descrizione di circa 500 parole. È strutturato come un diagramma a lisca di pesce, strumento efficace per analizzare le cause principali dei problemi di qualità e definire le leve di controllo necessarie per risolverli. Il processo è organizzato in quattro fasi chiave: la prima è lo standard e la pianificazione, dove si definiscono gli obiettivi di qualità, i criteri di accettazione, i requisiti di prova e le porte di qualità (Quality Gate). La seconda fase analizza i processi e le porte di controllo, per garantire che ogni passaggio del lavoro segua i standard stabiliti. La terza fase riguarda l’esecuzione QA/QC, con la definizione di metodi di prova e ispezione, nonché regole per la gestione dei difetti e delle non conformità. L’ultima fase è il miglioramento e le azioni correttive e preventive (CAPA), insieme a una catena di audit per monitorare l’efficacia delle misure adottate. In basso, una tabella "Quality Gate" permette di tracciare ogni punto di controllo, con criteri specifici, metodi di prova, proprietario e stato di avanzamento. Grazie alla visualizzazione chiara e intuitiva di EdrawMind, questo strumento aiuta il team a identificare le cause root dei problemi di qualità, implementare azioni efficaci e mantenere un ciclo di miglioramento continuo, garantendo la qualità finale del prodotto o servizio.
Questo template, creato con EdrawMind, è un modello di piano di comunicazione ottimizzato, con una descrizione di circa 500 parole. È uno strumento chiave per evitare incomprensioni tra stakeholder, garantire la trasparenza e mantenere il team allineato agli obiettivi del progetto. Il modello è composto da tre elementi fondamentali e interconnessi: la matrice di comunicazione, la cadenza timeline e le regole di comunicazione/SLA. La matrice di comunicazione è una tabella dettagliata dove per ogni pubblico o stakeholder, si definisce il tipo di informazioni da condividere, lo scopo della comunicazione, il canale da utilizzare (email, riunioni, piattaforme di progetto), la frequenza, il proprietario responsabile, il formato e il percorso di escalazione in caso di problemi. La cadenza timeline è una linea temporale che definisce le scadenze delle comunicazioni chiave, garantendo che le informazioni siano condivise in momento opportuno e non si verifichino ritardi o omissioni. Le regole di comunicazione e gli accordi sul livello di servizio (SLA) definiscono le norme formali della comunicazione, come i tempi di risposta, il tono da adottare e le responsabilità di ciascun membro del team. Grazie alla struttura visuale di EdrawMind, questo template permette di pianificare la comunicazione in modo strategico, trasparente e efficiente, riducendo i rischi di cattiva informazione, migliorando la collaborazione e garantendo che tutti gli stakeholder siano informati e coinvolti nel progetto.
Mappa mentale per l’analisi del controllo della gestione del portata di progetto. Tre sezioni principali: 1. WBS Scope Breakdown – scomposizione gerarchica del lavoro con dettaglio dello Scopo del progetto. 2. Scope Boundary / Exclusions – definizione chiara dei confini del progetto e di ciò che è escluso per evitare scope creep. Strumento ideale per project manager e team di controllo per mantenere allineamento e ridurre rischi.
Questo template, ideato con EdrawMind, è un modello completo per il miglioramento continuo del sistema di gestione della qualità, con una descrizione di circa 500 parole. È strutturato come un diagramma a lisca di pesce, strumento efficace per analizzare le cause principali dei problemi di qualità e definire le leve di controllo necessarie per risolverli. Il processo è organizzato in quattro fasi chiave: la prima è lo standard e la pianificazione, dove si definiscono gli obiettivi di qualità, i criteri di accettazione, i requisiti di prova e le porte di qualità (Quality Gate). La seconda fase analizza i processi e le porte di controllo, per garantire che ogni passaggio del lavoro segua i standard stabiliti. La terza fase riguarda l’esecuzione QA/QC, con la definizione di metodi di prova e ispezione, nonché regole per la gestione dei difetti e delle non conformità. L’ultima fase è il miglioramento e le azioni correttive e preventive (CAPA), insieme a una catena di audit per monitorare l’efficacia delle misure adottate. In basso, una tabella "Quality Gate" permette di tracciare ogni punto di controllo, con criteri specifici, metodi di prova, proprietario e stato di avanzamento. Grazie alla visualizzazione chiara e intuitiva di EdrawMind, questo strumento aiuta il team a identificare le cause root dei problemi di qualità, implementare azioni efficaci e mantenere un ciclo di miglioramento continuo, garantendo la qualità finale del prodotto o servizio.
Questo template, creato con EdrawMind, è un modello di piano di comunicazione ottimizzato, con una descrizione di circa 500 parole. È uno strumento chiave per evitare incomprensioni tra stakeholder, garantire la trasparenza e mantenere il team allineato agli obiettivi del progetto. Il modello è composto da tre elementi fondamentali e interconnessi: la matrice di comunicazione, la cadenza timeline e le regole di comunicazione/SLA. La matrice di comunicazione è una tabella dettagliata dove per ogni pubblico o stakeholder, si definisce il tipo di informazioni da condividere, lo scopo della comunicazione, il canale da utilizzare (email, riunioni, piattaforme di progetto), la frequenza, il proprietario responsabile, il formato e il percorso di escalazione in caso di problemi. La cadenza timeline è una linea temporale che definisce le scadenze delle comunicazioni chiave, garantendo che le informazioni siano condivise in momento opportuno e non si verifichino ritardi o omissioni. Le regole di comunicazione e gli accordi sul livello di servizio (SLA) definiscono le norme formali della comunicazione, come i tempi di risposta, il tono da adottare e le responsabilità di ciascun membro del team. Grazie alla struttura visuale di EdrawMind, questo template permette di pianificare la comunicazione in modo strategico, trasparente e efficiente, riducendo i rischi di cattiva informazione, migliorando la collaborazione e garantendo che tutti gli stakeholder siano informati e coinvolti nel progetto.
7.3 Chain rule of composite functions and derivation of implicit functions
Derivative Rules for Composite Functions
chain rule
Variations (essentially tree-like)
Changeable
many
constitute
one
total derivative without bifurcation
Features
are all functions of t
Increasing circumstances
More varied
many
many
One becomes more
one
many
Miscellaneous
This can be solved by drawing a tree diagram
example
Let each item go through the program of the previous step again, find u, y, and derive the derivative again. At the same time, it also satisfies the basic operation of the derivative.
The items in the yellow part are traversed again (x y z) and (xyz)
subtopic
But please note that the footer uses the traversal method
Total differential form invariance (differentiation method)
Suitable for composite binary functions
Differential method to find partial derivatives
First find the partial derivative of z with respect to u and v, and write dz (the essence of differential calculus)
Expand
d(xy)=ydxxdy
d(x y)=dx dy
get
According to the total differential definition, we get
Of course, you can also use the chain derivation rule to calculate
The method is to create a tree diagram
Derivation of implicit functions
F(x, y) = case of type 0 equation
First derivative (mainly for binary functions)
formula
Derivation Let y=f(x)
theorem
condition
has continuous partial derivatives
main body
in conclusion
Set a certain neighborhood
Derivative formula
If you want to find the second derivative, you need to find the derivative of Fx/Fy.
method
example
First use the implicit function theorem
Differentiate on both sides
In order to get dy/dx
formula method
Find the derivative of both sides
You can also proceed with the derivation to find the second derivative
There is an implicit function at (0, 0)
beg
F(x, y, z) = case of type 0 equation
theorem
condition
in conclusion
formula
example
Ask for dz
Fayi
Method 2
Differentiate on both sides
Fayi
Method 2
Differentiate on both sides
Mainly master the methods of differentials on both sides
x y z
dx dy dz
xyz
xydz yzdx xzdy
The case of the system of equations
Just do the math and you'll know
The denominator is the determinant composed of the coefficients before x and y on the left
To find x, replace the coefficient of the column of x with the column on the right side of the equation (c1, c2)
The solution is as above
F,G
Jacobian
example
Method 1
Find the partial derivatives of x on both sides, and then use the method of solving quadratic equations to find the first two
Required conditions
Just find the solution
Then use both sides to find the partial derivative of y, and use the same method as above to find
Method 2
Sometimes implicit functions may be converted into explicit functions, and these methods may not be used.
Find partial derivatives of explicit functions directly
Differentiate on both sides
Differentiate both sides
Obviously, the four things you are looking for can be seen in just one sentence.
shortcoming
Large amount of calculation
Solution
First, according to the deformation of the mother formula, express v and u as x and y, so direct differentiation is also possible.
advantage
Intuitive